Ley de Ampere y teorema de Stokes para la densidad de corriente

Tanto en Griffiths como en Jackson, la ley de Ampere (o, por el contrario, la curvatura del campo magnético) se obtiene aplicando el teorema de Stokes a la integral de superficie de la densidad de corriente J. El argumento se basa en el hecho de que

I mi norte C = ∫ S j ⋅ d a
pero estoy luchando por ver cómo esto podría ser cierto en general para cualquier densidad de corriente y cualquier superficie delimitada por ∂ S .

Por supuesto, esto será cierto para un alambre recto que pasa por el centro de una espira amperiana, cuando el vector J es paralelo al vector normal de la superficie más simple encerrada por la espira, pero ¿qué pasa si el alambre está ligeramente inclinado con respecto a la espira? ¿avión? Usando la misma superficie plana, la corriente encerrada ahora será

∫ S I d ( X ) [ X y z ] ⋅ norte ^ d a
que claramente no es el mismo valor. Entonces, ¿la ley de Ampere solo explica el campo magnético producido por vectores paralelos a la normal?

Y mi segunda pregunta es esta. ¿Cómo se cumple el teorema de Stokes en el segundo caso, donde el rotacional solo es distinto de cero a lo largo de una sola línea? Una superficie diferente que se extienda a una tercera dimensión con una normal paralela a la corriente en la intersección, ¿no daría un valor diferente para la integral de superficie, dado que el área real de la superficie no importa? Obviamente, hay una falla grave en mi comprensión matemática del material, pero no es obvio para mí.

Gracias

Respuestas (1)

Su primera ecuación, que es una mera definición de la corriente, se aplica a campos vectoriales regulares j . No es sencillo aplicarlo a las funciones delta de Dirac. Si considera un cable de tamaño finito, cuando está en ángulo S la intersección es mayor por un factor 1 / porque ⁡ θ que compensa exactamente el porque ⁡ θ factor que surge del producto escalar.

Ahora para su segunda pregunta. Comencemos por escribir correctamente la densidad de corriente para un alambre infinitesimalmente delgado colocado a lo largo del z eje (está definido por las ecuaciones X = 0 , y = 0 , de ahí las dos funciones delta):

j = I d ( X ) d ( y ) z ^ .
Supongamos que la superficie de integración S es un rectángulo en un plano ( X ′ , y ) que está inclinado por un ángulo θ Con respeto a ( X , y ) avión. Visto de lado:

Vista lateral, en el plano (x,z)

Lo normal norte (a lo largo de un z ′ eje inclinado por θ bien z ) tiene coordenadas ( pecado ⁡ θ , 0 , porque ⁡ θ ) en el ( X , y , z ) sistema. Entonces

∬ S j · norte d S = ∬ S I d ( X ) d ( y ) porque ⁡ θ d S .

Entonces tenemos que expresar las funciones delta en X ′ y coordenadas y no ha cambiado Ecuación X = 0 se convierte X ′ porque ⁡ θ + z ′ pecado ⁡ θ = 0 , entonces d ( X ) es reemplazado por d ( X ′ porque ⁡ θ + z ′ pecado ⁡ θ ) . En S , z ′ siempre es cero, por lo que finalmente tenemos que calcular

∬ S I d ( X ′ porque ⁡ θ ) d ( y ) porque ⁡ θ d S .
Ahora, debes saber d ( k X ′ ) = 1 | k | d ( X ′ ) , por eso
∬ S I d ( X ′ porque ⁡ θ ) d ( y ) porque ⁡ θ d S = ∬ S I d ( X ′ ) d ( y ) d S = I .
(Alternativamente, expresar d S = d X ′ d y y variable sustituta X ″ = X ′ porque ⁡ θ .)

Gracias. Esto es muy útil. No tengo mucha educación formal en funciones delta. ¿Podría indicarme la dirección correcta en este caso? En cuanto a mi segunda pregunta, en realidad es solo una reafirmación de la primera. Si tiene un solo cable infinitesimalmente pequeño, ¿cómo puede el valor de la integral sobre cualquier superficie limitada por ∂ S ¿ser el mismo? ¿No puede el vector normal en el punto de intersección apuntar literalmente en cualquier dirección, dependiendo de la superficie? como puedo
∫ S j ⋅ norte d S
ser constante para cualquier S si J es una función delta y n puede apuntar en cualquier dirección?
En otras palabras, si el rotacional de B, m j , tiene valor cero en todas partes excepto a lo largo de un solo alambre infinitesimalmente pequeño (recto) donde la magnitud y la dirección de J son fijas, ¿cómo puede la integral de superficie sobre cualquier superficie limitada por ∂ S con cualquier posible normal ser el mismo? Si J es fijo y n puede ser cualquier vector, ¿cómo se cumple el teorema de Stokes? ¡Gracias!
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