¿Hay una estrella sobre mi cabeza?

Resumen

Hay una probabilidad de 1 en 500 mil millones de que estés parado debajo de una estrella fuera de la Vía Láctea, una probabilidad de 1 en 3,3 mil millones de que estés parado debajo de una estrella de la Vía Láctea, y una probabilidad de 1 en 184 mil de que estés parado debajo del Sol derecho ahora.

Grande, gordo, apestoso, ¡Advertencia! Hice lo mejor que pude para mantener mis matemáticas correctas, pero esto es todo lo que se me ocurrió. No garantizo que sea completamente preciso, pero los números parecen pasar el control de cordura, así que creo que estamos bien.

_{Primera advertencia : los números de estrellas distintas del Sol se basan en datos con una gran incertidumbre, como el número de estrellas en el universo y el tamaño promedio de una estrella. Los números anteriores podrían estar fácilmente fuera de un factor de 10 en cualquier dirección, y solo pretenden dar una idea aproximada de cuán vacío es el espacio.}

_{Segunda advertencia : los números para el Sol y la Vía Láctea se basan en la suposición de que estás parado (o flotando) en un punto aleatorio de la Tierra. Cualquiera fuera de los trópicos nunca tendrá el sol sobre su cabeza. Las personas en el hemisferio norte tienen más probabilidades de tener estrellas de la Vía Láctea sobre sus cabezas, y las mejores probabilidades son las personas cerca de 36,8° N, porque en esa latitud, el centro galáctico pasa directamente hacia arriba una vez al día. ²⁶}

_{Nota : en su mayoría, puede ignorar todo en esta respuesta y simplemente buscar el ángulo sólido del Sol para obtener el mismo resultado. Todas las demás estrellas están muy lejos y muy dispersas. La diferencia en el ángulo sólido subtendido es cinco milésimas de un por ciento más cuando sumamos el resto del universo al Sol.}

Fondo

Tratemos de obtener un número algo realista y duro. Para hacer eso, necesitaremos algunas suposiciones.

Como se señaló en la respuesta de Michael Walsby ¹ , si el universo es infinito (y homogéneo ² ), solo hay una probabilidad infinitesimal de que no haya una estrella en lo alto, lo que las matemáticas normales tratan como una probabilidad exactamente cero. Así que supongamos que el universo es finito.

presunciones

• Específicamente, supongamos que el universo solo consiste en el universo observable. (Busque la expansión del universo ³ para obtener más información).
• Además, supongamos que los contenidos del universo observable se miden en sus posiciones actuales (supuestas), no en la posición en la que parecen estar. (Si vemos la luz de una estrella de 400 millones de años después del comienzo del universo, la mediríamos como si estuviera a unos 13.500 millones de años luz de distancia, pero calculamos que probablemente esté más cerca de los 45.000 millones de años luz debido a la expansión).
• Tomaremos el número de estrellas en el universo observable como$10^{24}$. Una estimación de 2013 ⁴ fue$10^{21}$, una estimación de 2014 ⁵ fue$10^{23}$, y una estimación de 2017 ⁶ fue$10^{24}$, con cada artículo esperando que la estimación aumente a medida que obtengamos mejores telescopios con el tiempo. Así que tomaremos el valor más alto y lo usaremos.
• Tomaremos el tamaño del universo observable ⁷ como$8.8\cdot10^{26} \text{m (diameter)}$, dando un área de superficie ⁸ de$2.433\cdot10^{54} \text{m}^2$ ⁹ , y un volumen ¹⁰ de$3.568\cdot10^{80} \text{m}^3$ ¹¹ _
• Tomaremos el tamaño promedio de una estrella como el tamaño del Sol,$1.4\cdot10^{9}\text{m (diameter)}$ ¹² _ (No puedo encontrar ninguna fuente para el tamaño de estrella promedio, solo que el Sol es una estrella promedio).

Modelo

A partir de aquí, vamos a hacer un poco de trampa. Siendo realistas, deberíamos modelar cada galaxia por separado. Pero vamos a fingir que todo el universo es perfectamente uniforme (esto es bastante cierto a medida que nos alejamos de la Tierra en el gran esquema del cosmos). Además, vamos a comenzar a contar lo suficiente como para ignorar por completo la Vía Láctea y el Sol, y luego volver a agregarlos con cálculos diferentes.

Dadas las suposiciones anteriores, podemos calcular fácilmente que la densidad estelar del universo observable es$\delta = \frac{10^{24}\text{stars}}{3.568\cdot10^{80} m^3} = 2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$ ¹³ _

A continuación, necesitamos calcular el ángulo sólido ¹⁴ subtendido por una estrella. El ángulo sólido de una esfera está dado por$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-r^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁵ , donde$\Omega$es el ángulo sólido en estereorradianes ¹⁶ (sr),$d$es la distancia a la esfera y$r$es el radio de la esfera. Usando$D$como el diámetro, que se convierte en$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-\left(\frac{D}{2}\right)^2}}{d}\right)\text{ sr}$. Dado el diámetro medio supuesto anteriormente ($1.4\cdot10^{9}\text{m}$), esto da un ángulo sólido promedio de$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁷ _

En este punto, podríamos establecer una integral adecuada, pero mi cálculo está bastante oxidado y, para empezar, no es muy preciso. Así que voy a aproximar la respuesta usando una serie de capas concéntricas, cada una con un grosor de$10^{22}\text{m}$(alrededor de un millón de años luz). Pondremos nuestra primera concha$10^{22}\text{m}$de distancia, luego trabajar nuestro camino fuera de allí.

Calcularemos el ángulo sólido total de cada capa, luego sumaremos todas las capas para obtener el ángulo sólido subtendido por todo el universo observable.

El último problema a solucionar aquí es el de la superposición. Algunas estrellas de las capas más lejanas se superpondrán a las estrellas de las capas cercanas, lo que hará que sobrestimemos la cobertura total. Así que calcularemos la probabilidad de que cualquier estrella se superponga y modificaremos el resultado a partir de ahí.

Ignoraremos cualquier superposición dentro de un caparazón dado, modelando como si cada estrella en un caparazón estuviera a una distancia fija, distribuida uniformemente por todo el caparazón.

Probabilidad de superposición

Para que una estrella determinada se superponga a estrellas más cercanas, debe estar en una posición ya cubierta por las estrellas más cercanas. Para nuestros propósitos, trataremos las superposiciones como binarias: la estrella está totalmente superpuesta o no se superpone en absoluto.

La probabilidad vendrá dada por la cantidad de ángulo sólido ya subtendido por caparazones anteriores dividido por el ángulo sólido total en el cielo ($4\pi\text{ sr}$).

Llamemos a la probabilidad una estrella dada,$i$, se superpone$P_i$, el ángulo sólido subtendido por esa estrella$\Omega_i$, y el número de estrellas$n$. La cantidad de ángulo sólido no superpuesto subtendido por un caparazón dado,$k$, es entonces$\Omega_{kT}=(1-P_1)\Omega_1+(1-P_2)\Omega_2+\ldots+(1-P_n)\Omega_n\frac{\text{ sr}}{star}$. Como dijimos que las estrellas en un caparazón no se superponen entre sí,$P_i$es igual para todos$i$en un caparazón dado, permitiéndonos simplificar la ecuación anterior a$\Omega_{kT}=(1-P_k)(\Omega_1+\Omega_2+\ldots+\Omega_n)\frac{\text{ sr}}{star}$, dónde$P_k$es la probabilidad de superposición para shell$k$. Dado que estamos tratando a todas las estrellas como si tuvieran el mismo tamaño promedio, esto se simplifica aún más a$\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k n\frac{\text{ sr}}{star}$, dónde$\Omega_k$es el ángulo sólido de una estrella en concha$k$.

Cálculo de ángulo sólido

El número de estrellas en una capa está dado por el volumen de la capa por la densidad estelar de dicha capa. Para conchas lejanas, podemos tratar el volumen de la concha como si fuera su área de superficie multiplicada por su espesor.$V_\text{shell}=4\pi d^2 t$, dónde$d$es la distancia al caparazón y$t$es su espesor. Usando$\delta$como la densidad estelar, el número de estrellas es simplemente$n=\delta V_\text{shell}=\delta 4\pi d^2 t$.

A partir de aquí, podemos usar el cálculo del ángulo sólido de un caparazón (de la Probabilidad de superposición , arriba) para obtener$\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{ sr}}{star}$.

Tenga en cuenta que$P_k$viene dado por la suma parcial del ángulo sólido de todas las láminas anteriores dividida por el ángulo sólido total. Y$\Omega_k$es dado por$\Omega_k=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right)\frac{\text{ sr}}{star}$(del Modelo , arriba).

esto nos da$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\text{ sr}$. Dado que cada capa es$10^{22}\text{m}$lejos, podemos sustituir$d_k$con$k 10^{22}\text{m}$. Asimismo,$t$se puede sustituir con$10^{22}\text{m}$. Y ya calculamos$\delta=2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$(del Modelo , arriba).

esto nos da
$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k 10^{22}\text{m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{k 10^{22}\text{m}}\right) 2.803\cdot10^{-57}\frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k 10^{22}\text{m})^2 10^{22}\text{m}\frac{\text{ sr}}{star}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right) 2.803\cdot10^{-57} 8\pi^2 k^2 10^{66}\text{ sr}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\,2.213\cdot 10^{11}\,k^2\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right)\text{ sr}$

A partir de aquí, podemos introducir los números en un programa de cálculo.

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{k_\text{max}} \Omega_{kT}$

Dónde$k_\text{max}$es solo el radio del universo observable dividido por el grosor de una capa dada. De este modo$k_\text{max}$$=\frac{4.4\cdot 10^{26} \text{m}}{10^{22} \text{m}}$$=4.4\cdot 10^4$$=44000$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{44000} \Omega_{kT}$

Resultados

Debido a los grandes números involucrados, es difícil simplemente ejecutar esto en un programa. Recurrí a escribir un programa C++ personalizado usando la biblioteca ttmath ¹⁸ para números grandes. el resultado fue$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$, o$1.898\cdot 10^{-12}$de todo el cielo. Por el contrario, hay una probabilidad de 1 en 500 mil millones de que estés parado debajo de una estrella en este momento.

Tenga en cuenta que ignoramos la Vía Láctea y el Sol para esto.

_{El programa C++ se puede encontrar en PasteBin ²⁵ . Tendrás que hacer que ttmath funcione correctamente. Agregué algunas instrucciones en la parte superior del código C++ para que pueda comenzar si quiere que funcione. No es elegante ni nada, solo lo suficiente para funcionar.}

El sol

WolframAlpha me informó amablemente que el Sol tiene un ángulo sólido de aproximadamente$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$, o alrededor de 2,8 millones de veces más que todas las estrellas del universo juntas. La fórmula del ángulo sólido anterior da la misma respuesta ¹⁸ si proporcionamos la distancia del Sol de 150 gigametros y el radio de 0,7 gigametros.

La vía Láctea

Podríamos obtener una aproximación de la Vía Láctea tomando su tamaño y densidad y haciendo los mismos cálculos que arriba, excepto en una escala más pequeña. Sin embargo, la galaxia es muy plana, por lo que las probabilidades dependen en gran medida de si te encuentras en el plano galáctico o no. Además, estamos a un lado, por lo que hay muchas más estrellas hacia el centro galáctico que lejos.

Si aproximamos la galaxia como un cilindro con un radio de$5\cdot 10^{20}\text{ m}$(alrededor de 52000 años luz) y una altura de$2\cdot 10^{16}\text{ m}$(alrededor de 2 años luz), obtenemos un volumen de$1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3$ ²⁰ _

_{Las estimaciones actuales del radio de la galaxia están más cerca de 100000 años luz ^{21 22} , pero supongo que la gran mayoría de las estrellas están mucho más cerca que eso.}

Se estima que hay entre 100 y 400 mil millones de estrellas en la Vía Láctea ²¹ . Escojamos 200 mil millones para nuestros propósitos. Esto pone la densidad de la Vía Láctea en$\delta = \frac{200\cdot10^{9}\text{stars}}{1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3} = 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$ ²² , o alrededor de 4.500 millones de veces más denso que el universo en general.

Esta vez, tomaremos conchas$10^{17}\text{ m}$de espesor (unos 10 años luz) y salir de allí. Pero necesitamos reorganizar las matemáticas en forma esférica, así que supondremos que la galaxia tiene el mismo volumen, pero es una esfera. Esto le da un radio de$1.554\cdot 10^{19}\text{ m}$ ²⁴ , o 155,4 proyectiles. Redondearemos a 155 proyectiles.

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{155} \Omega_{kT}$

Usando nuestra fórmula de arriba ( Cálculo del ángulo sólido ), podemos comenzar a sustituir números.

$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k\cdot 10^{17}\text{ m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k\cdot 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k\cdot 10^{17}\text{ m})^2 10^{17}\text{ m}\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}\text{ m}^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot 10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 8\pi^2 k^2 10^{51}\text{ m}^3\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\cdot\,1.005\cdot 10^6\,k^2\,\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{17}}\right)\text{ sr}$

Conectar esto en el programa da$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$, cual es$3.037\cdot 10^{-10}$del cielo total. Las probabilidades de que te encuentres bajo una estrella en la Vía Láctea son de 1 entre 3.300 millones.

Totales de ángulo sólido

ángulo sólido es:

• Sol,$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
• Vía Láctea,$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$
• Universo,$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$
• Total,$6.800384\cdot 10^{-5}\text{ sr}$(los dígitos adicionales básicamente no tienen sentido, ya que agregan alrededor de cinco milésimas de porcentaje al ángulo sólido del Sol)
• Vía Láctea más Universo,$3.840\cdot 10^{-9}\text{ sr}$(aproximadamente un 0,6% más que solo la Vía Láctea)

Referencias

_{¹ La respuesta de Michael Walsby a esta pregunta , ¿hay una estrella sobre mi cabeza? . https://astronomy.stackexchange.com/a/33294/10678
² Un artículo de Wikipedia , Principio cosmológico . https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmological_principle
³ Un artículo de Wikipedia , Expansión del universo . https://en.wikipedia.org/wiki/Expansion_of_the_universe
⁴ Una búsqueda de UCSB ScienceLine , ¿Aproximadamente cuántas estrellas hay en el espacio? , de 2013. https://scienceline.ucsb.edu/getkey.php?key=3775
⁵ AArtículo de Sky and Telescope , ¿Cuántas estrellas hay en el universo? , de 2014. https://www.skyandtelescope.com/astronomy-resources/how-many-stars-are-there/
⁶ Un artículo de Space.com , ¿Cuántas estrellas hay en el universo? , de 2017. https://www.space.com/26078-how-many-stars-are-there.html
⁷ Un artículo de Wikipedia , Universo observable . https://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe
⁸ Un artículo de Wikipedia , Esfera , sección Volumen adjunto . https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Enclosed_volume
⁹ Un cálculo de WolframAlpha , área de superficie de una esfera, diámetro 8,8*10^26 m . https://www.wolframalpha.com/input/?i=surface+area+of+a+sphere%2C+diameter+8.8*10%5E26+m
¹⁰ Un artículo de Wikipedia , Esfera , sección Área de superficie . https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Surface_area
¹¹ Un cálculo de WolframAlpha , volumen de una esfera, diámetro 8,8*10^26 m . https://www.wolframalpha.com/input/?i=volume+of+a+sphere%2C+diameter+8.8*10%5E26+m
¹² Un artículo de nineplanets.org , The Sun .https://nineplanets.org/sol.html
¹³ Un cálculo WolframAlpha , (10^24 estrellas) / (3.568⋅10^80 m^3) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=%2810%5E24+stars%29+%2F+%283.568%E2%8B%8510%5E80+m%5E3%29
¹⁴ Un artículo de Wikipedia , Ángulo sólido . https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle
¹⁵ La respuesta de Harish Chandra Rajpoot a una pregunta de geometría.se , Cálculo del ángulo sólido para una esfera en el espacio . https://math.stackexchange.com/a/1264753/265963
¹⁶ Un artículo de Wikipedia , estereorradián .https://en.wikipedia.org/wiki/Steradian
¹⁷ Un cálculo WolframAlpha , 2*pi*(1-sqrt(d^2-(1.4*10^9 m/2)^2)/d) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*%281-sqrt%28d%5E2-%281.4*10%5E9+m%2F2%29%5E2%29%2Fd%29
¹⁸ Sitio web para ttmath. https://www.ttmath.org/
¹⁹ Un cálculo de WolframAlpha , 2*pi*(1 - sqrt(d^2 - r^2)/d), donde d = 150 mil millones, r=0,7 mil millones . https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*%281+-+sqrt%28d%5E2+-+r%5E2%29%2Fd%29%2C+where+d+%3D+150 +billion%2C+r%3D0.7+billion
²⁰ Un cálculo de WolframAlpha , pi * (5*10^20 m)^2 * (2*10^16 m) .https://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+*+%285*10%5E20+m%29%5E2+*+%282*10%5E16+m%29
²¹ Un artículo de Wikipedia , Vía Láctea . https://en.wikipedia.org/wiki/Milky_Way
²² Un artículo de Space.com de 2018, Se necesitarían 200 000 años a la velocidad de la luz para cruzar la Vía Láctea . https://www.space.com/41047-milky-way-galaxy-size-bigger-than-thought.html
²³ Un cálculo WolframAlpha , (200*10^9 estrellas) / (1.571*10^58 m^3 ) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=(200*10^9+estrellas)+%2F+(1.571*10^58+m^3)
²⁴ Un cálculo de WolframAlpha ,resuelve para r: (4/3)*pi*r^3 = 1.571*10^58 m^3 . https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+for+r%3A++%284%2F3%29*pi*r%5E3+%3D+1.571*10%5E58+m%5E3
²⁵ Mi programa C++ código en PasteBin . https://pastebin.com/XZTzeRpG
²⁶ Una publicación de Physics Forums , Orientación de la Tierra, el Sol y el Sistema Solar en la Vía Láctea . Específicamente, la Figura 1 , que muestra ángulos de 60,2° para el Sol y 23,4° menos que para la Tierra. https://www.physicsforums.com/threads/orientation-of-the-earth-sun-and-solar-system-in-the-lacky-way.888643/}

En resumen: nadie lo sabe con certeza, pero actualmente parece que la probabilidad es 1.

Más largo: Según nuestra comprensión actual, el Universo es probablemente infinito en el espacio. Esto depende de los resultados recientes del satélite WMAP , que han mostrado una curvatura cero del Universo por debajo de la precisión de medición. Las otras dos opciones eran una curvatura positiva (así viviríamos una esfera 4D), o una negativa:

Si la curvatura es exactamente cero (la última opción en la imagen), o es negativa, y el Universo no tiene una topología exótica , entonces es infinito.

Y un Universo infinito tiene infinitas estrellas, así que no importa, donde mires, en algún lugar encontrarás una estrella.

Sin embargo, lo más probable es que no tenga la opción de verlo; es casi seguro que se encuentra sobre el horizonte cosmológico , por lo que no hay forma de obtener información de él o interactuar con él en ningún sentido, debido a la expansión del Universo. Tenga en cuenta que la expansión acelerada actualmente reduce continuamente incluso el recuento de estrellas dentro del horizonte cosmológico.

Sin una expansión universal, todo el cielo estaría lleno de estrellas y sería tan ligero como el Sol ( paradoja de Olbers ).

Si cuentas solo las estrellas al lado del horizonte cosmológico, entonces la probabilidad es muy pequeña. El tamaño típico de las estrellas es del orden de$\approx$1 millón de km, y están a algunos años luz de distancia el uno del otro ($\approx 10^{13}$kilómetros). Ellos son$\approx 10^7$veces más separados entre sí que su diámetro. E incluso este cálculo no cuenta que la mayor parte del espacio del Universo no está lleno de ninguna galaxia: las galaxias son objetos en forma de disco alrededor de 20 veces más lejos entre sí que su diámetro. Puede encontrar un cálculo más exacto en la bonita respuesta de MichaelJ .

¿"Sobre la cabeza" significa sobre el centro de su cabeza, o sobre alguna parte de su cabeza? Si asumimos esto último, ¡cambia el problema!

No quiero recapitular todo el hermoso trabajo de MichaelS arriba, así que haré un cálculo rápido tomando prestado de sus números.

El área de una cabeza humana vista desde arriba (o desde abajo) es, umm, veamos, el ancho promedio de la cabeza es de 6 a 7 pulgadas, convertida a unidades modernas, ignorando que las cabezas no son redondas, eso es aproximadamente$17cm$de ancho, lo que hace justo debajo$0.03m^2$por cabeza.

El área de la superficie de la Tierra parece ser de aproximadamente$500\cdot 10^{12} m^2$. Esa área corresponde a una superficie esférica completa a una distancia de un radio terrestre desde el centro de la Tierra.

A partir de esto, podemos determinar que una cabeza, vista desde el centro de la Tierra, cubre aproximadamente$6\cdot 10^{-17}$del cielo lleno.

Si asumimos esos$10^{24}$las estrellas (puede haber más o menos) están distribuidas uniformemente (no lo están), hay... ¡ muchas, muchas estrellas sobre tu cabeza en un momento dado! Más de un millón, de hecho.

Probablemente, tal vez.

Hay al menos dos formas de responder a la pregunta. Una es preguntar cuáles eran sus coordenadas cuando escribió la pregunta y exactamente qué hora era. Luego, tendremos que dibujar una línea en un modelo para ver qué aciertas y si alguno de esos aciertos son estrellas. Esto supone un mapa completo, lo cual es un problema. La respuesta es diferente para todos en la Tierra y cambia constantemente. Se convierte en la pregunta correcta si estamos en una nave estelar. Dada la inmensidad del espacio, probablemente sea mejor preguntar "¿Hasta dónde nos encontramos con algo?".

La otra respuesta es acerca de la probabilidad. ¿Con qué frecuencia hay una estrella directamente arriba? Sugeriré una forma de razonar al respecto. Parece que hay muchos factores limitantes. También señalaré algunos de ellos.

Primero, un chequeo intestinal. Nuestro Sol está directamente arriba de una buena área de la Tierra en todo momento. El sol está relativamente cerca, por lo que su cobertura es especial. Sin embargo, parece probable que trillones de miles de millones de otras estrellas tengan el resto del planeta cubierto.

Un excelente detalle de esta pregunta es si la línea que estás imaginando se cruza con una estrella. Considero que esto significa si la línea abstracta pasa por cualquier parte de la masa de la estrella, no solo por su centro de masa u otros centros.

Lo más probable es que no estemos en el centro del Universo, si "centro del Universo" tiene algún significado. Se puede argumentar (se argumenta) que estamos en el centro del universo observable, esencialmente porque estamos mirando en todas direcciones con el mismo equipo limitado. Así que podemos imaginar una esfera gigante de observabilidad, solo para darle algo de espacio a este problema. Imaginarnos como un grano de arena flotando en el centro de un gran globo. En verdad, el grano de arena es demasiado grande en proporción a cualquier globo real, pero imagina que estamos en el punto muerto de un globo en un grano increíblemente pequeño.

Para las dimensiones del globo, considere una esfera con un radio de 4, donde las unidades son$1.1\times 10^{26}$metros La superficie de esa esfera va a ser$4\pi r^2$, o$64\pi$unidades cuadradas. Si preferimos no hablar en términos con un "$\pi$mezclados, son aproximadamente 200 de estas grandes unidades cuadradas.

Imagine que esta es el área que estamos contemplando desde el interior del centro del globo, sentada sobre nuestro grano de arena microscópico e imposiblemente concéntrico. Solo podemos ver la mitad del área a la vez (incluso menos, en realidad), pero estamos dando vueltas. Así podemos recorrer toda la superficie interior del globo durante el transcurso del día.

Ahí estamos, en esta mota de arena, mirando la parte del globo que podemos ver. Uno de nosotros tiene un puntero láser que podemos usar para señalar diferentes partes del globo y hablar sobre ellas. De hecho, podría ser divertido imaginar que el puntero láser tiene una especie de modo de "lápiz de luz" que podemos usar para dibujar inscripciones en la superficie del globo. Poner tu nombre en el cielo nocturno sería todo un espectáculo. Por el bien de la ilustración, debes imaginar que estos accesorios tienen propiedades metafísicas. No estamos realmente preocupados por el lápiz óptico. Es solo imaginar que estamos dibujando líneas.

Ahora imagina que tratamos de colocar dentro del globo, a escala, todo el material del universo observable o, por el bien de la pregunta, solo las estrellas. Pondríamos todo dentro del globo precisamente donde estaría en relación con nuestro punto de vista.

Ahora podemos revisar, una a la vez, y considerar cada estrella individualmente. Cada vez que examinamos una estrella, podríamos trazar la línea desde nosotros hasta ella con nuestro puntero láser. Podríamos usar el lápiz óptico para trazar el contorno de la estrella con el puntero láser, inscribiendo un pequeño círculo en la superficie del globo detrás de él. Cada vez que hacíamos esto con una estrella en particular, agregábamos un círculo en el globo para construir un mapa plano de las estrellas. Podríamos procesar cada estrella, una por una, y eliminar cada estrella hasta que el globo se vacíe nuevamente. Solo somos nosotros, mirando hacia atrás en el mapa que hicimos.

Ahora digamos que el globo originalmente era rojo y nuestro lápiz óptico dibujaba en verde. Digamos también que los círculos verdes que dibujamos estaban coloreados, rellenos de verde. Después de procesar todas las estrellas, tenemos puntos verdes por todo el interior del globo. El tamaño de cada punto verde sería primero una función del tamaño de la estrella. Las estrellas más grandes tenderían a dibujar círculos relativamente más grandes en el mapa.

Esta analogía es imperfecta en muchos sentidos. Es imperfecto aquí en un aspecto importante. Si imaginas que estamos trazando las estrellas con un movimiento circular en la mano, lo cual es natural, entonces estaremos distorsionando el mapa. El ángulo del lápiz óptico en la mano mientras hacemos un movimiento circular se proyectaría a una gran distancia. Ese mapa sería interesante por otras razones, pero estamos tratando de identificar solo las áreas que están en línea con nosotros, estrellas bajo las cuales estamos. Queremos que el tamaño real de la estrella esté en el mapa, no un tamaño relativo a la distancia entre nosotros y ella.

Para mantenernos fieles, tendremos que imaginar que nuestro mapa simplemente tiene un círculo cuyo centro está alineado con nosotros y la estrella que representa. El tamaño del círculo de la estrella es su tamaño real. Nuestro sol tiene aproximadamente 1,39 millones de kilómetros de diámetro, por lo que el círculo que dibuja tendría este diámetro en nuestro mapa. Esta es el área de puntos que, independientemente de la distancia, llevaría una línea entre ellos y nosotros para hacer un candidato para una estrella que está "en lo alto".

La respuesta a si es probable que al menos una estrella esté sobre nuestra cabeza en un momento dado es, en una forma de pensar, la proporción de rojo y verde en el mapa. ¿Cuánto de todo el mapa es verde? Esa es aproximadamente la probabilidad de que estemos en línea con una estrella en cualquier momento.

Si queremos seguir en esta línea de probabilidad, este sería el momento de obtener el tamaño promedio de cada estrella observable, calcular un diámetro promedio, multiplicarlo por el número de estrellas y tener un área estimada. Esto estará muy mal porque hemos aplanado tres o cuatro dimensiones en dos y no hemos tenido en cuenta la superposición. Desafortunadamente, la superposición de lo que está arriba no parece ser consistente. Tenga en cuenta que al mirar hacia el cielo nocturno podemos ver la Vía Láctea, de la que formamos parte.

Además, para obtener esos promedios, tendría que haber indexado completamente el Universo observable. Mucha gente ha estado trabajando en eso durante mucho tiempo, pero es muy grande. Entonces, si tuviéramos suficientes datos para tener promedios razonablemente buenos para cosas como el tamaño de una estrella, también podríamos olvidar los promedios y hacer el mapa real. También nos encargaríamos de los círculos superpuestos de esa manera. Mientras estamos en eso, olvídate del mapa por completo. Simplemente haga que el GPS en su teléfono muestre su posición en el globo en un modelo que trazará la línea y verificará todo lo que se encuentre sobre usted. Es el problema real con el que comenzamos, simplemente teniendo en cuenta que la inmensidad del cosmos es tan abrumadoramente grande que el cálculo requerido para verificar lo que está arriba puede tener un radio más corto que el radio del universo observable.

También leí últimamente que el universo podría ser (son conjeturas y argumentos) al menos 250 veces más grande de lo que podemos observar. También he leído que la tierra es plana. Tal vez el universo continúa infinitamente. Razonar sobre eso tendrá condiciones de contorno similares.

Su mejor apuesta es introducir su ubicación en un modelo y limitar el modelo para que pueda obtener un cálculo razonablemente rápido. Cambie la pregunta a: "¿Cuál es la estrella más cercana en esta línea, dado un límite espacial y computacional?" Tendrás que aceptar que en algún lugar más allá de lo que se puede calcular, incluso más allá de lo que se puede ver, todavía puede haber una estrella.

Según Olbers, famoso por las paradojas, si el universo es infinito, una línea de visión en cualquier dirección debería llegar finalmente a una estrella. Entonces, ¿por qué el cielo nocturno estaba tan oscuro cuando en teoría debería ser tan brillante como el día? Dejando a un lado esa pregunta en particular, no tenemos pruebas de que el universo sea infinito, pero es lo suficientemente grande como para que una línea en cualquier dirección llegue tarde o temprano a la superficie de una estrella. Si la línea en cuestión tendría que viajar solo decenas de años luz para llegar a la estrella o muchos miles de millones depende de dónde se encuentre y en qué momento particular elija trazar la línea. Si te encuentras en el ecuador en el momento adecuado del año y en el momento adecuado del día, es posible que la línea solo tenga que viajar un poco más de ocho minutos luz para llegar a una estrella. En el universo, a diferencia del papel,