Figuras de Chladni: cruces evitados de líneas nodales

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La idea esencial es que en los sistemas caóticos aparentemente aleatorios, las coincidencias que corresponden a cruces de líneas nodales o cruces de niveles de energía son típicamente improbables.

Ambos efectos, por lo tanto, resultan de la irregularidad del caos y surgen en descripciones estocásticas de billares caóticos:

• funciones de onda modeladas por Random Wave Model (RWM); y

• espectros descritos por las estadísticas de Random Matrix Theory (RMT).

Figuras de Chladni

Esperando que las propiedades ergódicas de las órbitas caóticas se reflejen en sus contrapartes de onda en billares no integrables, se conjetura [ Berry, 1977 ] que las figuras de Chladni correspondientes pueden simularse mediante un conjunto de ondas aleatorias gaussianas apropiado (el RWM).

En esta descripción estocástica, la naturaleza no genérica de los cruces de nodos se vuelve especialmente relevante, ya que el teorema de Uhlenbeck implica que los cruces aparecen con probabilidad nula:

como el punto donde dos líneas nodales se cruzan, no solo desaparece la función de onda,$\phi(x,y)=0$, pero también lo hace su gradiente porque las derivadas parciales son cero a lo largo de cada línea nodal. Por lo tanto, se deben imponer tres condiciones simultáneas a$\phi$en la intersección nodal; pero mientras que una sola condición define una línea en el$(x,y)$plano, y una condición doble define un punto aislado, una condición triple no puede ser satisfecha en general.

Que es Gutzwiller ( su referencia ) una descripción muy clara de la esencia del teorema de Uhlenbeck.

Las revisiones recientes son los retratos nodales del billar cuántico: dominios, líneas y estadísticas de Jain y Samajdar (2017) y la anatomía de los estados propios caóticos cuánticos de Nonnenmacher (2010) ( eprint , arXiv ).

Repulsión de los niveles de energía

A diferencia de los sistemas regulares, muchos sistemas cuánticos caóticos no presentan niveles de energía estrechamente espaciados, en comparación con el espaciado medio. Y eso sigue siendo cierto incluso cuando los parámetros del sistema varían, lo que lleva a la llamada repulsión del nivel de energía .

Según la conjetura de Bohigas-Giannoni-Schmit$^1$, esta distribución de espaciamientos de niveles puede entenderse en el marco de la Teoría de matrices aleatorias , que postula que los sistemas complicados (cuánticos) pueden describirse mediante matrices de elementos aleatorios (respetando una simetría dada).

Copiado de Michael Cross Introducción a las notas del Caos , Capítulo 29 (pdf) :

Esto puede entenderse en términos del conocido fenómeno de repulsión de niveles: dos niveles de energía que parecen cruzarse cuando se varía un parámetro parecen repelerse entre sí, de modo que no se produce ningún cruce. Esto es fácilmente motivado por la$2\times 2$caso:

$$H = \left[ \begin{matrix} \epsilon & \delta \\ \delta & -\epsilon \end{matrix} \right]$$ donde podría esperarse un cruce de nivel de energía para $\epsilon=0$. De hecho (ver figura arriba) los niveles de energía son $E = \pm \sqrt{\epsilon^2+\delta^2}$de modo que para distinto de cero $\delta$los niveles se mantienen separados por la distancia $\delta$, y por cruzar ambos $\epsilon$y $\delta$tiene que ser cero, con la correspondiente probabilidad reducida para elementos de matriz aleatorios.

De nuevo, en cuanto al teorema de Uhlenbeck, en la descripción estocástica se vuelve improbable que las condiciones necesarias para un cruce (aquí de los niveles de energía) se satisfagan simultáneamente.

$^1$ _{A la conjetura BGS se le ha ofrecido una explicación semiclásica.}