Estimación de empuje y kg de combustible para el viaje de un barco de una generación a Alpha Centauri

Como mencionas las integrales, sé que estás familiarizado con el cálculo, así que puedo darte una respuesta corta y dulce. No siempre es cierto que$F=ma$. La versión más completa de las ecuaciones de Newton produce$F=\frac{dp}{dt}$, dónde$p$es impulso. La fuerza es el cambio en el impulso a lo largo del tiempo. Ahora, desde$p=mv$, podemos ver rápidamente que si la masa es constante, obtenemos$F=m\frac{dv}{dt}$cual es$F=ma$. Si la masa no es constante, entonces tienes que usar la regla de la cadena para obtener$F=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}$, que es lo que se usa en cohetería. Integre eso y obtendrá la respuesta que necesita.

No eres el primero en querer hacer esto. la ecuación del cohete Tsiolkovsky es la ecuación de acceso para hacer estos cálculos

¿Por qué ir aquí primero, en lugar de integrar? Bueno, todavía no tenemos especificaciones de nuestro barco. Necesitamos entender nuestra fracción de masa antes de atrevernos a integrar para tomar distancia. Pero lo que sabemos es que tenemos que hacer dos quemaduras. El primer encendido nos lleva desde una velocidad inicial (llamémosla 0) a$v_{\frac{1}{2}}$, la velocidad en el punto de inflexión (que, como notará, no está exactamente en el punto medio de la distancia, pero estoy usando el subíndice$\frac{1}{2}$de todos modos). Luego, el segundo encendido nos lleva a la velocidad de ACA con respecto a la tierra.

Una vez que tenga esto, solo tiene que usar la versión completa anterior de la ley de Newton para hacer la integración.

Voy a darnos el control del "número de motores" como variable. Ahora, en realidad no recomiendo simplemente apilar más y más motores pequeños. No siempre es el enfoque más eficiente. ¡Pero un multiplicador en el motor de iones existente que describiste parece una buena manera de hacerlo! Llamaremos a este factor de escala$k$. Si su barco tiene un factor de escala de$k$, significa que produce$30k$Newtons de empuje, y consume$\frac{75}{4000}k\frac{kg}{s}$valor de Xenon mientras está activo.

También vamos a necesitar el ISP. Ahora parece que mezcló los números de varios propulsores de iones y obtuvo uno que en realidad es bastante débil. Otros pueden verificar mis cálculos, pero lo fijé en un ISP de aproximadamente 160 segundos, que es extremadamente bajo (es más bajo que un cohete químico). Por lo general, el ISP es de miles para un propulsor de iones. Así que dejémoslo como una variable,$I_{sp}$, pero lo conectaré al ISP realmente bueno de NEXT, en 4190s. Siéntase libre de ajustar desde allí, pero esa es realmente la variable dominante en estos propulsores. Puede ajustar el tamaño y la velocidad de flujo tanto como desee, pero cambiar el ISP es increíblemente difícil.

También debe elegir un$m_f$. Su pregunta enumeró un$m_0$, pero$m_f$suele ser más fácil trabajar con él porque está limitado por la necesidad de hacer algo con una carga útil. Por ejemplo, podría ser todo el soporte vital necesario para mantener a 10 000 personas, o algo así. Solo será un factor de escala en todo, así que no lo incluiré... pero necesitarás que se convierta en la pregunta de "cuán difícil es realmente hacer este cohete". Por ahora, solo asumiré una$m_f$de 1.000.000 kg.

Podemos hacer todo en velocidades en el marco inicial, por lo que$v_0=0$y$v_f$es la velocidad de ACA en nuestro marco, que es aproximadamente y 21,4 km/s hacia nosotros, por lo que diremos$v_f=-21.4km/s$para hacer que todos los signos se alineen

Ahora, sabemos que nuestra quema total es la suma de la quema de aceleración más la quema de desaceleración.$\Delta V=v_\frac1 2 + (v_\frac 1 2 - v_f) = 2 v\frac 1 2 - v_f$. Por la ecuación del cohete, ahora podemos ver que podemos relacionar esto con la masa propulsora que usamos.

Aquí he desglosado la masa inicial en una masa final más la masa del propulsor,$m_p$. Esto es conveniente porque podemos calcular la masa del propulsor a partir de los datos que proporcionó. Si$k=1$, entonces sabemos que consumimos$\frac{75}{4000}\frac{kg}{s}\cdot T$combustible, donde$T$es la duración del vuelo, 110 años. Una conversión rápida de unidades y una multiplicación por k para$591300kT\frac{kg}{year}$señala que esta va a ser una fracción de masa bastante alta. A los 110 años, consumirás poco más$65,000,000k$kilogramos de combustible. Así para

• $k=1$,$m_p=65,000,000kg$, ($\zeta=0.984$)
• $k=5$,$m_p=325,000,000kg$($\zeta=0.9969$)
• $k=10$,$m_p=650,000,000kg$($\zeta=0.9984$)

Tomo nota de la fracción de masa,$\zeta$porque es una forma común de medir cohetes. Las fracciones de masa típicas están en el rango de 0,8 a 0,9, siendo 0,9 lo típico para la etapa única a órbita (SSTO). Tenga en cuenta que uno de los grandes desafíos de SSTO es que es difícil lograr una fracción de masa tan alta. Entonces, cuando hable sobre el uso de la tecnología actual, reconozca que esto está bastante lejos de lo que normalmente estamos trabajando. ¡Llevarás mucho combustible !

Independientemente, podemos combinar estas ecuaciones para obtener una solución general:

Dónde$\dot m_1$es el caudal másico anterior de un$k=1$motor. O, reorganizado ligeramente,

Ahora bien, esto es realmente genial. Dice que si desea visitar ACA, no solo pasar volando a velocidades dolorosamente rápidas, hay muchas maneras de hacerlo. Dice que, para cualquier tasa de flujo de combustible ($k$), hay exactamente uno$v_\frac 1 2$que te deja exactamente a la velocidad correcta que necesitas,$v_f$. Cualquier otra quema de 110 años lo dejará a la velocidad incorrecta.

Esto significa que estamos muy cerca de tener una respuesta. Podemos construir una parcela con$k$como nuestro término independiente, y la distancia recorrida,$d$como nuestro término dependiente. Todo lo que tenemos que hacer es calcular el resultado de un quemado de 2 etapas de fuerza constante, donde quemamos la primera etapa en el punto donde$v=v_\frac 1 2$, y luego quemamos en la dirección opuesta.

En este punto, podríamos resolver un montón de integrales, pero dejaré esto como ejercicio para el lector. En el espíritu de la astrofísica, invoco "cállate y calcula" y tiro todo en una simulación de pitón realmente cursi. Solo hago la integración de Riemann en intervalos de 1/10 de año, y confío en que sea lo suficientemente detallado como para cubrir la forma ridículamente inexacta en que manejo la actualización de todas las antiderivadas.

from math import log

ln = log # Python's log(x) is actually the natural log.  Aliasing it
         # for readability.

mf = 1000000        # kg - my own assumption
m1 = 75/4000        # kg/s
vf = -21400         # m/s
isp = 4160          # s
T  = 110 * 31556952 # s - trip length
f = 30              # N - force of the reference engine
g0 = 9.8            # m/s^2 - gravitiy on earth

def calcDist(k):
    """Returns distance traveled in light years"""
    # step 1: for given k, calculate the ship's stats
    mdot = m1 * k
    mp = mdot * T

    # step 2: compute v 1/2
    v05 = 0.5 * (vf - isp * g0 * ln(mf / (mf + mdot * T)))

    # step 3: Integrate!
    dt = 0.1 * 31556952 # arbitrary decision, dt is 1/10th of a year
    m = mf + mp  # kg
    v = 0        # m/s
    d = 0        # meters
    t = 0

    # step 3a: Burn 1 (accel)
    # stop at v1/2
    while v < v05:
        a = (f * k - mdot * v) / m # rearrange force equation
        d += v * dt
        v += a * dt
        m -= mdot * dt
        t += dt

    # step 3b: Burn 2 (decel)
    # stop when out of fuel
    while m > mf:
        a = (f * k - mdot * v) / m
        d += v * dt
        v -= a * dt # note minus sign: slowing down
        m -= mdot * dt
        t += dt

    return d / 9460730472580800 # meters to light years

k = np.linspace(100, 1000, 100)
d = [calcDist(x) for x in k]

plt.plot(k, d, '-k')
plt.axhline(4.37, linestyle="dashed") # distance to ACA
for kk, dd in zip(k, d):
    if dd > 4.37:
        plt.axvline(kk, linestyle="dotted")
        plt.text(kk + 50, dd - 0.1, "k=%d" % kk)
        break
plt.xlabel("Multiple of reference engine")
plt.ylabel("Light years")
plt.show()

Por lo tanto, necesitará el equivalente a 381 de esos propulsores de iones de 30 N para hacer el trabajo y 24800 kg de combustible Xe por cada 1 kg de carga útil. (para una fracción de masa de$\zeta=0.9999596$)

Esto es consistente con los cálculos de la parte posterior del sobre que hiciste. Calculaste 218 para llegar allí sin disminuir la velocidad. Disminuir la velocidad requiere 4 veces más empuje, por lo que requeriría poco menos de 900 motores si no tuviéramos en cuenta la masa decreciente. La respuesta real está en algún lugar entre los dos.

Tenga en cuenta que tendrá que ser muy creativo para lograr esa fracción de masa. ¡Sus tanques de combustible tendrán que ser muy delgados y muy grandes, y aún así sobrevivir el viaje de 110 años!

La masa del punto medio es el promedio de inicio y final.

Usted afirma que pierde masa de xenón de manera constante a lo largo del viaje.

/dependiendo de la masa Xe perdida (que es una pérdida constante a lo largo del tiempo)/

Tu masa en el punto de inflexión medio es el promedio de lleno y vacío: medio lleno. Si desea una solución para el viaje realizado durante un tiempo, trabaje sus ecuaciones en función del peso del punto medio. El aumento de peso al inicio del viaje se equilibrará con la disminución de peso al final del viaje y las matemáticas funcionarán para el viaje como un todo.

"¡Pero espera!" objetas "¡Me equivoqué! ¡No es un uso constante! De hecho, uso xenón menos rápido durante la segunda mitad del viaje, porque la nave es menos masiva y, por lo tanto, requiere menos fuerza para acelerar que en la primera mitad". Verdad verdad. Esto se convierte entonces en un problema de cálculo para modelar tanto la tasa de uso de combustible que disminuye suavemente como la tasa de pérdida de masa que disminuye suavemente. Que me gustaría ver resuelto pero que está más allá de mi capacidad.