La energía cinética relativista no tiene límite superior, entonces, ¿por qué hay un radio de Schwarzschild?

Si aplicamos la mecánica clásica a una partícula puntual con una gran masa$M$y otra partícula puntual de pequeña masa$m$tal que$m << M$, encontramos (usando la ley de Newton para la gravedad) que la energía potencial$U$del sistema está dada por$U = -\frac{GMm}{R}$. La partícula escapa cuando la energía total (Cinética + Potencial) es igual a cero, por lo tanto la velocidad de escape$v$debe ser dado por

$$v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$ Y para esto asumimos que la energía cinética está dada por$\frac{mv^2}{2}$. Si queremos que la velocidad de escape sea$c$, tendremos$c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$, por lo tanto: $$R = \frac{2GM}{c^2}$$ Esto implica que el horizonte de eventos tiene un radio$R = \frac{2GM}{c^2}$.

Supongo que su pregunta se basa en el argumento anterior. Lo que pretendías hacer era corregir el argumento introduciendo energía cinética relativista. Luego encontró que la energía cinética no tiene un límite superior y puede tener cualquier valor positivo, y esto parece violar nuestro resultado.

¿Dónde está el problema? Bueno, el argumento anterior es erróneo y fundamentalmente incorrecto. Algunos puntos:

• Utilizamos una fórmula clásica de energía potencial. Esto significa que nuestro campo es newtoniano, y los campos gravitatorios newtonianos violan la Relatividad. La gravedad relativista debe estudiarse utilizando la Relatividad General.

• No existe un límite superior para la energía potencial en la mecánica clásica, ya que las leyes de Newton permiten que una partícula con masa distinta de cero$m$tener cualquier velocidad. Esto también viola la Relatividad, pero cabe señalar que tanto la Relatividad como la Mecánica Clásica predicen que la energía cinética puede tener valores tan grandes como queramos. No podemos simplemente decir " oh, la relatividad dice$v < c$, entonces la energía cinética clásica tiene un límite superior de$\frac{mc^2}{2}$", esto no tiene sentido.

• Dado que la energía cinética no está limitada por un límite superior, clásico o de otro tipo, todo el argumento se desmorona.

Pero si todo el argumento es incorrecto, ¿por qué da la fórmula correcta para el radio de Schwarzschild?

Bueno, esto es solo una coincidencia. La derivación es completamente incorrecta, pero de hecho, por coincidencia , da la respuesta correcta.

Entonces, ¿cómo se deriva realmente el radio de Schwarzschild? ¿Cómo debo estudiar este sistema gravitatorio relativistamente?

Bueno, ahí es donde entra en juego la Relatividad General. Tu intento de crear correcciones relativistas al campo gravitatorio falla, y la forma correcta de hacerlo es usando la Relatividad General. En este caso, considerando el vacío total, sin rotación y con carga eléctrica, buscaría la solución de Schwarzschild para las ecuaciones de la Relatividad General de Einstein. Busque la métrica de Schwarzschild. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric )

Usando la Relatividad General y la métrica de Schwarzschild, encontramos el mismo resultado para el radio de Schwarzschild que la derivación clásica que se muestra arriba, pero esto es solo una coincidencia.

Por ejemplo, podríamos cambiar el escenario: hacer que la masa$M$tener algo de tamaño y dejar que vaya girando. Esta vez, la mecánica clásica da el mismo radio de horizonte de eventos, pero la respuesta real es diferente. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric )

Como se menciona en los comentarios, la motivación para definir el radio de Schwartzschild no tuvo nada que ver con la velocidad de escape. Es solo la distancia desde un cuerpo central donde la métrica de Schwartzschild, expresada en coordenadas de Schwartzschild, se vuelve singular. Para los cuerpos celestes normales, esto no importaba ya que el radio se encuentra dentro del cuerpo (para el Sol es de 3,0 Km), por lo que la solución de Schwartzschild no se aplicaba allí (se suponía que se aplicaba a una región de espacio vacío esféricamente simétrica), pero después se empezó a especular con la existencia de cuerpos tan densos que el radio de Schwartzschild termina siendo en realidad un espacio vacío y así empezó a adquirir importancia. Por casualidad coincide con la distancia encontrada por John Michell en el siglo XVIII donde la velocidad de escape coincide con la velocidad de la luz.

Puede escribir la energía, incluida la parte cinética y potencial en relatividad general como:

Esto también se puede escribir como:

($\hat{r}=\bar{r}/r,\hat{v}=\bar{v}/v$)

Como está escrito aquí, puede ver que necesita energía infinita para moverse en el radio de Schwarzschild de$r=2GM/c^2$. También puede ver que la energía de un cuerpo en reposo en el radio de Schwarzschild se vuelve cero. Todo esto es para el caso de un campo gravitatorio esféricamente simétrico.

Hay un radio de Schwarzshild porque la expresión de la energía que se muestra arriba es una forma de verlo.