¿La aceleración es relativa?

Encuentro que la frase "la aceleración no necesita ser relativa a nada" es incómoda, pero puedo ver de dónde viene.

Por el momento restringimos nuestra consideración a la relatividad galileana (solo para simplificar las matemáticas). Considere dos marcos de referencia uno ($S$) en el que el cuerpo está en reposo y otro ($S'$) en el que se mueve con velocidad$\vec{v'_i} = \vec{u} = u \hat{z}$.

Entonces tenemos la velocidad inicial del cuerpo en el marco$S$como$v_i = 0$, y$v' = v + u \hat{z}$

Ahora suponga que el cuerpo acelera desde el tiempo$t$en aceleración$\vec{a} = a \hat{Z}$resultando en una velocidad en el marco$S$de$\vec{v_f} = a t \hat{z}$.

Calcular la velocidad final en el cuadro$S'$como$v'_f = v_f + u \hat{z} = (u + a t)\hat{z}$, y de ahí la aceleración en el marco imprimado como$a' = a$.

Por lo tanto, la aceleración es la misma en todos los cuadros (puede verificar los casos para$a \not\parallel u$usted mismo), y es razonable decir que las aceleraciones no son nada relativo.

Todo esto es consecuencia de la forma simple de la transformación entre fotogramas:

Entonces, ¿qué pasa con la relatividad de Einstein?

Aquí la transformación entre fotogramas es más complicada, y las matemáticas son mucho más complicadas, lo que da como resultado que los observadores en diferentes fotogramas vean diferentes aceleraciones, pero todos estarán de acuerdo en la aceleración medida en el propio fotograma del cuerpo . En mi opinión, "la aceleración no tiene por qué ser relativa" corre el riesgo de causar una confusión innecesaria en estos puntos. La magnitud y la dirección medidas dependerán del marco del observador, que es a menudo lo que se quiere decir cuando la gente dice "es relativo".

La respuesta muy simple a su pregunta es que sí, la aceleración es relativa. Aunque la física newtoniana está escrita con respecto a un marco de referencia preferido ("las estrellas fijas", como dijo Newton), la relatividad general trata todos los marcos de referencia, acelerando o no, en igualdad de condiciones. El marco de Newton, o el "marco inercial", simplemente significa "no acelerar RELATIVAMENTE a la mayor parte de la materia en nuestro universo". Si, localmente, por ejemplo, hubiera suficiente masa moviéndose en alguna dirección, entonces habría efectos de arrastre del marco por el cual el marco de referencia 'inercial' local (donde las Leyes de Newton son válidas) parecería cambiar en relación con la materia 'fija' más distante. Este es básicamente el contenido del principio de Mach, que fue uno de los principios de Einstein.

En cierto modo, haré trampa y descuidaré la parte de la relatividad; en su lugar, me centraré en su confusión matemática con respecto a la diferenciación.

Lo que has olvidado es que tenemos una restricción. Tu argumento es así, correcto:

Aah, pero tenemos una restricción:$\vec F=\frac{\rm d\vec p}{\rm d t}=m\frac{\rm d\vec v}{\rm d t}=m\vec{a} _\text{ (for constant mass)}$.

Esta restricción hace poca diferencia cuando cambiamos entre fotogramas con velocidades relativas constantes, ya que la derivada de la velocidad permanece igual. Pero, en el momento en que tratamos de cambiar a un cuadro acelerado, las cosas se ponen feas. Obtenemos:

Se ve bien, ¿no? Podríamos escribir$m\vec a_{b,a}\to\vec F_{b,a}$, y la ecuación sería muy práctica: mostraría que la fuerza también es relativa. ¿Derecha?

Equivocado. Según nuestra suposición, la aceleración y la velocidad son cantidades relativas. Para medir una cantidad relativa, uno debe tener un marco de referencia. Por el contrario, la fuerza es algo que se puede medir sin necesidad de un marco. Una balanza de resorte es suficiente.

Esta ecuación muestra que la fuerza aparente varía con su marco de referencia. Probablemente sepas esto, pero esto proviene de la presencia de una "pseudofuerza": el$m_{b,a}$término. No es una fuerza real, pero aparece cada vez que tratamos de aplicar las leyes de Newton a un marco no inercial{*}. Como es parte de la fuerza aparente, se puede medir. Dado que aparece cuando cambia de marco, siempre podrá detectar que se produjo un cambio de marco. Esto contrasta con el cambio entre marcos inerciales: a menos que tenga un objeto fijo afuera, no puede notar la diferencia.

Básicamente, no es un problema matemático, sino un problema con lo que se puede y no se puede medir dentro de un marco .

En realidad, todo esto proviene del hecho de que las leyes de Newton solo son aplicables en un marco inercial. Cuando se le preguntó "¿cuál de las leyes de Newton es la más importante?" la mayoría de la gente diría la segunda y/o tercera ley. La primera ley siempre se cuenta como resultado de la segunda ley. Esto es realmente falso, no hay una ley privilegiada de los tres, y son independientes . La función de la primera ley es definir el ámbito de aplicación de las tres. En un marco no inercial, la primera ley no se cumple (ya que un objeto en reposo aún se acelera), por lo que las otras dos tampoco se cumplen. La pseudofuerza es solo una forma de engañar a las leyes para que funcionen.

Entonces, si tenemos un montón de leyes que solo funcionan en un marco sin aceleración, eso significa que "sin aceleración" tiene un significado absoluto. Por tanto, toda aceleración es absoluta.

En resumen: la "relatividad" no estaba allí en primer lugar. Simplemente aparece cuando tomamos un caso especial de$a_{frame}=0$--útil en sí mismo, pero no generalizable.

^{* inercial-->velocidad constante sin gravedad, no inercial-->aceleración y/o gravedad}

Eso es porque la ecuación de movimiento es una ecuación diferencial de segundo orden. F=ma. Si lo integra para obtener r(t), obtiene dos constantes de integración arbitrarias. Por lo tanto, tiene dos grados de libertad, lo que hace que la r(t) absoluta y la v(t) absoluta sean invariantes al agregar una constante.

Esto es válido para las ecuaciones de movimiento relativistas e incluso para la QM relativista. Siempre que su ecuación diferencial básica de movimiento sea de segundo orden, obtendrá dos constantes de integración.

Si y no. La aceleración de coordenadas no necesita ser relativa, pero la aceleración adecuada siempre es invariable.

La aceleración no necesita ser relativa a ningún objeto. Es relativo al espacio (/spacetime), que es como un sistema de coordenadas universal. Cada vez que aceleras, hay señales. Por ejemplo, imagina que estás en un ascensor en el espacio profundo. Si comienzas a acelerar hacia arriba (en la dirección normal a la parte superior de la cabina del ascensor) a 9,8 m/s^2, comenzarás a sentir que la gravedad de la Tierra te está empujando hacia abajo. Si tuviera una ventana, fuera de la cual viera una cabina de ascensor idéntica, parecería acelerar hacia abajo a 9,8 m/s^2. En este sentido, está acelerando con respecto a ti, pero una persona dentro del auto estaría flotando libremente, lo que indica que no está acelerando en el espacio-tiempo.

La Relatividad Especial se aplica a los marcos de referencia interciales, lo que significa que los marcos no están acelerando, pero es muy raro encontrar objetos que en realidad no estén acelerando, por lo que hacemos aproximaciones, como decir que la Tierra está en reposo cuando hablamos de una tierra. -Sistema de nave espacial. Para ver un ejemplo simple, observe la paradoja de los gemelos: Al y Bob son gemelos idénticos de 20 años. Bob vuela en su nave espacial a 0,87c (lo que da un factor de Lorentz de 1/sqrt(1 - v^2/c^2) = 2) a un planeta que está a 10 años luz de distancia, gira alrededor del planeta y regresa a la Tierra. . Al mira a través de un telescopio a la nave de su hermano y ve que el reloj de Bob se mueve a la mitad de la velocidad de su reloj en la Tierra. Bob, sin embargo, mira hacia atrás a la Tierra y ve que el reloj de Al se mueve a la mitad de la velocidad del reloj de su nave. Esto se debe a que la nave se mueve con una velocidad constante con respecto a la Tierra, formando los dos marcos de referencia inerciales que experimentan la dilatación del tiempo de la Relativista Especial. Cuando Bob regresa a la Tierra, tiene 40 años, pero Al ahora tiene 60. Esto se debe a que el marco de referencia de Bob pasó por aceleraciones (aumentando la velocidad inicialmente, luego girando alrededor del planeta y frenando nuevamente cerca de la Tierra). Este ejemplo muestra claramente que la aceleración en un sentido newtoniano debe ser relativa a algo, pero en la Relatividad existe un concepto de aceleración absoluta, que tiene ciertos efectos en la estructura del espacio-tiempo. El marco de referencia de s pasó por aceleraciones (aumentando la velocidad inicialmente, luego girando alrededor del planeta y frenando nuevamente cerca de la Tierra). Este ejemplo muestra claramente que la aceleración en un sentido newtoniano debe ser relativa a algo, pero en la Relatividad existe un concepto de aceleración absoluta, que tiene ciertos efectos en la estructura del espacio-tiempo. El marco de referencia de s pasó por aceleraciones (aumentando la velocidad inicialmente, luego girando alrededor del planeta y frenando nuevamente cerca de la Tierra). Este ejemplo muestra claramente que la aceleración en un sentido newtoniano debe ser relativa a algo, pero en la Relatividad existe un concepto de aceleración absoluta, que tiene ciertos efectos en la estructura del espacio-tiempo.

Nota: En la relatividad general, la gravedad no es una fuerza, sino una pseudofuerza (igual que la fuerza centrífuga; si conduce su automóvil en círculos, no existe una fuerza real que lo haga deslizarse en su asiento hacia el exterior del círculo; simplemente está sintiendo la pseudofuerza que resulta de tu aceleración hacia el centro del círculo). GR afirma que la presencia de masa dobla el tejido del espacio-tiempo, de modo que el espacio se acelera alrededor de objetos masivos. La gravedad que sentimos en la Tierra es el resultado de la aceleración ascendente de la estructura del espacio-tiempo a 9,8 m/s^2, lo mismo que sentirías en una cabina de ascensor en el espacio profundo que acelera hacia arriba.