¿Las ondas electromagnéticas contienen electrones?

No. Una onda electromagnética es una perturbación en el campo electromagnético que contiene un campo eléctrico que varía en el tiempo acompañado de un campo magnético que varía en el tiempo, y la perturbación se propaga. Cuando pasa la perturbación, no queda nada atrás, y dentro de la perturbación del campo (lo que llamamos onda) no hay partículas cargadas o pequeños imanes presentes en ningún momento.

Eso depende. Las ondas electromagnéticas son posibles en el vacío y bastante abundantes. Estos no implican ningún cargo o distribución de corriente. En un medio transparente, como el vidrio, las ondas em involucran cargas que mientras se mueven sincronizadas contribuyen al carácter de las ondas. Las ondas de plasma y los polaritones de plasma de superficie también implican cargas.

No. Las ondas electromagnéticas en realidad no "contienen" nada. Clásicamente, puede describirlos como perturbaciones de los campos eléctricos y magnéticos en el espacio que están en cierta relación (por ejemplo: satisfacen las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de D'Alembert, también conocida como la ecuación de onda). Una onda electromagnética se puede describir como uno (o más) fotones en un enfoque cuántico. De cualquier manera, no contienen electrones. Sin embargo, interactúan con los electrones: el campo eléctrico de la onda provoca una fuerza sobre los electrones, y si se están moviendo experimentarán una fuerza de Lorentz debido al campo magnético de la onda.

La respuesta canónica es no : el campo electromagnético es en sí mismo un tipo de materia, distinta de lo que normalmente percibimos como materia en términos de partículas, como electrones, protones, etc.

Éter
El punto de vista moderno mencionado anteriormente no siempre fue generalmente aceptado: ha habido muchos intentos de modelar las ondas electromagnéticas como movimientos de una sustancia especial, llamada éter luminífero o simplemente éter, que haría que estas ondas fueran similares a las ondas en el agua. La discusión popular se puede encontrar, por ejemplo, en De la Tierra a la Luna de Julio Vernes (o Alrededor de la Luna - no recuerdo cuál exactamente, solo que me sorprendió leerlo como una discusión seria).

La polarización de vacío
@akhmeteli en los comentarios ha señalado que en QFT puede ser más difícil diferenciar el campo electromagnético de los electrones:

¿Las ondas electromagnéticas contienen electrones? Bueno, esto puede ser exagerado, pero probablemente se pueda dar una respuesta afirmativa citando la polarización del vacío.

Polarización de un medio
Finalmente, si una onda electromagnética se propaga en un medio, provoca polarización (en el caso más simple representado por la constante dieléctrica$\epsilon$), que se debe al campo adicional creado por los electrones desplazados por el campo. Nuevamente, estrictamente hablando, el campo no contiene los electrones, pero a menudo son inseparables.

Curiosamente, no contienen electrones, sino que en realidad están formados por fotones, incluso aquellas ondas que no están en una frecuencia que conocemos como luz visible.

Aquí hay una fuente de Nasa.gov:

https://imagine.gsfc.nasa.gov/science/toolbox/emspectrum1.html#:~:text=Electromagnetic%20radiation%20can%20be%20described,energy%20found%20in%20the%20photons .

Todo cuerpo por encima de cero Kelvin emite fotones. La radiación electromagnética es la suma de todos los fotones emitidos por partículas subatómicas excitadas. Básicamente es radiación térmica.

Las ondas electromagnéticas son una forma especial de radiación EM. La aceleración síncrona y periódica de electrones en la superficie de un conductor da como resultado la radiación de fotones polarizados. Esta radiación tiene un máximo periódico de fotones: es una onda que se propaga.

El punto es que cada fotón es una partícula indivisible, se mueve en el vacío con la misma velocidad c y tiene un componente de campo eléctrico oscilante y un componente de campo magnético oscilante. Los fotones se sostienen con sus campos oscilantes. No necesitan ningún entorno para existir. Por el contrario, toda materia en el camino del fotón conduce a la absorción de un fotón por partículas subatómicas.