La teoría de London, ¿una descripción electromagnética?

La ecuación de London casi se sigue del modelo de conductividad de Drude y de las ecuaciones de Maxwell. Así es cómo.

En el modelo de Drude, asumimos que los electrones que se mueven a través de un metal están sujetos a dos interacciones. Primero, experimentan una cierta fuerza$\vec{F}$, y acelerar en respuesta a él. En segundo lugar, existe la probabilidad de que un electrón golpee un núcleo. Cuando esto sucede, asumimos que se detiene en seco. En una cantidad de tiempo$\Delta t$, suponemos que esta probabilidad es aproximadamente$\Delta t/\tau$.

Con base en estas suposiciones, no es demasiado difícil demostrar que el impulso total$\vec{p}$de un grupo de portadores de carga en algún volumen de un metal se rige por la ecuación

$$\frac{d \vec{p}}{dt} = - \frac{1}{\tau} \vec{p} + \vec{F}.$$ Pero el impulso de estos portadores de carga es proporcional a la densidad de corriente en el metal ( $\vec{J} \propto \vec{p}$), y la fuerza sobre ellos es proporcional al campo eléctrico ( $\vec{E} \propto \vec{F}$). Si ponemos todas las constantes apropiadas, esta ecuación se puede reorganizar para convertirse en $$\frac{\partial \vec{J}}{\partial t} = - \frac{1}{\tau} \vec{J} + \frac{n q^2}{m} \vec{E},$$ dónde $n$, $q$, y $m$son la densidad numérica, la carga y la masa de los portadores de carga (respectivamente). Para una corriente de estado estable ( $\dot{\vec{J}} = 0$), esto implica que $$\vec{J} = \frac{n q^2 \tau}{m} \vec{E},$$ que se puede reconocer como la versión microscópica de la Ley de Ohm, con $\sigma = n q^2 \tau/m$.

Sin embargo, un conductor perfecto es aquel en el que$\tau \to \infty$. Esto implica que

$$\frac{\partial \vec{J}}{\partial t} = \frac{n q^2}{m} \vec{E},$$ Si tomamos el rotacional de esta ecuación y aplicamos la Ley de Faraday, tenemos $$\frac{\partial}{\partial t} (\vec{\nabla} \times \vec{J}) = \frac{n q^2}{m} \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{n q^2}{m} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.$$ Así, debemos tener $$\vec{\nabla} \times \vec{J} + \frac{n q^2}{m} \vec{B} = \text{constant with respect to $t$.}$$

Hasta ahora no hemos usado nada más que el modelo de Drude y las ecuaciones de Maxwell. La suposición fundamental de la ecuación de London (y la parte que no se sigue de las ecuaciones de Maxwell) es que la constante en esta última ecuación es exactamente cero:

$$\vec{\nabla} \times \vec{J} + \frac{n q^2}{m} \vec{B} = 0.$$ Una vez que tenemos esto, podemos demostrar que $\vec{B}$casi desaparece dentro de la mayor parte de un superconductor. Si tomamos la espiral de la Ley de Ampere y asumimos campos estáticos, no es demasiado difícil demostrar que tenemos $$\nabla^2 \vec{B} = \frac{\mu_0 n q^2}{m} \vec{B}$$ lo que implica que $\vec{B}$debe morir o crecer exponencialmente dentro de un superconductor. Crecer exponencialmente está fuera de lugar, por lo que debe ser el caso de que los campos magnéticos decaigan a medida que te adentras en un superconductor. La escala de longitud característica para esta mortandad es $\lambda = \sqrt{m/\mu_0 n q^2}$, y esto resulta ser del orden de unas pocas docenas de nanómetros para la mayoría de los superconductores.

La primera parte del argumento simplemente dice que el efecto Meissner no puede explicarse simplemente como una consecuencia de la conductividad perfecta. Es un fenómeno físico independiente que debe explicarse por separado. No está diciendo que toda la teoría del electromagnetismo no se pueda aplicar a los superconductores.

El segundo argumento usa las ecuaciones de London para explicar cómo ocurre el efecto Meissner. Como parte de ese argumento, claramente debe describir el campo magnético. La descripción matemática de ese campo viene dada, como siempre, por las ecuaciones de Maxwell.