Expresión para onda cuasi monocromática: dependencia de la amplitud en el tiempo

La identidad

$$E(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r},t)e^{i(\langle\omega\rangle t-\phi(\mathbf{r},t))}\tag{1}$$ no necesita derivación ni justificación; en cambio, actúa como un Ansatz para el campo eléctrico y como una definición para el par de funciones $$A(\mathbf{r},t)e^{-i\phi(\mathbf{r},t)}:=E(\mathbf{r},t)e^{-i\langle\omega\rangle t}.\tag{1'}$$ Ahora, una de las peculiaridades más extrañas de las matemáticas (y las matemáticas de la física) es que eres libre de definir lo que quieras, sin importar cuán extraño pueda parecer a priori . El único requisito es que luego use esas definiciones para hacer algo útil.

En este caso concreto,$E(\mathbf r,t)$es una función de valor complejo tanto de posición como de tiempo, y dado que los números complejos tienen una amplitud y una fase, proponiendo un Ansatz de la forma$E(\mathbf{r},t)=C(\mathbf{r},t)e^{-i\varphi(\mathbf{r},t)}$llevaría prácticamente cero información nueva.

Su Ansatz en$(1)$, sin embargo, es diferente, porque estás diciendo algo no trivial sobre la estructura de la fase, a saber, que tiene la forma$\varphi(\mathbf{r},t) = \phi(\mathbf{r},t)-⟨\omega⟩t$, donde la variación de$\phi$es mucho menor que la frecuencia central. Aquí está el primer punto central: esto no está garantizado , es decir, hay muchas formas de onda imaginables para las que no hay frecuencia.$⟨\omega⟩$tal que eso se sostiene. (Por ejemplo, intente superposiciones de ondas cuasi-monocromáticas en diferentes frecuencias centrales, o pulsos cortos con un ancho de banda amplio y un chirrido fuerte). De manera similar, no hay garantía de que pueda limitar la variación temporal de la amplitud. con referencia a la frecuencia central. (Nuevamente, para ver ejemplos, mire los pulsos ultracortos).

Ahora, nada de esto es un problema, porque no estamos aquí para construir un formalismo que maneje todas las formas de onda imaginables. En cambio, basándose en las definiciones auxiliares de$(1)$, la parte que realmente hace el trabajo es la condición de que

$$\left[\frac{1}{A} \frac{\partial A}{ \partial t},\frac{\partial \phi}{ \partial t} \right] \ll \langle\omega\rangle, \tag 3$$ y es esto lo que actúa como definición de las ondas cuasi-monocromáticas. Una vez más, todo lo que ha hecho hasta ahora es definir las cosas (en este caso, el término cuasi-monocromático), así que, de nuevo, no necesita justificar nada*. En cambio, si el autor hace su trabajo correctamente, la justificación vendrá de mostrar que las ondas cuasi-monocromáticas, definidas de esta manera, tienen propiedades útiles (y las tienen).

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* (extendida) nota al pie:

OK, tal vez mentí un poco en ese punto. Realmente no necesita justificar las cosas que define, pero si está reutilizando términos que tienen connotaciones anteriores (o que se superponen parcialmente con dichos términos), entonces debe demostrar que no está cambiando radicalmente esos términos. . Para el caso de ondas casi monocromáticas, debe demostrar que su definición concuerda con la comprensión intuitiva del término.

Hay dos componentes de esto, y ambos son matemáticos.

• Uno es un enlace entre las derivadas de tiempo relevantes,$\frac{1}{A} \frac{\partial A}{ \partial t}$y$\frac{\partial \phi}{ \partial t}$, y el ancho del espectro de potencia de la función$A(\mathbf{r},t)e^{-i\phi(\mathbf{r},t)}$.
• El otro es el hecho de que multiplicar una función por$e^{-i\langle\omega\rangle t}$en el dominio del tiempo es equivalente a cambiar su representación en el dominio de la frecuencia por$⟨\omega⟩$, que es un corolario del teorema de convolución.

Ambos pueden demostrarse y son teoremas relativamente razonables, pero no creo que los tecnicismos sean tan importantes aquí. En última instancia, esos hechos matemáticos le permiten vincular su definición,$(3)$con el hecho físico de que el ancho de banda de su forma de onda es mucho más pequeño que su frecuencia central, que es lo más cercano al concepto intuitivo de cuasi-monocromático que puede obtener razonablemente.

Entonces, en cierto modo, esto último es la justificación de la definición.