¿Intensidad de los máximos secundarios en un patrón de rejilla de difracción?

El patrón de intensidad para múltiples rendijas es bastante complicado.

Es el resultado de dos efectos la "difracción$ de la luz por cada una de las rendijas y la interferencia de la luz de cada una de las rendijas.

Por lo tanto, la red de difracción se puede considerar como$N$ranuras cada una de ancho$b$y separación de centro a centro$a$.

La intensidad$I(\theta)$patrón para tal arreglo está dado por

dónde$I_o$es la intensidad en$\theta =0$producido por una sola rendija,$\beta = \dfrac {\pi b}{\lambda}\sin\theta,\;\alpha= \dfrac {\pi a}{ \lambda}\sin\theta$y$\lambda$es la longitud de onda de la luz.

El primer término entre paréntesis es la envolvente de difracción que modula el patrón de interferencia producido por las múltiples rendijas.
Asumiré que el ancho de la rendija$b$es lo suficientemente pequeño como para que el patrón de difracción sea muy amplio y no afecte mucho al análisis posterior.

El segundo término es el que genera los máximos principales y los máximos subsidiarios.

Los máximos principales ocurren cuando$\dfrac{\sin N\alpha}{\sin \alpha}=N$que ocurre cuando$\alpha = 0,\,\pm\pi,\, \pm2\pi, \pm3\pi . . . .$
Esto es consistente con la ecuación de rejilla normal$n\lambda= a \sin \theta$
La intensidad de los máximos principales es$N^2I_o$.

Los mínimos secundarios ocurren cuando$\dfrac{\sin N\alpha}{\sin \alpha}=0$y esto es cuando$\alpha = \pm \frac {\pi}{N},\, \pm \frac {2\pi}{N}, \, \pm \frac {3\pi}{N} . . . .$y habrá$N-1$de ellos.

Entre estos mínimos subsidiarios habrá máximos subsidiarios en valores de aproximadamente$\alpha = \pm \frac {3\pi}{2N},\,\pm \frac {5\pi}{2N},\,\pm \frac {7\pi}{2N},\, . . . .$y habrá$N-2$de ellos.

El siguiente bit me sorprendió.

Si$\sin N\alpha=1$,$N$es grande y$\alpha$entonces es pequeño$\sin \alpha \approx \alpha$.
La intensidad del primer máximo subsidiario es$N^2I_o \left (\frac{2}{3 \pi}\right)^2$cual es$5\%$de la intensidad máxima principal.

Esto fue una sorpresa porque siempre me han hecho creer que la intensidad de ese máximo subsidiario sería mucho, mucho menor que la del máximo principal adyacente.

Sorprendido por el análisis, me dediqué a trazar la función de intensidad para$N=10,\,100,\,1000,\, 10000$Como se muestra abajo.

Así que parece que el análisis fue correcto.
El próximo máximo subsidiario es de aproximadamente$2\%$y así los máximos subsidiarios disminuyen a medida que se alejan de los máximos principales.

Como un aparte, los gráficos muestran muy bien que a medida que aumenta el número de rendijas, aumenta la intensidad de los máximos principales, observe$I/Io$escala, mientras que el ancho de los máximos principales disminuye, mira la$\alpha$escala.

El patrón de difracción que ves es el cuadrado de la Transformada de Fourier de la función de apertura. Ahora, el teorema de convolución nos dice que el FT de una convolución de A y B es el producto de los FT de A y B. En otras palabras, si tiene una rejilla de difracción hecha de rendijas de ancho finito, puede considerar el patrón de difracción para ser el patrón obtenido a partir de una rejilla perfecta, multiplicado por el patrón obtenido a partir de una única rendija de ancho finito (una función sinc si estuviera realizando un seguimiento).

Buscar en Google "convolución de rejilla de difracción" da https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/difraction/convolution.php como el primer resultado. Contiene detalles matemáticos y diagramas que profundizan más.

ACTUALIZAR

No había leído su pregunta correctamente: estaba preguntando sobre el efecto de tener una rejilla de difracción "perfecta" con un ancho finito (número finito de rendijas). Tal rejilla puede considerarse como el producto de una función de "sombrero de copa" y una rejilla infinita, y el patrón de difracción será la convolución de las transformadas de Fourier de esas dos aperturas (este es el teorema de convolución "en la otra dirección" ).

La transformada de Fourier de una serie infinita de rendijas es una serie infinita de picos; el FT de la función de sombrero de copa es (nuevamente) una función sinc, pero ahora, dado que el sombrero de copa es más ancho que el espacio entre las rendijas, una buena cantidad de picos de la función sinc encajarán entre dos máximos en el patrón de difracción; sin embargo, su intensidad será la misma, independientemente de N ( siempre que N sea lo suficientemente grande como para que se pueda despreciar el patrón debido al pico vecino ). Lo único que cambiará es el espaciado de los picos.

Sin embargo, cuando N no es "muy grande", definitivamente tendrá un efecto. Las siguientes gráficas así lo muestran:

El problema aquí es que hay un grado de interferencia constructiva entre el$n^{th}$pico de un máximo y el$(N-n)^{th}$pico del siguiente... e incluso alguna interferencia de máximos que están más lejos. Mostrar esto solo para N=3 ilustra este punto:

Ahora, como puede ver, los picos secundarios son un poco asimétricos, lo que dificulta encontrar una suma precisa para el caso general (el caso N=3 es un poco más fácil porque los picos del mismo orden se superponen y cancelan la asimetría).

Si puede suponer que el pico está siempre en el punto medio entre los ceros, puede escribir una expresión para la amplitud: será la suma de los cuadrados de los picos que se superponen. La función que describe el patrón básico es

Los máximos ocurrirán cuando$nx = \frac32, \frac52, ...$por lo que los valores serán

Ahora, un submáximo dado tendrá contribuciones de todos los demás máximos; puede ver que tendría que construir una serie sumando las contribuciones. Para el n-ésimo submáximo cuando hay N rendijas, los primeros cuatro términos serían:

en realidad, solo será necesario incluir un par de términos, y solo cuando N sea bastante pequeño. Dejaré que usted averigüe si puede convertir esto en una suma de forma cerrada (analítica), pero dada la suposición (falsa) de simetría, no creo que valga la pena el esfuerzo.

Evaluando esto exactamente (a partir de la convolución), los valores para el máximo del primer pico secundario en función de N son:

N=  3; max = 0.1019
N=  4; max = 0.0690
N=  5; max = 0.0593
N=  6; max = 0.0550
N=  7; max = 0.0527
N=  8; max = 0.0513
N= 10; max = 0.0497
N= 50; max = 0.0473
N=200; max = 0.0472

El valor que esperaría de la expresión anterior haría que el primer pico converja en 0,04509; no parece que vaya a suceder, ya que la asimetría deja el máximo un poco a un lado.

El código Python que usé para generar estos diagramas:

# finite grating calculations
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

d = 1.     # pick a spacing
ell = 0.01 # pick a wavelength
a0 = ell/d # angle where first max occurs .. small angle approximation
ns = 500   # number of angular steps between major peaks
a = np.arange(-3*ns,3*ns+1)*a0/ns # angle in radians

# the pattern for an infinite grating:
f1 = np.zeros(len(a))
f1[0:-1:ns]=1

fig1=plt.figure()

for jj,N in enumerate([2,3,4,10]):
    # the sinc function for this number of slits:
    f2 = np.sin(N*a*pi/a0)/(N*a*pi/a0)
    f2[np.where(np.isnan(f2))]=1 # get rid of the divide by zero in the middle

    # compute the convolution
    pattern = np.convolve(f1,f2*f2,'same')

    ax=fig1.add_subplot(2,2,jj+1)
    ax.plot(a/a0,pattern)
    ax.set_title('N=%d'%N)
    ax.xaxis.set_ticks(np.arange(-2,3,1))
    ax.set_xlim([-2,2])

fig1.show()

# show the interference more explicitly for a small number of slits
N=3
f2 = np.sin(N*a*pi/a0)/(N*a*pi/a0)
f2[np.where(np.isnan(f2))]=1

fig1=plt.figure()
ax=fig1.add_subplot(1,1,1)
for jj in range(4):
    f1 = np.zeros(len(a))
    f1[(jj+1)*ns]=1
    pattern = np.convolve(f1*f1,f2*f2,'same')

    ax.plot(a/a0,pattern)

ax.xaxis.set_ticks(np.arange(-2,3,1))
ax.set_xlim([-2,2])
fig1.show()