¿Existe un análogo gravitacional de un átomo de Rutherford clásico?

Question

¿Existe un análogo gravitacional de un átomo de Rutherford clásico?

Asombro Kumar Jha

En un átomo de Rutherford, el electrón emite clásicamente radiación EM a una tasa promedio de,

- \frac{d mi}{d t} = \frac{ω^{4} {mi}^{2} R_{0}^{2}}{3 C^{3} (4 π ϵ_{0})}

$-\frac{dE}{dt}=\frac {\omega^4 e^2 R_0^2}{3c^3(4π\epsilon_0)}$ Dónde

ω

$\omega$ es la frecuencia angular,

R_{0}

$R_0$ es el radio de la órbita inicial y el electrón finalmente entrará en espiral en el núcleo. Ahora, hasta donde yo sé, todo el fenómeno se puede explicar a través de las ecuaciones de Maxwell. Sobre la base de lo mismo, y suponiendo que un conjunto de ecuaciones gravitoelectromagnéticas sean válidas (que es una aproximación de campo débil) para masas, ¿no podemos decir que la Tierra misma algún día debería girar en espiral hacia el sol, radiando continuamente a una velocidad:

- \frac{d mi}{d t} = \frac{ω^{4} GRAMO {METRO}_{mi} {METRO}_{s} R_{mi}^{2}}{3 C^{3}}

$-\frac {dE}{dt} = \frac {\omega^4 G M_e M_s R_e^2}{3c^3}$ ¿Dónde los símbolos tienen sus significados habituales? El tiempo medio de decaimiento llega a ser

4.75 \times 10^{11}

$4.75 × 10^{11}$ años.

mis2cts

¿Cuál es el valor numérico predicho por tu fórmula y cuánto tardaremos en caer al sol?

casi despistado

El sistema tierra-sol sí irradia ver, por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_wave

Michael Seifert

Relacionado: ¿La Tierra emite ondas gravitacionales?

RBarryYoung

Los planetas no son masas puntuales y, por lo tanto, las influencias de marea/rotación suelen dominar la evolución de los sistemas de dos cuerpos. Más allá de cierta distancia (que puede ser una órbita sincrónica, no estoy seguro), los cuerpos tienden a alejarse más (como la luna y la tierra). Sin embargo, si están más cerca de cierto punto, tenderán a girar en espiral hacia adentro. Los sistemas de múltiples cuerpos, como el sistema solar, son aún más complejos.

Respuestas (2)

¿Existe un análogo gravitacional de un átomo de Rutherford clásico?

¿Cuál es el valor numérico predicho por tu fórmula y cuánto tardaremos en caer al sol?
El sistema tierra-sol sí irradia ver, por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_wave
Los planetas no son masas puntuales y, por lo tanto, las influencias de marea/rotación suelen dominar la evolución de los sistemas de dos cuerpos. Más allá de cierta distancia (que puede ser una órbita sincrónica, no estoy seguro), los cuerpos tienden a alejarse más (como la luna y la tierra). Sin embargo, si están más cerca de cierto punto, tenderán a girar en espiral hacia adentro. Los sistemas de múltiples cuerpos, como el sistema solar, son aún más complejos.

jacopo tissino · Answer 1

¡Buena pregunta! De hecho, hay un fenómeno análogo en GR a la emisión por un átomo de Rutherford, pero su fórmula no lo describe: tal como está escrito, se aplicaría a la emisión dipolar de radiación gravitatoria, pero la emisión gravitacional solo comienza en el orden cuadripolar de la perturbativa. expansión, que es suprimida por un factor $(v/c)^2$ en comparación con el dipolo.

La razón de esto, en términos newtonianos, es que al derivar el dipolo gravitatorio se encuentra el momento total del sistema emisor, que se conserva, por lo que la segunda derivada del dipolo gravitatorio desaparece (ver aquí) --- esto refleja el hecho que mientras que en el electromagnetismo solo tenemos una ley de conservación de la carga, en GR se conserva el cuatro impulso total.

La fórmula que describe la pérdida de energía de un sistema binario debido a la emisión cuadrupolar se puede encontrar en este artículo de Wikipedia ; nota la $c^5$ término en el denominador a diferencia de su $c^3$ . También hay un factor oculto de $\omega^6$ (Opuesto a $\omega^4$ ) en la fórmula de Wikipedia: una forma alternativa de expresar la potencia radiada (promediada durante un período) es

- ⟨ \frac{d mi}{d t} ⟩ = \frac{32}{5} \frac{GRAMO m^{2}}{C^{5}} R^{4} ω^{6},

$- \left\langle \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t} \right\rangle = \frac{32}{5} \frac{G \mu^2}{c^5} R^4 \omega^6\,,$ dónde

μ = (1 / M_{s} + 1 / M_{e})^{- 1}

$\mu = (1/M_s + 1/M_e)^{-1}$ es la masa reducida del sistema Tierra-Sol. Esto refleja el poder superior de

v

$v$ .

Para dar una idea de la diferencia, ingresé algunos números y su expresión predeciría una tasa de pérdida de energía de aproximadamente $3 \times 10^{14} \,\mathrm{W}$ en la configuración actual Sol-Tierra, mientras que la expresión GR correcta predice $2 \times 10^{2} \,\mathrm{W}$ .

También podría valer la pena señalar explícitamente que los dos poderes adicionales de $v$ traducir en un $\omega^6$ dependencia por la pérdida de energía, en lugar de la familiar $\omega^4$ dependencia para la radiación dipolo dada en el OP.
@MichaelSeifert ¡Buena idea! He agregado una expresión alternativa para el poder de abordar este punto.
A menudo lo escucho repetir, pero no creo que la naturaleza cuadripolar de la radiación tenga nada que ver con los signos de las cargas disponibles. En el caso de E&M, ciertamente puede obtener radiación dipolo moviendo solo las cargas negativas: después de todo, eso es lo que hacen las antenas.
Existe un argumento de que la gravedad es spin-2 significa que solo son posibles las masas positivas, pero esa es una conclusión que fluye al revés.
Limpio. Puedo aprovechar el poder de un sistema solar completo para alimentar dos bombillas. ¡O diez bombillas, si compro las modernas LED! ¿No es maravillosa la física?
@wnoise Tienes razón, ese argumento realmente no funciona. He arreglado mi respuesta.

AVS · Answer 2

Partiendo de lo mismo, y suponiendo que un conjunto de ecuaciones gravitoelectromagnéticas sean válidas...

Las ecuaciones gravitoelectromagnéticas no se pueden usar para escribir las ecuaciones de la radiación gravitacional porque esta aproximación se refiere a las ecuaciones para el componente de perturbaciones métricas $h_{00}$ , que es un análogo del potencial escalar $\Phi$ y $h_{0i}$ , que es un análogo del vector potencial $\mathbf{A}$ . Pero para la radiación también se deben considerar ecuaciones para componentes $h_{ij}$ (que no tiene un análogo electromagnético), que es un orden superior de aproximación. En cambio, uno tiene que usar el conjunto completo de ecuaciones de gravedad linealizadas.

La radiación gravitacional tiene naturaleza de cuadrupolo a diferencia de la radiación electromagnética que tiene carácter de dipolo. Como resultado, la radiación de ondas gravitacionales es un efecto de quinto orden en potencias de $1/c$ , mientras que la radiación EM es de tercer orden.

La ecuación requerida para el poder de la radiación gravitatoria de un planeta en una órbita circular alrededor de la estrella:

\frac{d mi}{d t} = \frac{32 GRAMO m^{2} ω^{6} r^{4}}{5 C^{5}},

$\frac{dE}{dt}=\frac{32 G \mu^2 \omega^6 r^4}{5 c^5},$ dónde

μ = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})

$\mu=m_1 m_2 /(m_1+m_2)$ es la masa reducida del sistema “estrella-planeta” (si

m_{1} ≪ m_{2}

$m_1\ll m_2$ , entonces

μ \approx m_{1}

$\mu\approx m_1$ ).

… ¿no podemos decir que la Tierra misma algún día debería girar en espiral hacia el sol …

Para el sistema Tierra-Sol esta fórmula da aproximadamente $200\,\text{W}$ de la radiación gravitacional. Esto da una "vida útil" debido a la radiación gravitatoria de aproximadamente $10^{23}\,$ años. Por supuesto, esta cifra tiene poco que ver con el destino real de la Tierra, ya que probablemente será tragada por el Sol cuando entre en la fase de gigante roja o expulsada del sistema solar por alguna estrella pasajera.

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