¿La teoría cuántica permite que un electrón tome una fracción de la energía de un fotón?

Hay una razón simple por la cual una elección libre no puede absorber un fotón por completo: no puede conservar tanto la energía como el impulso para el sistema si comienza con un electrón y un fotón y continúa con solo un electrón. También necesita un fotón final para satisfacer la conservación de la energía y el impulso.

Para el efecto fotoeléctrico las cosas son diferentes. No tenemos un electrón libre; está unido a un núcleo. En consecuencia, solo puede tener ciertos valores de energía precisos (y no interactuará con los fotones que lo moverían a un nivel de energía inexistente, que es el argumento básico para el comportamiento cuántico, pero en realidad no es comparable con la dispersión de Compton).

En la situación análoga a la dispersión de Compton, el fotón tiene más energía que la energía de enlace del electrón, por lo que terminamos con un electrón libre. Pero en este caso, la energía y el momento pueden conservarse sin un fotón final ya que el núcleo también está involucrado en la interacción. El estado inicial es {fotón, electrón ligado, núcleo} y el estado final {electrón libre, núcleo}.

Es posible construir diagramas de Feynman con un fotón final presente también, pero dado que tienen un vértice adicional, ocurren con menos frecuencia por un factor de aproximadamente la constante de estructura fina$\alpha\sim\frac{1}{137}.$

O para decirlo de otra manera, a veces en el efecto fotoeléctrico donde terminas con un electrón libre obtienes un fotón final, pero en menos del 1% de los casos (a menos que haya pasado por alto alguna razón por la que no puede suceder).

Todavía no entiendo si los electrones pueden tomar la energía de todo el fotón cuando están en niveles de energía y si pueden absorber una fracción de la energía del fotón cuando están libres.

Los electrones pueden estar libres o enlazados dentro de un átomo debido al potencial relativo entre el núcleo y el electrón, para un caso simple, es decir, el átomo de hidrógeno.

Cuando se une a un átomo, un fotón con una diferencia de energía exacta (dentro del ancho) al nivel de ionización puede ser completamente absorbido por el sistema atómico y un electrón quedará libre y el átomo retrocederá. Esto cinemáticamente es una situación de dos cuerpos. Antes es "fotón + átomo" después de "electrón + átomo". Existe un centro físico del sistema de masas.

En las interacciones de dos cuerpos, la energía y el momento son conservados por las partículas finales, en este caso un átomo ionizado y un electrón.

Cuando un electrón está libre, como en la dispersión de Compton, el sistema es "Fotón 1 + electrón" como estado inicial, y el estado final es "fotón 2 + electrón". Existe un sistema de centro de masa físico consistente en ambos casos.

La energía y el impulso se conservan desde el estado inicial hasta el final.

Si el fotón2 es un vector cero, el centro de masa inicial tendrá la masa invariable de "fotón1+electrón", que será mayor que la masa del electrón, y el final tendrá la masa invariable del electrón. Esto es inconsistente con la conservación de energía y no puede ser físico.

¿Y cómo la energía y el impulso no se conservarán cuando el electrón unido es golpeado por un fotón de energía menor que la diferencia de energía entre dos celdas consecutivas y luego el electrón sale de su capa?

En mecánica cuántica, el átomo es un sistema ligado al que se le puede dar energía en cuantos, correspondientes a los niveles de energía.

Si la transición es "Fotón + átomo" pasando a "átomo excitado", es decir, el electrón cambió de nivel de energía, la energía se conserva porque ahora el átomo tiene más energía, la que cedió el fotón. En el centro de masa antes, la cantidad de movimiento es cero, y después de la cantidad de movimiento es cero y la energía antes es igual a la energía después porque el átomo está en un nivel excitado que transporta la energía del fotón.

El caso del fotón +electrón ---> electrón no puede conservar energía, porque en el centro de masa está la energía del fotón +la energía de la masa del electrón, entrante, pero sólo la energía de la masa del electrón saliente, el electrón no tiene estados excitados de mecánica cuántica para aumentar su energía de masa en reposo, como lo hace el átomo excitado.