Impedancias de filtro de paso bajo

Perdón por la nigromancia (y sé que es poco probable que el OP vea esto), pero esto se puede responder. Primero, la respuesta de @The Photon tiene buenos puntos, por lo que mi objetivo no es la competencia, sino la integridad.

El filtro se puede calcular, pero primero hay algunas cosas que debe saber:

1. La impedancia de un altavoz electrodinámico típico tiene un bache en su frecuencia de resonancia y una pendiente ascendente hacia las frecuencias altas. A continuación se muestra una posible representación de un woofer (una versión bastante simplificada):

El valor de la impancia se establece en la parte inferior de la "campana", o más cerca de CC (pero no de CC, que freiría la bobina), o @ 1 kHz. Para subwoofers también los he visto definidos a 100 Hz, ya que su frecuencia de resonancia puede ser de ~20~30 Hz. Para este, los valores son 8,94 Ω a 1 kHz y 8,5 Ω a 100 Hz; ambos están cerca de un altavoz estándar de 8 Ω.

2. La impedancia de salida del amplificador debe ser baja, no 50 Ω; ese sería un valor típico de un generador de señal. Una de las razones tiene que ver con el punto anterior: proporcionará suficiente amortiguación para que la variación de la magnitud de la señal sea bastante constante en todo el espectro. Por ejemplo, así es como varía la salida del amplificador con el mismo woofer, pero con una impedancia de salida de 0,1 Ω frente a 1 Ω (te dejaré adivinar cuál es cuál):

3. No por último, los filtros pasivos tienen un inconveniente: cada componente está influenciado por su vecino (y más allá), lo que los convierte en un trato de una sola vez. Calcularlos significa imponer un valor fijo para las impedancias/resistencias de E/S, y una vez calculados, sus valores permanecen fijos. Cualquier cambio en la E/S da como resultado un recálculo de todo el filtro o la aceptación de que la respuesta cambiará. Esto es lo único que debe mencionarse en la respuesta de @ThePhoton: las resistencias influirán en la frecuencia. Para mostrar lo que quiero decir, un filtro LC de cuarto orden con$R_i$y$R_o$como resistencias de E/S, tendrá esta función de transferencia:

$$\begin{align} H(s)&=\dfrac{\dfrac{1}{L_1L_2C_1C_2}}{s^4+\left(\dfrac{1}{R_oC_2}+\dfrac{R_i}{L_1}\right)s^3+\left(\dfrac{R_i}{R_oL_1C_2}+\dfrac{1}{L_2C_2}+\dfrac{1}{L_2C_1}+\dfrac{1}{L_1C_1}\right)s^2+\left[\dfrac{1}{R_oC_1C_2}\left(\dfrac{1}{L_1}+\dfrac{1}{L_2}\right)+\dfrac{R_i}{L_1L_2}\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right)\right]s+\dfrac{R_i+R_o}{R_o}\dfrac{1}{L_1L_2C_1C_2}} \tag{1} \\ \omega_p&=\sqrt{\dfrac{R_i+R_o}{R_o}\dfrac{1}{L_1L_2C_1C_2}} \tag{2} \end{align}$$

Como puede ver, (2) tiene ambos$R_i$y$R_o$en su fórmula, e incluso se reparten en el resto de$H(s)$denominador de .

Con esto en mente, puede calcular el filtro usted mismo. En primer lugar, se necesita la receta, de la que se conocen dos cosas:$f_p=100\;\text{Hz}$(un valor típico para woofers) y$N=4$. También necesita las impedancias de E/S, y aquí viene el primer obstáculo menor: los amplificadores de audio suelen tener una impedancia baja, y si es 10x (o más) menor que$R_o$, se puede considerar corto (se puede omitir, poner a cero). Efectivamente, en (1), configurando$R_i=0$cancelará algunos términos y hará$\omega_p$igual al numerador, lo que significa que no habrá atenuación. Para este caso, consideremos$R_i=0.1\;\Omega$, un valor no tan bueno, pero tampoco tan malo. Entonces, el altavoz puede considerarse de 8 Ω.

No por último, el tipo de filtro. Dado que se trata de audio, lo más importante es la uniformidad de la banda de paso (a), pero también el cruce (b):

a) De todos los diseños de filtros clásicos, el que tiene la máxima planitud en la banda de paso es Chebyshev inverso (tipo II), más plano que Butterworth, pero este es un filtro de polo cero, lo que hace que el diseño no solo sea un poco más complicado (ciertamente no imposible), pero los ceros pueden afectar la respuesta transitoria de una manera no deseada. Por lo tanto, se debe considerar un filtro de todos los polos, y aquí ...

b) ... tiene dos opciones: Butterworth (planitud máxima para filtros de todos los polos) o Linkwitz-Reily. Si tiene otros parlantes conectados a este y están usando el woofer$f_p$para continuar, hacia arriba, en frecuencia, entonces necesita LR, ya que estos brindan un corte de -6 dB que, al interconectarse, da como resultado un espectro plano; B. Los filtros tendrán un aumento de magnitud, lo que significa que escuchará sonidos amplificados en el cruce. Para mostrar lo que quiero decir, aquí hay dos filtros B., V(B*)uno de paso bajo y uno de paso alto, y cómo se ve su suma, frente a lo mismo pero LR:

Entonces, elegiré un LR. Para resolverlo, necesitará la función de transferencia, y los filtros LR no son más que B disfrazados: un LR de cuarto orden es en realidad dos filtros B idénticos, en cascada. Por lo tanto, comience con la función de transferencia prototipo de paso bajo:

$$B_2(s)=\dfrac{1}{s^2+\sqrt2 s+1}\quad\rightarrow\quad B_2(s)^2=LR_4(s)=\dfrac{1}{s^2+2\sqrt2 s^3+4s^2+2\sqrt2 s+1} \tag{3}$$

Esto debe multiplicarse por la relación del divisor de voltaje,$R_o/(R_i+R_o)$, para dar la función de transferencia numérica. Ya tenemos (1), encontramos (3), así que ahora igualamos los coeficientes de$s$para ambos denominadores de la función de transferencia para obtener un sistema de 4 polinomios, luego resuelva para$L_1,\;L_2,\;C_1,\;C_2$. Dependiendo del solucionador que esté utilizando, puede obtener más de una solución. Usé wxMaxima y obtuve (con fpprintprec:4):

[l2=7.556,l1=15.16,c2=0.0443,c1=0.1995]
[l2=0.1596,l1=0.03544,c2=18.95,c1=9.445]
[l2=12.02,l1=0.06697,c2=0.09361,c1=13.44]
[l2=11.38-0.6275*%i,l1=0.07049-0.003935*%i,c2=0.004918*%i+0.08811,c1=0.7844*%i+14.23]
[l2=0.6275*%i+11.38,l1=0.003935*%i+0.07049,c2=0.08811-0.004918*%i,c1=14.23-0.7844*%i]
[l2=10.75,l1=0.07489,c2=0.08372,c1=15.02]
[l2=11.42-11.3*%i,l1=0.03535*%i+0.03552,c2=0.0444-0.04419*%i,c1=14.12*%i+14.27]
[l2=11.3*%i+11.42,l1=0.03552-0.03535*%i,c2=0.04419*%i+0.0444,c1=14.27-14.12*%i]

4 de 8 soluciones son complejas, por lo que no son necesarias, lo que deja 4 soluciones válidas. La ventaja es que puede elegir cualquier solución que sea más favorable. En este caso, la segunda solución involucra valores bajos para los inductores, lo cual es deseable ya que estos no deben estar enrollados en un núcleo para evitar no linealidades, lo que significa que resultarán voluminosos.

Todo lo que queda ahora es escalar los elementos y probar el resultado:

La atenuación @$f_p$es inferior a 6 dB porque la entrada no es cero, sino finita. Además, los números verdes representan los valores de los elementos. Los inductores son ridículamente pequeños, pero los condensadores ahora son demasiado grandes (decenas de mF), por lo que es posible que desee probar los otros valores.

Y ahora, el momento final, cuando agregas la carga "real":

Los trazos negros son las cuatro soluciones con una resistencia de entrada de 0,1 Ω, los azules tienen una resistencia de entrada de 1 Ω, para mostrar qué sucede si el amplificador tiene una impedancia de salida demasiado grande, y los rojos son la referencia (con una resistencia de entrada pura de 8 Ω). resistencia de salida, misma entrada de 0,1 Ω).

En todos los casos, las trazas azules están distorsionadas debido a la baja amortiguación proporcionada por la fuente (la salida del amplificador de 1 Ω). De todos los trazos negros, el único que casi se superpone con el trazo rojo de referencia es el tercero desde arriba, y ese es el que tiene los valores más bajos para las inductancias (fracciones de mH), pero enormes capacitores (decenas de mF !). El gráfico inferior tiene mH L y μF C, mientras que los otros dos los tienen mezclados. Podría hacerlo usando tapas polarizadas en serie, conectadas a, por ejemplo, pero su capacitancia se reducirá a la mitad, y necesitará bastantes de estas en paralelo para hacer los 15 mF y 30 mF. O podrías aceptar una de las otras respuestas encogiéndote de hombros. O puede hacer su propio amplificador que incorpore el filtro de salida en su retroalimentación y, siempre que cuide la fase, deberías terminar con una salida como la referencia. Elecciones.

1. El circuito que se muestra en la página web a la que se vinculó es solo un filtro de 2 polos. Si intenta hacer un filtro de 4 polos conectando en cascada dos de estos filtros de 2 polos, es probable que el rendimiento no sea el esperado debido a los efectos de carga. Básicamente, esto significa que la impedancia de entrada de este circuito no es constante a través de la frecuencia, por lo que cuando conecta los filtros en cascada, debe ajustar el primer filtro para acomodar la carga cambiante presentada por el segundo filtro.

2. Es correcto que cambiar R no cambia la frecuencia característica del filtro, solo afecta la relación de amortiguamiento. Este es el comportamiento esperado.

Si desea diseñar un filtro pasivo de 4 polos, sugiero usar LTSpice y ajustar el filtro hasta que logre un buen rendimiento teniendo en cuenta los efectos de carga. Si solo desea usar cálculos simples, puede cambiar a filtros activos o proporcionar un búfer entre sus secciones de filtro de 2 polos para eliminar la carga (suponiendo que sus requisitos de manejo de energía lo permitan).

Si realmente necesita diseñar esto como un filtro pasivo de 4 polos, puede volver a los libros de texto o libros de cocina de diseño de filtros anteriores a la década de 1970 para encontrar las técnicas de diseño que se utilizaron antes de que el análisis numérico y los diseños de filtros activos se hicieran omnipresentes.