Límites inferiores en la norma del gradiente de un producto escalar en una esfera nnn

Question

Límites inferiores en la norma del gradiente de un producto escalar en una esfera nnn

Matemáticas
análisis vectorial
derivada parcial
cálculo multivariable

Parche

Estoy trabajando con una integral que involucra términos de la forma $\nabla (x\cdot \omega)$ , dónde $x, \omega \in \mathbb{R}^n$ , y $\omega$ es un punto en $\mathbb{S}^{n-1}$ . Es decir

ω = (ω_{1} (ϕ_{0}, \dots, ϕ_{norte - 2}), \dots, ω_{norte} (ϕ_{0}, \dots, ϕ_{norte - 2})),

$\omega = (\omega_1(\phi_0, \ldots, \phi_{n-2}), \ldots, \omega_n(\phi_0, \ldots, \phi_{n-2})),$ dónde

ϕ_{0} \in [0, 2 π]

$\phi_0 \in [0,2\pi]$ y

ϕ_{1}, \dots, ϕ_{n - 2} \in [0, π]

$\phi_1, \ldots,\phi_{n-2} \in [0,\pi]$ son los habituales

n

$n$ -coordenadas esféricas dimensionales (es decir, asumiendo

r = 1

$r = 1$ está arreglado). Así, por ejemplo, en

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ en

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ tenemos

ω = (\cos θ \sin ϕ, \sin θ \sin ϕ, \cos ϕ)

$\omega = (\cos\theta \sin\phi, \sin\theta \sin\phi, \cos\phi)$ , mientras

x = (x, y, z)

$\mathbf{x} = (x,y,z)$ , significado

X \cdot ω = X porque θ pecado ϕ + y pecado θ pecado ϕ + z porque ϕ .

$\mathbf{x}\cdot \omega = x\cos\theta \sin\phi + y\sin\theta \sin\phi + z\cos\phi.$

En particular, he demostrado que $\nabla_{\phi}(x\cdot \omega) \cdot \nabla_{\phi} e^{(x\cdot \omega)} = \left| \nabla_{\phi}(x\cdot \omega) \right|^2 e^{(x\cdot \omega)}$ de identidades de cálculo multivariable estándar, lo que me lleva a (con suerte) concluir la siguiente identidad:

{mi}^{(X \cdot ω)} = (\frac{\nabla_{ϕ} (X \cdot ω)}{{| \nabla_{ϕ} (X \cdot ω) |}^{2}} \cdot \nabla_{ϕ}) {mi}^{(X \cdot ω)} .

$e^{(x\cdot \omega)} = \left( \frac{\nabla_{\phi} (x\cdot \omega)}{\left| \nabla_{\phi}(x\cdot \omega) \right|^2} \cdot \nabla_{\phi} \right) e^{(x\cdot \omega)}.$

Sin embargo, para hacer eso, tendría que concluir que $\left| \nabla_{\phi}(x\cdot \omega) \right| > 0$ , que es donde estoy luchando.

yo tengo eso $x \neq 0$ , y que es constante con respecto a la $\phi_k$ variables ¿No debería ser capaz de relacionar la norma del gradiente con la norma de $x$ ¿de alguna manera? Siento que me estoy perdiendo en la maleza aquí, por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.

Respuestas (1)

Límites inferiores en la norma del gradiente de un producto escalar en una esfera nnn

Juan Hughes · Answer 1

No estoy seguro de entender del todo.

En el caso de 3 espacios, tenemos $\omega_1(\theta, \phi) = \cos \theta \sin \phi$ , ¿está bien?

En otras palabras, $\omega_i( \ldots )$ es el $i$ ª coordenada rectangular del punto cuyas coordenadas esféricas son los argumentos. Entonces el $\omega_i$ son funciones conocidas, y predeterminadas, ¿no? En particular, ha escrito los tres para $S^2$ .

Y tu esperanza es que para cualquier vector fijo $x$ , y cualquier lugar $\phi_0$ , tenemos

| \nabla_{ϕ} (X \cdot ω (ϕ) | (ϕ_{0}) > 0,

$| \nabla_\phi (x \cdot \omega(\phi)|(\phi_0) > 0,$ ¿está bien?

Si eso es correcto, entonces te está costando probarlo porque no es cierto. :(

Mira a $x = (0,0,1)$ , y $(\theta_0, \phi_0) = (0, 0)$ , de modo que $x$ es un vector que apunta al polo norte, y $\omega(\theta_0, \phi_0)$ pasa a apuntar en la misma dirección que $x$ . Da la casualidad de que en este caso $x \cdot \omega(\theta, \phi)$ es fácil de calcular, es solo $\omega_3 (\theta, \phi) = \cos \phi$ . El gradiente de este con respecto a $\theta, \phi$ es $(0, \sin \phi)$ . evaluado en $(\theta_0, \phi_0) = (0,0)$ , esto da el vector $(0,0)$ , cuya norma no es, de hecho, positiva.

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Juan Hughes

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