¿Existe algún método para diferenciar los estados de Hall cuánticos fraccionarios además de encontrar los números de Chern?

En su título, pregunta sobre el QHE fraccional, pero la descripción del número de Chern, hasta donde yo sé, es válida para el QHE entero . No sé mucho sobre FQHE, pero permítanme decir un poco sobre IQHE, que entiendo un poco mejor.

El famoso artículo de TKNN estableció que la conductividad de Hall en el llenado de enteros es proporcional a una invariante topológica asociada a la estructura de bandas de los hamiltonianos bidimensionales. Este invariante topológico, el número de Chern, es un número entero que nos dice cómo la estructura de la banda "gira" sobre la zona de Brillouin (este es el "toroide" en su pregunta) (más formalmente, el número de Chern clasifica el paquete vectorial complejo asociado a la banda hamiltoniana). Recuerde por ahora que esta es una propiedad de la estructura de bandas, que surge de una descripción en la que se desprecian las interacciones electrón-electrón, es decir, no estamos tratando con un "sistema fuertemente correlacionado".

Comentario al margen: considerando una especie de$Z_2$La versión equivalente (aproximadamente, invariante de inversión de tiempo) de esta invariante topológica condujo al tema actual extremadamente candente de los aisladores topológicos 3D , iniciado por Fu y Kane (entre otros).

El QHE fraccional no admite una descripción de una sola partícula, es decir, no puede comprender las propiedades de la teoría de bandas, como en IQHE, es una fase del comportamiento de los electrones que resulta de las interacciones . Por lo tanto, no creo que la descripción del número de Chern se transmita fácilmente.

El FQHE admite una descripción de Chern-Simons Landau-Ginzburg , sobre la cual he estado leyendo un poco en esta reseña de 1992 de Shou-Cheng Zhang . ¡El término de Chern-Simons en esta teoría de campo no debe confundirse con los números de Chern! (No estoy seguro de si eso es lo que está haciendo en la pregunta, pero quiero dejarlo claro). Las nociones están relacionadas matemáticamente, pero creo que la física aquí es distinta.

Si solo estaba preguntando sobre IQHE, la idea de TKNN de que los estados de IQHE están clasificados por un invariante topológico probablemente descarta otras descripciones independientes. Podría estar confundido en cuanto a su intención, pero parece poco probable que pueda haber una descripción útil de los estados IQHE que no use topología (invariante topológica = estable a las perturbaciones, lo que conduce a las asombrosas mesetas, después de todo), y la situación topológica se entiende bastante bien en este momento.

Por favor, hágamelo saber si algo no está claro o si he dicho algo mal. Yo también soy solo un aprendiz en este campo.

Podría volver y agregar algunas cosas sobre FQHE si alguna vez logro entenderlo mejor.

Los estados básicos de los sistemas con brechas bidimensionales normalmente obedecen a una ley del área de entrelazamiento, es decir, si calcula la entropía$S_A = -\mathrm{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A)$del operador de densidad reducida$\rho_A$en un subsistema$A$, dónde$A$está lejos de los límites de cualquier sistema, tiene un límite uniforme, está simplemente conectado y es contraíble, entonces

$$S_A = c |\partial A| - \gamma + \dots$$ dónde $|\partial A|$denota el número de subsistemas en el límite de la región $A$, y $c$es una constante de proporcionalidad. Aquí, las condiciones "lejos" y "suaves" pueden considerarse relativas a la escala de longitud natural del problema, que es la longitud de correlación, o aproximadamente la inversa de la brecha espectral del hamiltoniano.

La corrección de orden principal a este comportamiento de escala,$\gamma$, es un término topológico que cuenta el (logaritmo del) número de sectores de superselección de la TQFT efectiva de baja energía. (Más precisamente, el logaritmo de la dimensión cuántica total.) Es un término universal, por lo que se sabe. Diferentes teorías con diferentes valores de$\gamma$no se pueden mapear entre sí mediante transformaciones locales, por lo que esta es una base adecuada para una clasificación de estados topológicos.