Forma de una órbita dentro de un planeta.

Tienes razón, es una elipse perfecta con el centro del planeta en el centro geométrico de la elipse.

Un poco de física:

La fuerza sobre un cuerpo con masa$m$en el campo gravitacional de un planeta con radio$R$y la gravedad$g$en su superficie es:

$$\vec{F}(\vec{r})=\begin{cases}-m\cdot g\cdot \frac{\vec{r}}{R} &\text{for} &|\vec{r}|\le R\\ -m\cdot g\cdot R^2\cdot\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} &\text{else}\end{cases}$$

Fuera del planeta, tienes que resolver la ecuación diferencial

$$m\ddot{\vec{r}}=-m\cdot g\cdot R^2\cdot\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}$$

que es un poco difícil debido a la$\frac{1}{|\vec{r}|^3}$. (De hecho, uno usa otros enfoques)

Sin embargo, dentro del planeta, es simplemente

$$m\ddot{\vec{r}}=-m\cdot g\cdot \frac{\vec{r}}{R}$$

O con$\vec{r}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$en el plano del móvil:

$$\begin{align}\ddot{x}(t)&=-\frac{g}{R}x(t) \\ \ddot{y}(t)&=-\frac{g}{R}y(t)\end{align}$$

Estas son dos ecuaciones diferenciales lineales independientes, la solución es simplemente

$$\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A\sin(\omega t+\varphi)\\B\sin(\omega t+\psi)\end{pmatrix}$$

Esta es una elipse con semiejes A y B.$\omega=\sqrt{g/R}$define el periodo

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{ R}{g}}$$

Notas:

• Por supuesto, esto supone que el cuerpo está siempre dentro del planeta, es decir,$A,B\le R$. Sería interesante ver trayectorias donde el cuerpo abandona el planeta.
• Es notable que el período sea constante para un planeta dado y no dependa de los parámetros de la órbita.
• Si establece por ejemplo$A=0$y$B=R$, obtienes el caso especial que @hopDavid mencionó en su comentario
• Si tiene problemas para entender/imaginar esto: Las ecuaciones para un péndulo son idénticas (con$\omega=\sqrt{g/l}$), por lo que un péndulo y el cuerpo se comportan de la misma manera.
• Como en las órbitas normales, el cuerpo y el planeta tendrán una trayectoria elíptica con los centros geométricos en el baricentro.