¿Las excentricidades orbitales en un sistema binario son siempre las mismas?

Algunos ejercicios sobre las leyes de Kepler y el sistema binario utilizan esta relación

r 1 r 2 = a 1 a 2 ,
dónde r es la distancia desde el centro de masa a cada objeto y a es el semieje mayor de su órbita. Dada esta ecuación
r = a ( 1 − mi 2 ) 1 + mi porque ⁡ θ
y el hecho de que ambos cuerpos están siempre opuestos entre sí, la única forma en que se cumple la primera relación es si mi 1 = mi 2 , pero no sé cómo probar eso.

Respuestas (1)

Coloque el centro de sus coordenadas en el centro de masa; esto dice que METRO 1 r → 1 + METRO 2 r → 2 = 0 . Como no hay fuerzas externas, el centro de masa no se mueve y esta ecuación se mantiene para siempre. Por lo tanto, podemos expresar la posición de un cuerpo en términos del otro y la relación de masa:

r → 2 ( t ) = − METRO 1 METRO 2 r → 1 ( t ) .
Por lo tanto, la segunda masa traza una órbita que tiene exactamente la misma forma que la órbita de la primera masa. Los tamaños de las órbitas difieren por el factor METRO 1 / METRO 2 , pero sus excentricidades son idénticas.

Tenga en cuenta que la afirmación de que las dos trayectorias tienen la misma forma (reescalada) es cierta en cualquier problema de dos cuerpos, no solo en el problema de Kepler. Sin embargo, solo en el problema de Kepler las órbitas se describen mediante elipses cerradas (y, por lo tanto, se pueden describir con una excentricidad y un eje mayor).

Gracias, muy clara la explicación :)
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