Expansión del universo: imposible que los futuros astronautas lo recuperen

El punto de inflexión corresponde a la distancia a la que el cohete tardaría casi un tiempo infinito en llegar a la Tierra de nuevo. Esto se puede calcular usando un modelo cosmológico que describe cómo el factor de escala$a(t)$cambia con el tiempo. El modelo se define utilizando estimaciones de los parámetros cosmológicos, como la densidad y los tipos de materia y energía, más la constante de Hubble; una vez hecho esto, uno puede resolverlo numéricamente y averiguar el punto de inflexión. La respuesta que obtengo es 16,7893 mil millones de años luz.

Cómo hacerlo : para cálculos como este, es realmente conveniente cambiar a coordenadas de movimiento conjunto$\chi$y tiempo conforme$\eta$en lugar de la distancia adecuada$x$y el tiempo cosmológico$t$. Esto se debe a que las distancias adecuadas cambian con la expansión del universo como$x(t)=\chi a(t)$y el tiempo conforme se define de modo que los rayos de luz se muevan en línea recta en$(\chi,\eta)$diagramas de espacio-tiempo. Los objetos en reposo en el universo permanecen a distancias constantes de movimiento conjunto incluso cuando la expansión los aleja. Un efecto divertido del actual modelo de aceleración del universo es que hay un límite superior en el tiempo conforme$\eta_\infty$que corresponde al futuro infinitamente lejano. Cuando ejecuté mi modelo de cosmología obtuve$\eta_{now}=45.1099$mil millones de años y$\eta_\infty=61.2027$mil millones de años (el tamaño de los números no importa mucho para este cálculo).

Para encontrar la distancia de giro, simplemente dibujamos el diagrama de espacio-tiempo donde emerge una línea de 45 grados desde el punto$(\chi,\eta)=(0,\eta_{now})$(la nave espacial parte de la Tierra y se mueve a la velocidad de la luz; para las naves que se mueven a una fracción de la velocidad de la luz, simplemente multiplique la distancia por la fracción). esto alcanza$\eta_\infty$A una distancia

$$\chi_{event}=c(\eta_\infty - \eta_{now}) = c\int_{t_{now}}^\infty \frac{dt}{a(t)}.$$ Esta distancia es el horizonte de eventos cosmológicos, la distancia más lejana que cualquier información o nave espacial puede alcanzar desde la Tierra.

Pero para que los astronautas lleguen a casa necesitan dar la vuelta en algún punto y viajar a lo largo de otro haz de luz hacia la Tierra, alcanzándola en$\eta_\infty$. Así que dibujamos otra línea de 45 grados hacia abajo desde$(0,\eta_\infty)$. Donde se cruzan es la distancia de giro y el tiempo. En este diagrama es realmente simple:$\chi_{turn}=\chi_{event}/2=c(\eta_\infty - \eta_{now})/2=8.0464$mil millones de años luz.

Aún no hemos terminado. Esa distancia está en coordenadas de movimiento conjunto y es posible que queramos saber cuál será la distancia vista por los astronautas cuando giren: la expansión del universo habrá movido la galaxia en la coordenada$\chi_{turn}$a distancia$x_{turn}=\chi_{turn}a(t)$en este momento. El tiempo conforme de torneado será$\eta_{turn}=(\eta_\infty + \eta_{now})/2=53.1563$mil millones de años. Ahora solo falta calcular el$t_{turn}$que corresponde a$\eta_{turn}$(11.4728 mil millones de años) y conéctelo a$a(t_{turn})=2.0866$. Entonces, la distancia en medidas de distancia normal sería de 16,7893 mil millones de años luz.

Aquí he asumido que la nave espacial se mueve con velocidad constante en coordenadas de movimiento conjunto. Si simplemente lanza un cohete a cierta velocidad y lo deja flotar, la velocidad en comparación con las galaxias que lo rodean en realidad disminuye a medida que$v(t)=v_0/a(t)$debido a la expansión. Para mantener una velocidad constante de movimiento conjunto, debe aumentar una y otra vez.