La atracción de la Luna provoca mareas en el otro lado de la Tierra: ¿por qué?

Imagina que tenemos un objeto muy masivo en el espacio. A cierta distancia (llámese diez unidades) soltamos tres pelotas de tenis seguidas:

Todas las pelotas de tenis caen hacia el objeto masivo. Pero debido a que la gravedad es como la distancia al cuadrado, las bolas más cercanas sienten una atracción más fuerte que las bolas más lejanas y se separan entre sí:

Estás montando en la pelota de tenis del medio. Te sientes como si estuvieras en caída libre, en un buen marco de inercia. Miras hacia el objeto pesado y ves que la pelota de tenis que va delante se aleja de ti. Apartas la mirada del objeto pesado y ves que la siguiente pelota de tenis se aleja de ti. El objeto pesado está separando las tres pelotas de tenis.

Del mismo modo, si tuvieras tres objetos a la misma distancia cayendo hacia el objeto masivo,

los verías converger ya que todos caían a lo largo de rayos ligeramente diferentes hacia el mismo centro. Esto da la compresión de marea. Puedes imaginar el proceso de lanzar una constelación completa de pelotas de tenis, elegir la central como tu "marco de descanso" y hacer que sus movimientos se aproximen al patrón de flecha en la figura de Joshua.

La situación sigue siendo esencialmente la misma si agrega un momento angular, excepto que entonces su constelación de pelotas de tenis no choca contra el objeto masivo.

Primero debemos entender un poco lo que se entiende por "marea". Una marea es la diferencia de fuerza gravitacional que siente un objeto a través de su volumen de otro objeto. En el caso de la Tierra, el lado más cercano a la Luna siente una fuerza más fuerte que la atrae hacia la Luna que el centro de la Tierra, mientras que el lado opuesto a la Luna siente una fuerza más débil que la que siente el centro de la Tierra. La imagen a continuación (tomada de este sitio, que también es una gran referencia, especialmente para explicar algunos conceptos erróneos sobre la segunda marea lunar) muestra esto. El centro de la tierra siente una fuerza hacia la luna según lo calculado por la Ley de Gravitación de Newton:

mientras que las otras áreas de la superficie de la Tierra sienten una fuerza ligeramente diferente de la luna que el centro de la Tierra, como lo demuestran las flechas. El lado más cercano a la luna siente una fuerza adicional en virtud de estar más cerca de la luna, como lo demuestran las flechas que apuntan hacia la luna, mientras que el lado más alejado siente una fuerza menos fuerte, representada por las flechas que apuntan en dirección opuesta a la luna ( aquí representado como un satélite genérico ).

El lado más cercano a la luna tiene una protuberancia de marea debido a la fuerza gravitatoria adicional que eleva el nivel del mar por encima del nivel promedio, mientras que el lado opuesto a la luna también tiene una protuberancia de marea en virtud de la fuerza de gravedad disminuida que se siente al estar más lejos. desde la Luna. Entonces, ambas protuberancias son causadas por la luna; un lado siente una mayor atracción, mientras que el otro lado siente una atracción menor.

La Tierra está en caída libre hacia la Luna. Debido a que la gravedad decae con la distancia, el lado cercano a la luna quiere caer más rápido que el centro de la Tierra, mientras que el otro lado tiende a caer más lento. Así observado en la Tierra, el otro lado "se queda atrás" y por lo tanto tenemos marea alta allí.

Tratemos de encontrar la aceleración en los puntos A y B con respecto al centro de la tierra O debido a la influencia de la luna y la tierra, como se muestra en la figura. O y X son el centro de la tierra y la luna respectivamente. Sea el radio de la tierra
$R_E$, la distancia entre la tierra y la luna ser$d$, masa de la tierra y la luna ser$m_E$y$m_M$respectivamente.$O$a$X$se toma como la dirección positiva. he asumido$R_E << d$.

Aceleración del punto B$a_B$es:

Esto se debe a que el campo gravitatorio de la Luna, como cualquier objeto, no es uniforme; en particular, más cerca de la Luna es más fuerte y más lejos es más débil. Con respecto a la Tierra, el lado de la Tierra que está más cerca de la Luna experimenta un tirón ligeramente más fuerte que el lado más alejado, lo que efectivamente da como resultado que la Tierra se "estire" muy levemente a medida que el lado más cercano acelera más que el más lejano. lado en respuesta, y cuando estiras una esfera elástica, se vuelve oblonga con un bulto en cada lado y no solo en un lado como una pera (como imagino que estarías pensando que tendría que verse).

Desde el punto de vista del centro de masa de la Tierra, que está siendo acelerado por este efecto y puede ser más natural para usted, el cambio del marco de referencia da como resultado que el lado de la Tierra más cercano a la Luna experimente una fuerza hacia él, y el opuesto El lado experimenta una fuerza "ficticia" dirigida hacia afuera, creando así un estiramiento en ambas direcciones: esta fuerza ficticia opuesta porque ese marco no es inercial, al igual que cuando conduce su automóvil, hay una fuerza "ficticia" cuando golpea el acelerador que quiere empujarte hacia el asiento y tirar el cabezón del salpicadero.

En un campo gravitacional uniforme, este efecto no ocurre. La diferencia de fuerzas que produce el estiramiento se denomina, quizás no sin sorpresa, "fuerza de marea".

Además, si uno ha leído algún libro de ciencia ficción o ha visto películas sobre "agujeros negros" y ha hablado de "separarse como un espagueti" cuando se cae porque la fuerza en los pies es mayor que la de la cabeza, eso es exactamente este efecto, pero mucho más extremo, y por el contrario, este efecto es una forma muy, muy incipiente del efecto de "tirón de espagueti" que se manifiesta en una distancia mucho mayor debido al gradiente gravitacional mucho más suave.

Un modelo bidimensional parece muy útil para la comprensión. Esto se muestra en la siguiente imagen.

La luna se modela como una masa puntual a la derecha, denotada por la letra$m$. Para ver que hay mareas en$A$y$B$, es necesario demostrar que en el marco de referencia fijo en la tierra, la aceleración aparente que se experimenta en$A$y$B$hacia el centro de la tierra"$e$" es menor que, digamos, que en el punto de referencia$R$.

Para simplificar, tome la luna y la tierra girando alrededor del centro de masa "C" en una órbita circular con$|em|=r_r$. La tierra puede o no estar girando por sí misma. Al calcular la aceleración hacia el centro de la tierra$e$por los puntos$A$,$B$y$R$respectivamente, la atracción gravitacional debida a la tierra y la aceleración centrífuga debida a la propia rotación de la tierra son todas exactamente iguales, por lo que se pueden descartar de aquí en adelante.

En el punto$A$, la aceleración hacia$e$se debe a la atracción gravitacional de la luna y al efecto centrífugo debido a la rotación orbital de la tierra y la luna entre sí (sin tener en cuenta la atracción gravitacional de la tierra y la aceleración centrífuga debida a la propia rotación de la tierra como se mencionó anteriormente):

Del mismo modo, en el punto$B$la aceleración hacia el centro de la tierra es

En el punto de referencia$R$, el término centrífugo debido al movimiento orbital no contribuye mientras que la atracción gravitatoria de la luna conduce a:

Lo probé de esta manera, sin compararlo con objetos en caída libre. Considere dos masas esféricas, una grande con masa$M$y radio$R$, y una pequeña con masa$m$y radio$r$. La distancia entre los centros de las esferas es$l$. Giran alrededor de su centro de masa (dado por$\frac {l}{1+\frac{M}{m}}$) con una velocidad angular de$\Omega$. M gira con velocidad angular$\omega$. Las velocidades de rotación se encuentran en el mismo plano.

Si calculo las fuerzas que actúan en lados opuestos de$M$, sobre la línea entre los centros de masas, y compárelos con el caso en el que no$m$está presente podemos ver lo que sucede si el agua estuviera presente en$M$.

Para el lado lejano en$M$tenemos estas fuerzas:

$F_{cf\Omega}$, la fuerza centrífuga debida a la rotación de$M$alrededor del CM.

$F_{cf\omega}$, la fuerza centrífuga debida a la rotación de$M$sí mismo.

$F_{gM}$, la fuerza gravitacional de la esfera que estamos mirando, dirigida hacia el centro de$M$

$F_{gm}$, la fuerza gravitacional de la otra esfera, dirigida hacia el centro de$m$.

Comencemos con la fuerza total sobre una masa de prueba (que hacemos 1$kg$) en el lado opuesto que es, por supuesto, la suma de todas las fuerzas, que son (cf significa centrífugas):

y debido a${\Omega}^2=\frac{G(M+m)}{l^3}$

Suponer$\omega=0$. En este caso, la fuerza centrípeta$F_{cf\Omega}$(dirigido lejos de$m$en la línea$l$(de ahí el signo menos) es mayor que la fuerza gravitacional combinada sobre la partícula de prueba ejercida por$M$y$m$. Entonces, si el agua estuviera presente en el otro lado de$M$el agua experimentaría menos fuerza. De ahí un bulto. Cuando$\omega$tiene un valor positivo, la fuerza centrífuga total será aún mayor, y también lo será la protuberancia.

En el lado opuesto (en$M$, el más cercano a$m$), la fuerza centrífuga debida a$\Omega$empuja el agua hacia el suelo, pero la fuerza gravitacional combinada de$M$y$m$está alejando el agua de$M$con una fuerza mayor, por lo que también se desarrolla una protuberancia de agua en este lado. Si$\omega$es distinto de cero el asociado$F_{cf\omega}$hará, en este caso, que el bulto también sea más grande, ya que en este caso está dirigido hacia$m$en cambio en la dirección opuesta.

Esto es válido para masas con superficies perfectamente lisas. Para superficies como la Tierra (forma 11$km$debajo de la superficie del agua a 9$km$por encima de la superficie del agua, la superficie áspera distorsionará la protuberancia de dos lados de manera caótica. El agua fluye en este caso de formas misteriosas. La rotación de la Tierra hace que las protuberancias se distorsionen aún más.

Otra forma de imaginar la respuesta es considerando que la Tierra gira alrededor del mismo punto que nuestra Luna. Si la luna tuviera la misma masa que la tierra este punto estaría a mitad de camino entre los dos cuerpos. Como la luna es mucho más ligera que la tierra, el centro de rotación está mucho más cerca de nuestro planeta pero está fuera de la superficie terrestre. Debido a que la tierra gira alrededor de este Centro de Gravedad, todas sus partes experimentan fuerzas centrípetas variables. La materia sólida y líquida en la parte de la superficie de la tierra que está más alejada del CofG tiene las fuerzas más altas, la materia más cercana al CofG tiene la menor, mientras que en el medio hay un gradiente de magnitudes. Entonces, el agua en el lado lejano es la que más sale, en el lado cercano la menos y el sólido en el medio en algún lugar entre los dos. Así que dos bultos, aunque no del todo en línea con la luna debido a las restricciones al flujo de agua (fricción). Cuando el sol y la luna están en la misma línea que la tierra, las mareas son más altas.