Imagen mental de interacciones en QFT

También me gusta tener "imágenes mentales" (como las llamas) para el concepto abstracto :)

Intentaré compartir con ustedes una imagen que tengo en mente cuando hago cálculos QFT. Ignora esta respuesta si no te ayuda.

El del QFT interactivo que tengo no incluye partículas en absoluto. Me imagino los campos cuánticos como campos fluctuantes en el espacio-tiempo que integramos en la integral de trayectoria. La pregunta que nos gustaría responder en este enfoque es: dado un funcional particular de los campos, digamos un producto de campos en diferentes puntos del espacio-tiempo, ¿cuál es el valor esperado del producto? En otras palabras, ¿cuál es el valor de la integral de trayectoria

Las medidas se pueden elegir de manera que

lo que hace desaparecer el infinito en el factor de normalización.

Sé que probablemente estés buscando algo con menos matemáticas. Pero me gustaría tratar de convencerte de que esta imagen es increíblemente útil y muy fácil de trabajar.

En esta imagen, el campo "desaparece", lo que significa lo siguiente. Las predicciones reales de la teoría, las cosas que nos gustaría calcular, no dependen de$\phi(x)$¡en absoluto! En cambio, dependen de$k$puntos espaciotemporales. El campo fluctuante$\phi(x)$es útil para derivar los resultados, pero no los ingresa explícitamente.

1. El propagador de la teoría libre y el teorema de Wick se derivan de la integral de trayectoria casi instantáneamente. Como ejemplo de la prueba formal, considere esto. Me gustaría considerar la expectativa

   $$\left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi e^{i S[\phi]} \phi(y).$$ ¿Qué pasa si cambio la variable ficticia de integración por un cambio constante de$\delta \phi(x)$? La medida es formalmente invariante y el valor de la integral no puede cambiar: $$0 = \delta \left< \phi(y) \right> = \int {\mathcal D}\phi \left( e^{i S[\phi]} i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + e^{i S[\phi]} \cdot \delta \phi(y) \right) = \left< i \delta S[\phi] \cdot \phi(y) + \delta \phi(y) \right>$$ $$= \int d^4 x \; \delta \phi(x) \; \left< i \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi(x)} \phi(y) + \delta^{(4)} (x - y) \right>.$$ Para la teoría libre,$\delta S / \delta \phi(x) = \hat{\Theta} \phi(x)$dónde$\hat{\Theta}$es un operador diferencial lineal que genera las ecuaciones de movimiento, por lo que tenemos $$\hat{\Theta}_x \left< \phi(x) \phi(y) \right> = i \delta^{(4)} (x - y),$$ que es exactamente el resultado esperado: el propagador de la teoría libre es una función de Green del operador diferencial que genera las ecuaciones de movimiento.

2. Las reglas de Feynman se derivan de la integral de trayectoria casi instantáneamente. Simplemente adapte la expansión exponencial del término de interacción en la acción. De ahora en adelante podemos pensar en los diagramas de Feynman como términos en la serie que aproximan la integral de trayectoria.

3. La regularización puede interpretarse como una modificación de la medida integral de trayectoria${\mathcal D}\phi$. Es bastante conveniente, porque todavía tienes la ecuación anterior para la teoría regularizada finita.

4. Puede derivar fácilmente reglas de Feynman covariantes incluso para teorías de calibre a través del truco de Faddeev-Popov.

5. Las identidades de Ward son fáciles de derivar. La derivación básicamente se parece a la del punto 1, pero utiliza una variable de integración ficticia que se vuelve a etiquetar a través de transformaciones de simetría en lugar de un desplazamiento constante por$\delta \phi(x)$.

6. Las anomalías se pueden interpretar como la no invariancia de la medida de la integral de trayectoria bajo transformaciones de simetría. La identidad del Ward anómalo se puede derivar a través de la regularización de la medida.

7. El enfoque es explícitamente invariante de Lorentz y, de hecho, explícitamente invariante bajo todas las transformaciones de simetría. Las regularizaciones pueden romper esta propiedad, pero diría que romper con la regularización y esperar que reaparezca después de eliminar la regularización de la invariancia de Lorentz es aún mucho más fácil de tratar en el enfoque de integral de ruta.

Hay inconvenientes en esta imagen, por supuesto. A pesar de que es extremadamente simple e intuitivo pensar en términos del campo fluctuante sobre el que nos integramos, no ofrece la imagen completa. Por ejemplo, el espacio de estados asintóticos (espacio de Fock) debe derivarse de forma independiente, y debe usarse la fórmula de reducción para expresar las amplitudes de transición entre estados asintóticos en términos de la expectativa integral de trayectoria de algún funcional.