¿La NASA tiene naves espaciales hechas específicamente para orbitar alrededor del Sol?

Sospecho que te refieres a objetos que no han salido del sistema solar (¿y cuál es el límite?) y que no están orbitando otro planeta.

Cada objeto en ruta a otro planeta que ha salido de la esfera de influencia de la Tierra y aún no ha entrado en la esfera de influencia del planeta objetivo está orbitando alrededor del Sol. Si las misiones Pioneer 10, Pioneer 11, Voyager 1 y Voyager 2 cuentan es un tema de debate. Dawn está en camino a Ceres. Rosetta se dirige a 67P/Churyumov–Gerasimenko; el encuentro será a finales de este mes. New Horizons, mientras se encuentra en una trayectoria de escape, aún no ha alcanzado la órbita de Plutón. La misión Mars Orbiter de India y el satélite MAVEN de EE. UU. están en camino a Marte.

También hay una serie de vehículos en pseudoórbitas sobre los puntos de Lagrange lineales Sol-Tierra (SEL1 y SEL2). Estas órbitas de puntos de Lagrange se están convirtiendo en el lugar de referencia para colocar observatorios en órbita.

Además de estos, se han colocado intencionalmente varios satélites en órbitas heliocéntricas con la intención de estudiar el espacio interplanetario o el propio Sol. Éstos incluyen

• Pioneer 5, para estudiar el espacio interplanetario entre la Tierra y Venus;
• Pioneer 6, 7, 8 y 9, para estudiar el viento solar, el campo magnético solar y los rayos solares y cósmicos;
• Helios 1 y 2, para estudiar varios procesos solares;
• Ulises, para estudiar el Sol desde una órbita de muy alta inclinación;
• Génesis, una misión de retorno de muestras de partículas de viento solar;
• STEREO A y B, que monitorean el Sol.

STEREO A y B son los únicos dos que están actualmente activos.

Además de la definición dada por David H, agregaría Ulysses , que observa específicamente el sol desde fuera del plano de la eclíptica y podría significar lo que pregunta el interrogador.

Ulises dio dos vueltas alrededor del sol, una sobre cada polo, y su misión termina oficialmente después de la segunda vuelta. Para salir del plano de la eclíptica, hizo una asistencia gravitatoria en Júpiter, para poder regresar hacia el sol, sobre la parte superior/inferior. Una gestión bastante sorprendente de la mecánica orbital para hacer eso.

Wikipedia tiene un buen gráfico de cómo se manejó esa órbita :