Leyes de Kepler para determinar el radio de la órbita circular

Question

Leyes de Kepler para determinar el radio de la órbita circular

Alex

"En el límite no relativista de la relatividad general hay una corrección a la energía potencial gravitatoria newtoniana $−h/r^3$ con $h = αL^2/(mc)^2$ , dónde $c$ es la velocidad de la luz, $α = GMm$ y $L$ es el momento angular"

Usando este conocimiento, se supone que debo encontrar el radio de las órbitas circulares para un determinado $m$ y $L$ y decidir cuál de ellos es estable.

Mi pregunta tiene que ver con cómo puedo determinar los radios, pero ten paciencia mientras muestro mi proceso hasta ahora:

Le envié un correo electrónico a mi profesor y me dijeron que debo RESTAR este factor de corrección de la energía potencial gravitacional, lo que me da:

V (r) = \frac{- GRAMO METRO metro}{r} - \frac{GRAMO METRO metro L^{2}}{r^{3} (metro C)^{2}}

$V(r) = \frac{-GMm}{r} - \frac{GMmL^2}{r^3(mc)^2}$

Puedo encontrar el potencial efectivo para ser:

V_{efecto} (r) = \frac{L^{2}}{2 metro r^{2}} - \frac{GRAMO METRO metro}{r} - \frac{GRAMO METRO metro L^{2}}{r^{3} (metro C)^{2}}

$V_\text{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} - \frac{GMmL^2}{r^3(mc)^2}$

Con base en la información de mi libro de texto, me imagino que debo graficar el potencial efectivo y la línea recta de mi energía constante $E$ , y los dos radios serán los puntos donde la línea de energía se cruza con la $V_\text{eff}(r)$ curva. Mi problema surge cuando trato de graficarlo.

Si dibujo un gráfico cualitativo simplemente usando $\frac{1}{r^2} - \frac{1}{r} - \frac{1}{r^3}$ Obtengo una curva sin extremos aparentes que se aproxima a 0 desde el $-y$ eje como $r$ va al infinito. Con otros gráficos que he dibujado usando $V_\text{eff}$ , obtuve curvas que tienen sentido: veo un máximo o mínimo local, y asumo que el planeta podría quedar "atrapado" entre las dos "paredes" del mínimo. En este caso, por supuesto, no veo nada de eso.

Mi pregunta es (con suerte) mucho más general que solo este ejemplo: "¿Cómo encuentro los radios potenciales del planeta en órbita usando las leyes de Kepler?" A menos que haya cometido un error en mi proceso, no creo que pueda encontrarlos usando este método. Me imagino que podría encontrarlos con mucho cálculo y reorganización, pero estoy seguro de que debe haber una forma más sencilla.

garyp

¿Cuál es el

1 / r^{2}

$1/r^2$ término para?

Alex

V_{e f f} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + V (r)

$V_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$ , entonces el

1 / r^{2}

$1/r^2$ término proviene de

\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}

$\frac{L^2}{2mr^2}$ !

Ali Moh

cuando decimos el "límite no relativista" de la relatividad general, esto implica que el

1 / r^{3}

$1/r^3$ es mucho menor que los otros dos términos para que esta aproximación sea válida

usuario12029

Intenta trazar

r^{- 2} - r^{- 1} - 0.01 \cdot r^{- 3}

$r^{-2}-r^{-1}-0.01\cdot r^{-3}$ en cambio. La corrección es pequeña.

c^{- 2}

$c^{-2}$ es pequeño.

garyp

1 / r^{2}

$1/r^2$ : Ajá. Tu OP tuvo un error tipográfico...

Alex

¡Ah, ya veo! Calculé mal algunos de esos valores y obtuve algo alrededor de E92. Eso me lleva a la segunda parte de mi pregunta: he estado tratando de abordarlo de manera diferente y me di cuenta de que dado que una órbita circular tiene

r_{m i n} = r_{m a x}

$r_{min} = r_{max}$ , los dos radios potenciales simplemente estarían en los extremos, ¿verdad?

G. Paily

Exactamente; buscar los extremos del potencial efectivo.

Respuestas (2)

Leyes de Kepler para determinar el radio de la órbita circular

$V_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$ , entonces el $1/r^2$ término proviene de $\frac{L^2}{2mr^2}$ !
cuando decimos el "límite no relativista" de la relatividad general, esto implica que el $1/r^3$ es mucho menor que los otros dos términos para que esta aproximación sea válida
Intenta trazar $r^{-2}-r^{-1}-0.01\cdot r^{-3}$ en cambio. La corrección es pequeña. $c^{-2}$ es pequeño.
¡Ah, ya veo! Calculé mal algunos de esos valores y obtuve algo alrededor de E92. Eso me lleva a la segunda parte de mi pregunta: he estado tratando de abordarlo de manera diferente y me di cuenta de que dado que una órbita circular tiene $r_{min} = r_{max}$ , los dos radios potenciales simplemente estarían en los extremos, ¿verdad?

púlsar · Answer 1

Tu ecuación tiene la forma

V_{efecto} (r) = \frac{α}{r^{2}} - \frac{β}{r} - \frac{γ}{r^{3}}

$V_\text{eff}(r) = \frac{\alpha}{r^2} - \frac{\beta}{r} - \frac{\gamma}{r^3}$ si configuras

α = β = γ = 1

$\alpha=\beta=\gamma=1$ , entonces estás sobreestimando el

r^{- 3}

$r^{-3}$ plazo, que se supone que es una pequeña corrección. Solo encontrarás dos extremos si la derivada tiene dos raíces:

V_{efecto}^{'} (r) = - \frac{2 α}{r^{3}} + \frac{β}{r^{2}} + \frac{3 γ}{r^{4}} = 0

$V_\text{eff}'(r) = -\frac{2\alpha}{r^3} + \frac{\beta}{r^2} + \frac{3\gamma}{r^4} = 0$ lo que implica

β r^{2} - 2 α r + 3 γ = 0

$\beta r^2 - 2\alpha r + 3\gamma = 0$ Esta ecuación tiene el discriminante

Δ^{2} = 4 (α^{2} - 3 β γ)

$\Delta^2 = 4(\alpha^2 - 3\beta\gamma)$ Entonces

V (r)

$V(r)$ tiene dos extremos si

α^{2} ⩾ 3 β γ

$\alpha^2\geqslant 3\beta\gamma$ lo cual es cierto si

γ

$\gamma$ es suficientemente pequeño.

¡Muchas gracias por ayudarme aquí! Eso me lleva a mi segunda pregunta, cómo encontrar los radios. Como las órbitas son circulares, $r_{min} = r_{max}$ así que solo estarían en los extremos, ¿verdad? ¿Hay una manera más sencilla de resolver esto? No he tenido suerte gráficamente ya que los valores son muy grandes y la fórmula es demasiado complicada para producir una buena derivada igual a cero.
@Alex Sí, los radios están en los extremos. solo resuelve $V_\text{eff}'(r)=0$ .

Alex · Answer 2

Encontrar los radios potenciales es bastante simple. Ya tengo:

V_{mi F F} (r) = \frac{L^{2}}{2 metro r^{2}} - \frac{GRAMO METRO metro}{r} - \frac{GRAMO METRO metro L^{2}}{r^{3} (metro C)^{2}}

$V_{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} - \frac{GMmL^2}{r^3(mc)^2}$

estaba graficando por error $1/r^2 - 1/r - 1/r^3$ , cuando en realidad tiene más sentido tomar $1/r^2 - 1/r - 0.1/r^3$ , desde $1/r^3$ es suficientemente pequeño.

Como las órbitas son circulares, los radios potenciales estarán en los extremos de la función $V_{eff}(r)$ , así que simplemente necesito tomar:

V_{mi F F}^{'} (r) = 0

$V'_{eff}(r) = 0$

\frac{- L^{2}}{metro r^{3}} + \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{3 GRAMO METRO metro L^{2}}{r^{4} (metro C)^{2}} = 0

$\frac{-L^2}{mr^3}+\frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMmL^2}{r^4(mc)^2} = 0$ Multiplicando cada lado por

r^{4}

$r^4$ , puedo ver que tengo una ecuación similar a:

a r^{2} + b r + C = 0

$ar^2 + br + c = 0$ Entonces puedo usar la fórmula cuadrática para obtener:

r = | \frac{- L^{2} / metro + - \sqrt{L^{4} C^{2} - 12 {GRAMO}^{2} {METRO}^{2} {metro}^{2} L^{2}} / metro C}{2 GRAMO METRO metro} |

$r = |\frac{-L^2/m +- \sqrt{L^4c^2 - 12G^2M^2m^2L^2}/mc}{2GMm}|$ Con referencia a mi gráfico, puedo ver que el primero de estos radios será inestable porque la energía es mayor que él, por lo que irá al infinito, mientras que para el segundo radio (más grande), la energía total es mayor que el mínimo local, por lo que el planeta/partícula quedará atrapado en el pozo de potencial, por lo que es estable.

Sustituyendo los valores aceptados para G, M, m, c y L en la ecuación que produce una r más grande (donde resto el signo +-), obtengo el radio real desde la tierra hasta el sol, ~ $1.5*10^8 km$ !

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Alex

garyp

Alex

Ali Moh

usuario12029

garyp

Alex

G. Paily

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púlsar

Alex

púlsar

Alex

No hay órbitas cerradas estables para un campo gravitatorio newtoniano en d≠3d≠3d\neq 3 dimensiones espaciales

Pon una bala en órbita alrededor de la luna

Movimiento descrito por a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

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