Intuición física para derivados de orden superior

Si desea una explicación simple e intuitiva, puede obtener mucho de los vehículos.

En un automóvil que viaja a una velocidad constante, suponga que hay un punto blanco pintado en la parte superior del volante. Si ese punto está en el centro, estás viajando en línea recta. Si lo gira algún ángulo a la izquierda, digamos 90 grados, entonces el automóvil viaja en un arco circular con una aceleración lateral constante. Esa es la segunda derivada de la posición lateral.

Si gira la dirección a una velocidad constante de 0 grados a 90 grados, entonces la velocidad de aceleración lateral cambia constantemente mientras gira el volante. Eso es un tirón, y es constante porque estás girando el volante a una velocidad constante. Es la tercera derivada de posición lateral.

(Mientras hace esto, la trayectoria trazada por el automóvil es una espiral de curvatura linealmente creciente. Las curvas de autopistas y vías férreas se construyen usando estas espirales para conectar segmentos de curvatura constante. Tal espiral brinda un lugar para inclinar gradualmente la calzada, y sin él, los conductores tienden a cruzar los carriles y los trenes se sacuden al comenzar o terminar una curva).

Sin embargo, si no gira el volante a una velocidad constante, sino que lo acelera hacia la izquierda desde 0 grados hasta que lo gira rápidamente a 45 grados, y luego lo desacelera hasta que alcanza los 90 grados, entonces le está dando un doblete de chasquido, primero positivo, luego negativo, y esa es la cuarta derivada de la aceleración lateral.

Otro vehículo para ilustrarlo es un submarino que tiene planos de proa para controlar la profundidad. Supongamos que hay un motor que gira los planos de proa a una velocidad constante, hacia arriba, hacia abajo o 0. El ángulo de los planos de proa determina la velocidad de cabeceo del submarino. El ángulo de cabeceo del submarino determina la tasa de cambio de profundidad.

Entonces, el ángulo de cabeceo es proporcional a la primera derivada de la profundidad, el ángulo del plano de proa determina la segunda derivada y la velocidad del motor del plano de proa es la tercera derivada.

Además, tome un cohete con motores gimballed. Si la línea de empuje de un motor de cohete no pasa por el centro de masa del cohete, entonces produce una aceleración angular, o la segunda derivada de la orientación direccional. Hay motores que mueven los cardanes del motor, y la velocidad a la que los mueven determina la tercera derivada de la dirección.

Seguro que se te ocurren otros ejemplos.

La suavidad de la aceleración y, por lo tanto, de las fuerzas aplicadas y reactivas está relacionada con las derivadas superiores (es decir, sacudidas, chasquidos, crujidos y estallidos).

Entonces, una interpretación física sería si estás parado en un autobús y el conductor frena con una desaceleración constante hasta el punto en que el autobús se detiene, momento en el que sientes que te lanzan hacia atrás. Para evitar este problema, los conductores suelen soltar los frenos antes de detenerse para lograr una mejor transición. Idealmente, desea una curva de segundo orden para la aceleración, o un ajuste constante para hacer una transición agradable a una parada.

Siempre me ha gustado la explicación discreta.

En física, casi siempre puedes aproximar una función$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$diciendo cuál es el valor de$f$está en un conjunto discreto de puntos$\{x_i\} \subset \mathbb{R}$.

Si haces esto, aproximas la derivada observando cómo$f$cambia cuando te mueves de un punto a uno de sus vecinos más cercanos. Entonces, si su malla es una red de puntos$a\mathbb{Z} = \{an | n \in \mathbb{Z}\}$, solo llegas a dar un paso$a$. Las derivadas de segundo orden se construyen a partir de las diferencias de derivadas del vecino más cercano, por lo que puede viajar una distancia$2a$al construir derivadas de segundo orden. Así mismo, para$n$Derivadas de -ésimo orden, se puede ver información que es distancia$na$de ti en la celosía.

Las derivadas superiores de posición están relacionadas con "curvaturas generalizadas". En 3D, por ejemplo, la derivada de la aceleración está secretamente relacionada con la torsión de una curva. La pista es el triplete Frenet-Serret (binormal, normal, tangente) o el llamado repere mobile (a la Cartan). Existe una extensión dimensional más alta de este marco de referencia móvil para derivadas más altas. Por lo tanto, las derivadas de orden superior se pueden imaginar matemáticamente como diferentes clases de "curvaturas clásicas". Por ejemplo, el signo de f''(0) está relacionado con el carácter máximo/mínimo de f'(0)=0. Por lo general, las personas trabajan con teorías en las que solo importa la "curvatura" y generalmente se descuida la torsión. Sucede con la relatividad general, pero algunas teorías incluyen términos de torsión. De hecho, la dinámica de fluidos

Con respecto al significado clásico de algunas variables, tenemos algunas interpretaciones interesantes de derivadas de posición (en el sentido físico, no en el sentido matemático del que he hablado aquí en relación con la curvatura/torsión). Ver mi enlace a continuación.

Además, otra intuición física para derivadas superiores en la física moderna proviene de la Cosmología. Recuerdo que los llamados buscadores de estado del factor de escala de distancia en la Relatividad General relacionan la constante de Hubble con "una aceleración", y las derivadas superiores también están relacionadas con observables cosmológicos.

Mi publicación sobre derivados de posición y "su significado":

derivados de posición explicados

y su versión actualizada:

derivados de posición explicados

Tome una curva en el$xy$avión, descrito por$y=f(x)$, y considerar algún punto$(x_0,y_0)$en la curva

El valor de la función$f(x_0)=y(0)$da la posición del punto en una línea vertical a través de$x_0$sobre el$x$-eje.

La derivada$f'(x_0)=y_0'$da la pendiente de la tangente (aproximación lineal) en ese punto,$f(x_0+h) \approx y_0+y_0'h$.

la segunda derivada$f''(x_0)=y_0''$mide la desviación de la linealidad cerca del punto, en el sentido de que$f(x_0+h) \approx y_0+y_0'h+y_0''h^2/2$es una aproximación parabólica más precisa cerca de$x_0$.

la tercera derivada$f'''(x_0)=y_0'''$mide la desviación de la aproximación parabólica óptima cerca del punto, en el sentido de que$f(x_0+h) \approx y_0+y_0'h+y_0''h^2/2+y_0'''h^3/6$es una aproximación cúbica más precisa cerca de$x_0$.

etc la serie$y_0+y_0'h+y_0''h^2/2+y_0'''h^3/6+...$es la expansión de la serie de Taylor y da aproximaciones cada vez más precisas (pero a veces en vecindarios cada vez más pequeños).

Es fácil:$f'$te dice que tan rapido$f$está cambiando;$f''$le dice qué tan rápido está cambiando el cambio; etc.