Forma de la cuerda giratoria (¿problema de lazo?)

Es un problema interesante. He tratado de estudiarlo despreciando la fricción del aire, que probablemente no sea despreciable. Así que vamos a parametrizar la longitud de la cuerda$L$por el vector$(z(l), r(l))$, con$l$siendo la coordenada curvilínea a lo largo de la cuerda y$(z,r)$las coordenadas cilíndricas de la cuerda (he omitido$\theta$, que se puede suponer que es constante en el marco giratorio [ver mi comentario debajo de esta publicación para una justificación de esta omisión]). En el marco giratorio, la energía potencial de la cuerda es

Editado para agregar:

Si uno mira las señales de$r'$y$r''$como función de$r$y$r'$por un fijo$l$, uno puede dibujar rápidamente algunas flechas en el espacio de fase ( es decir ) y ver que el flujo va "en círculos" cuando$l<l_0$y tiende asintóticamente a la curva$\frac{\Omega^2}{g}r=\frac{r'}{\sqrt{1-r'^2}}$cuando$l>l0$. Entonces uno puede esperar un número finito de oscilaciones de la cuerda. Pero toda la cuestión es entonces cómo$l_0$se relaciona con los parámetros del sistema.

Editar: en el límite de la cuerda casi vertical ($r'\ll1$), la ecuación se convierte en

Creo que la primera parte de la curva (la parte entre su mano y el "nodo" estacionario donde la curva se cruza sobre el eje vertical) estaría descrita por la Curva Troposkein , o al menos sería extremadamente similar.

Me imagino que esta curva describiría completamente, o al menos estaría relacionada con, cualquier otro segmento entre nodos si tuviera más de uno.

El último trozo de "cola" en la parte inferior de la cuerda sería diferente, obviamente, pero probablemente podría obtener la forma usando un método similar.

Resolví ecuaciones escritas por @genneth numéricamente (para la condición inicial usé un método de disparo). La parte crucial es que no usé la ecuación.

TENGA EN CUENTA que en las 3 primeras imágenes solo$\omega$cambios. En la última foto cambié de largo$l$. Estas imágenes y muchas otras me permiten concluir que la cantidad de ``modos''$N_a$es decir, puntos donde$r'=0$es

Esta no es una solución completa, pero la estoy convirtiendo en una wiki comunitaria para que otros puedan complementarla y corregirla.

Frédéric Grosshans tiene casi razón en lo anterior, pero pasa por alto una parte crucial del problema: la cuerda puede enrollarse alrededor del eje. El método general de suponer una forma de equilibrio estable y minimizar la energía potencial (efectiva) en un marco giratorio es bueno, pero tal vez uno debería tener cuidado de suponer que tal equilibrio estable incluso existe.

Presionando, parametrizamos la cuerda como$(z(l), r(l), \phi(l))$, y la energía potencial es:

La restricción es que cada elemento pequeño de la cuerda debe tener una longitud fija, por lo que introducimos un campo multiplicador de Lagrange (¡esta es una teoría de campos en 1D!):

Empujar a través de las ecuaciones de Euler-Lagrange produce:

La primera ecuación codifica el significado de$T$como la tensión en la cuerda. Podemos integrarlo y obtener el obviamente sensato

Las ecuaciones restantes son de primer orden en$z$y segundo orden en$\phi$y$r$. Tenemos las ecuaciones de establecimiento de coordenadas que$z(0) = 0$y$\phi(0) = 0$. Hay un parámetro extra genuino$r(0)$que dicta el radio de la fuerza motriz en la parte superior. Sin embargo, todavía se necesita otra condición de contorno para$r$y$\phi$(o posiblemente sus derivados) para que el problema quede bien planteado. Además, la condición para$T$conduce a una ecuación integral engañosa, ya que la condición de contorno natural es que$T(L) = 0$, y entonces sería necesario integrar esto para obtener el límite en$l = 0$.

Finalmente, debo mencionar que esta solución parcial, tal como está, tiene una deficiencia grave que puede o no estar relacionada con el problema de la condición de contorno anterior: las ecuaciones son simétricas para$\omega \rightarrow - \omega$, por lo que aparentemente una solución disponible tendría la cuerda apuntando hacia adelante de la fuerza de rotación. Pero tal vez este sea un máximo de la energía en lugar del mínimo.

En cualquier caso, el problema parece altamente no lineal, y me sorprendería (y me encantaría) si fuera posible una solución analítica. Uno podría esperar, sin embargo, que haya regímenes fáciles de entender (aparte de los triviales en$\omega = 0$o$\infty$).

Tengo una suposición probable de que este fenómeno está relacionado de alguna manera con (o es similar a) las ondas estacionarias.

Si sostiene un extremo de la cuerda y realiza un movimiento armónico simple horizontal (es decir, hace oscilar el extremo horizontalmente), se creará una onda transversal plana y cuando se desplace hacia el otro extremo se reflejará (como las ondas se reflejan en un punto libre). extremo del medio), por lo que se forma una onda estacionaria, siendo el extremo libre un antinodo. Dependiendo de la longitud de la cuerda y de la velocidad angular de la oscilación, se formarán uno o varios nodos a lo largo de la cuerda.

Considere el movimiento de la cuerda giratoria como el resultado de dos ondas transversales que viajan en dos planos perpendiculares entre sí, y la explicación de la onda estacionaria tiene algún sentido.

No estoy seguro de eso, solo una suposición.

Mostraremos que la forma de la cuerda giratoria es la función de Bessel.

Adoptemos un sistema de coordenadas giratorio en el que la cuerda está en reposo. Usaremos coordenadas cilíndricas,$r$y$z$son las coordenadas radial y vertical, donde$(r,z)=(0,0)$denota el punto de suspensión y$z$aumenta hacia abajo. La cuerda corre a lo largo de los puntos.$(r(l),z(l))$, dónde$l$es la longitud a lo largo de la cuerda medida desde el extremo libre, es decir$l=L$en el punto de suspensión.

Las fuerzas que actúan sobre un elemento de cuerda infinitesimal de masa$dm$son las fuerzas gravitacional y centrífuga ($dm\, g$y$dm\, \omega^2 r$) y las fuerzas de restricción que surgen debido a la tensión en la cuerda que aseguran que la densidad de la línea se mantenga$\eta = m/L$en todas partes a lo largo de la cuerda, donde$m$y$L$son respectivamente la masa total y la longitud. La tensión en la cuerda en$l$ejerce una fuerza$\vec{F}_T(l)$que es paralelo al vector tangente de la cuerda. Para un elemento de cuerda entre$l-dl$y$l+dl$, surgen fuerzas en los puntos límite, es decir$\vec{F}_T(l+dl)$y en$\vec{F}_T(l-dl)$.

Las ecuaciones de movimiento radial y vertical son

Divide las ecuaciones con$2dl$:

en el limite que$\theta\ll 1$, podemos aproximarnos$l\approx L-z$. Para simplificar las ecuaciones, redefina el sistema de coordenadas con la sustitución$z\rightarrow L-z$, de modo que$z=0$es el extremo inferior libre de la cuerda y$z=L$es el extremo fijo superior. Esto produce

Ahora manipulamos esta ecuación para llegar a la ecuación de Bessel. Introducir una nueva variable$x = 2 \omega \sqrt{z/g}$de modo que$z = x^2 g/(4\omega^2)$. La regla de la cadena implica que la derivada con respecto a$z$puede escribirse como

Aquí$r_{\mathrm{end}}$es la coordenada radial en el extremo suelto. La condición de contorno en la suspensión es que en$z = L$la coordenada radial satisface$r=0$, por lo que debemos exigir que$J_0\left( 2 \omega \sqrt{L/g} \right) = 0$. Los ceros de las funciones de Bessel son bien conocidos, están tabulados. Denotemos la$n$el cero con$x_n = \{2.4048, 5.5201, 8.6537, 11.7915, \dots\}$. La condición de frontera se cumple cuando$\omega = \frac{x_n}{2} \sqrt{g/L}$para cualquier$n$. De este modo

Para frecuencias más grandes, la cuerda tiene múltiples nodos, es decir, lugares donde se cruza$r=0$. la cuerda tiene$k$nodos si la frecuencia angular es$\omega = \frac{x_{k+1}}{2} \sqrt{g/L}$, un nodo para$\omega = \frac{x_2}{2} \sqrt{g/L} = 2.26\sqrt{g/L}$, dos nodos si$4.33\sqrt{g/L}$, y tres nodos si$5.896 \sqrt{g/L}$.

en el límite,$\omega \gg \sqrt{g/L}$podemos usar la fórmula asintótica para los ceros de las funciones de Bessel$x_{k+1} \approx (k- \frac{3}{4}) \pi$, por lo que tiene$k$número de nodos cuando

Tenga en cuenta que asumimos que el extremo superior fijo en$z=L$satisface$r(L)=0$. En el caso más general, las condiciones de contorno son$r(L)=r_0$y$r(0)=r_{\mathrm{end}}$. Esto implica que$J_0(2\omega\sqrt{L/g}) = r_0/r_{\mathrm{end}}$, y obtenemos una solución similar para grandes$\omega$si$r_0/r_{\mathrm{end}}\ll 1$.

Será una especie de función hiperbólica, y la fuerza y ​​la longitud de la cuerda determinarán la frecuencia para predecir la forma. El 'círculo' inicial en su muñeca definirá la fuerza constante para explicar la curva de pecado. Esta no es una muy buena explicación, pero si tuviera que definir una función hiperbólica usando el eje z, podría ser sinh z=(e^ze^-z)/2.