¡Eso no es luna! ¡Es una estación espacial! ¿Qué tan grande puede ser una nave espacial antes de colapsar sobre sí misma?

Question

¡Eso no es luna! ¡Es una estación espacial! ¿Qué tan grande puede ser una nave espacial antes de colapsar sobre sí misma?

lunas
Fantasía
basado en la ciencia
construcciones espaciales

volteador de tazones

Ahora, un cuerpo sólido de roca se derrumbará hasta adquirir una forma redonda cuando golpee unos 600 km de diámetro (400 km para el hielo). Ahora, la Segunda Estrella de la Muerte se estima entre 160 y 900 km . ¿Qué tan grande puede ser una nave espacial hecha de metal pero aún con espacios habitables "grandes y abiertos"? Supongo que todavía estaría lleno de gases que tendrían su propia gravedad. ¿Puede una nave espacial ser mucho más grande que una esfera de 600 km? Para hacerlo, ¿la infraestructura debería ser principalmente de aluminio?

Agregando de los comentarios.

una Esfera Dyson no cuenta, debe tener estructura interna.

Se sugirió el metal, pero se permite cualquier material lo suficientemente fuerte como para construir la misma embarcación.

dan smolinske

Sospecho que la respuesta entonces será infinita. Puede imaginar un gráfico con el eje x siendo la resistencia al peso del material, y el eje y siendo el tamaño máximo antes de que comience a colapsar sobre sí mismo. El gráfico se curvará hacia arriba, y debido a que la gravedad disminuye en r ^ 2 en algún punto, se volverá infinito: cualquier material más allá de ese punto se puede construir infinitamente grande. Esto es especialmente cierto cuando tiene espacios abiertos para disminuir la masa efectiva. Intentaré armar una respuesta más tarde mostrando esto, si puedo encontrar las ecuaciones y nadie más se me adelanta.

volteador de tazones

@DanSmolinske Interesante. Sin embargo, un barco, con infraestructura interna, no es una esfera tipo Dyson.

Ángelo Fuchs

@DanSmolinske De ninguna manera. Incluso el hidrógeno colapsa sobre sí mismo después de que hay una cantidad suficiente. Todo lo hace, materiales resistentes aún más.

dan smolinske

@AngeloFuchs: No entiendo por qué el hidrógeno sería relevante, está lejos de ser el material más fuerte o liviano disponible.

HDE 226868

Algo que querrá considerar es que pronto llegará a un punto en el que podrían estar las fuentes de propulsión típicas. . . difícil. Nuevos motores/velas/lo que sea que pueda ser difícil de diseñar.

Stephan Branczyk

El artículo no dice 400 km por agua. Dice 400 km para hielo. Para el agua, estoy bastante seguro de que solo dos gotas de agua serían suficientes para fusionarse en una sola esfera de agua.

volteador de tazones

@StephanBranczyk: P~~~. Es solo una fase por la que estoy pasando...

Ángelo Fuchs

@DanSmolinske El hidrógeno es el elemento menos denso y menos masivo. Si colapsa en un punto dado, todo lo que es más denso y/o más masivo colapsará también.

dan smolinske

@AngeloFuchs: Haciendo los cálculos, mi intuición definitivamente está mal aquí (no estoy seguro de por qué cree que puedes irte para siempre). Sin embargo, mi punto sobre el hidrógeno es que no se pueden construir estructuras rígidas a partir de él. Debería poder construir una estructura casi vacía de acero pretensado que sea efectivamente menos densa pero más fuerte que una bola de hidrógeno similar.

volteador de tazones

@DanSmolinske, ¿de qué sirve una nave espacial que no tiene atmósfera?

Ángelo Fuchs

@DanSmolinske No, no puedes. Excepto cuando hay vacío entre el acero. Pero el OP requería una estación/nave espacial. Sus ciudadanos requieren un poco de aire para respirar.

dan smolinske

@AngeloFuchs: El aire es de ~1,2 KG/M^3. El acero supera los 7.000. Si su estructura está vacía en un 90 %, entonces el aire solo agrega 0,15 % de la masa, lo cual es insignificante al calcular el tamaño.

volteador de tazones

@DanSmolinske eso puede ser cierto, pero seguirá siendo mucho más denso que el hidrógeno.

Ángelo Fuchs

@DanSmolinske Tengo la sensación de que estamos hablando entre nosotros: una gran esfera infinita de cualquier cosa colapsará por su propio peso y formará una estrella (poco después colapsará en un agujero negro). No importa si algunas partes son ligeras y otras no. Debe estar por debajo del umbral de eso para su estructura. Entonces, excepto que reduzcas tu estructura a algo por debajo de 1k de partículas por m³ (más o menos, tengo que buscarlo), la gravedad lo matará.

dan smolinske

@AngeloFuchs: Lo sé. Por alguna razón, mi cerebro quiere pensar que puedes llegar al infinito, pero hice los cálculos y está claro que mi cerebro está equivocado. Todavía estoy discutiendo con eso. Mi punto es que el tamaño de una bola de hidrógeno no tiene ninguna relación con el límite de la nave porque el hidrógeno no puede formar estructuras rígidas y fuertes.

Ángelo Fuchs

@DanSmolinske Está bien. Piénselo de esa manera: mientras construye afuera con sus estructuras de acero y agrega atmósfera a cada capa (para que pueda construir la siguiente encima y vivir adentro mientras tanto), su estación se vuelve más pesada por la cantidad de acero (y aire, pero el acero es más pesado). Después de algún punto, la gravedad combinada de todos los demás cojinetes de acero tira lo suficiente sobre el siguiente que desea aplicar para que caiga hacia el centro, que ahora tiene un nombre: Abajo. A medida que sigue agregando capas, la cantidad de "Abajo" aumenta hasta que rompe las capas debajo de usted y todo está "Abajo".

HDE 226868

@AngeloFuchs Simplemente saltará directamente a un agujero negro. No hay forma de proporcionar suficiente presión para evitar que haga cualquier otra cosa.

Loren Pechtel

@DanSmolinske Ninguna estructura física posible puede resistir incluso las presiones de degeneración de electrones (en ese punto, todo es efectivamente un gas de átomos puros, sin moléculas). Por lo tanto, cualquier masa que pueda colapsar a tales presiones lo hará sin importar cuán fuerte sea la estructura. Dado que incluso 1/10 de una masa solar colapsa por degeneración de electrones, tiene un límite sobre cuánto puede pesar su nave, incluso si está hecha de unobtainio.

Respuestas (3)

¡Eso no es luna! ¡Es una estación espacial! ¿Qué tan grande puede ser una nave espacial antes de colapsar sobre sí misma?

Sospecho que la respuesta entonces será infinita. Puede imaginar un gráfico con el eje x siendo la resistencia al peso del material, y el eje y siendo el tamaño máximo antes de que comience a colapsar sobre sí mismo. El gráfico se curvará hacia arriba, y debido a que la gravedad disminuye en r ^ 2 en algún punto, se volverá infinito: cualquier material más allá de ese punto se puede construir infinitamente grande. Esto es especialmente cierto cuando tiene espacios abiertos para disminuir la masa efectiva. Intentaré armar una respuesta más tarde mostrando esto, si puedo encontrar las ecuaciones y nadie más se me adelanta.
@DanSmolinske Interesante. Sin embargo, un barco, con infraestructura interna, no es una esfera tipo Dyson.
@DanSmolinske De ninguna manera. Incluso el hidrógeno colapsa sobre sí mismo después de que hay una cantidad suficiente. Todo lo hace, materiales resistentes aún más.
@AngeloFuchs: No entiendo por qué el hidrógeno sería relevante, está lejos de ser el material más fuerte o liviano disponible.
Algo que querrá considerar es que pronto llegará a un punto en el que podrían estar las fuentes de propulsión típicas. . . difícil. Nuevos motores/velas/lo que sea que pueda ser difícil de diseñar.
El artículo no dice 400 km por agua. Dice 400 km para hielo. Para el agua, estoy bastante seguro de que solo dos gotas de agua serían suficientes para fusionarse en una sola esfera de agua.
@StephanBranczyk: P~~~. Es solo una fase por la que estoy pasando...
@DanSmolinske El hidrógeno es el elemento menos denso y menos masivo. Si colapsa en un punto dado, todo lo que es más denso y/o más masivo colapsará también.
@AngeloFuchs: Haciendo los cálculos, mi intuición definitivamente está mal aquí (no estoy seguro de por qué cree que puedes irte para siempre). Sin embargo, mi punto sobre el hidrógeno es que no se pueden construir estructuras rígidas a partir de él. Debería poder construir una estructura casi vacía de acero pretensado que sea efectivamente menos densa pero más fuerte que una bola de hidrógeno similar.
@DanSmolinske, ¿de qué sirve una nave espacial que no tiene atmósfera?
@DanSmolinske No, no puedes. Excepto cuando hay vacío entre el acero. Pero el OP requería una estación/nave espacial. Sus ciudadanos requieren un poco de aire para respirar.
@AngeloFuchs: El aire es de ~1,2 KG/M^3. El acero supera los 7.000. Si su estructura está vacía en un 90 %, entonces el aire solo agrega 0,15 % de la masa, lo cual es insignificante al calcular el tamaño.
@DanSmolinske eso puede ser cierto, pero seguirá siendo mucho más denso que el hidrógeno.
@DanSmolinske Tengo la sensación de que estamos hablando entre nosotros: una gran esfera infinita de cualquier cosa colapsará por su propio peso y formará una estrella (poco después colapsará en un agujero negro). No importa si algunas partes son ligeras y otras no. Debe estar por debajo del umbral de eso para su estructura. Entonces, excepto que reduzcas tu estructura a algo por debajo de 1k de partículas por m³ (más o menos, tengo que buscarlo), la gravedad lo matará.
@AngeloFuchs: Lo sé. Por alguna razón, mi cerebro quiere pensar que puedes llegar al infinito, pero hice los cálculos y está claro que mi cerebro está equivocado. Todavía estoy discutiendo con eso. Mi punto es que el tamaño de una bola de hidrógeno no tiene ninguna relación con el límite de la nave porque el hidrógeno no puede formar estructuras rígidas y fuertes.
@DanSmolinske Está bien. Piénselo de esa manera: mientras construye afuera con sus estructuras de acero y agrega atmósfera a cada capa (para que pueda construir la siguiente encima y vivir adentro mientras tanto), su estación se vuelve más pesada por la cantidad de acero (y aire, pero el acero es más pesado). Después de algún punto, la gravedad combinada de todos los demás cojinetes de acero tira lo suficiente sobre el siguiente que desea aplicar para que caiga hacia el centro, que ahora tiene un nombre: Abajo. A medida que sigue agregando capas, la cantidad de "Abajo" aumenta hasta que rompe las capas debajo de usted y todo está "Abajo".
@AngeloFuchs Simplemente saltará directamente a un agujero negro. No hay forma de proporcionar suficiente presión para evitar que haga cualquier otra cosa.
@DanSmolinske Ninguna estructura física posible puede resistir incluso las presiones de degeneración de electrones (en ese punto, todo es efectivamente un gas de átomos puros, sin moléculas). Por lo tanto, cualquier masa que pueda colapsar a tales presiones lo hará sin importar cuán fuerte sea la estructura. Dado que incluso 1/10 de una masa solar colapsa por degeneración de electrones, tiene un límite sobre cuánto puede pesar su nave, incluso si está hecha de unobtainio.

HDE 226868 · Answer 1

La ecuación definitoria del equilibrio hidrostático, el estado en el que debe estar un cuerpo celeste para mantener cierta apariencia de una forma esférica, es

\frac{d PAGS}{d r} = - \frac{GRAMO METRO (r) ρ (r)}{r^{2}}

$\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho(r)}{r^2}$ dónde

P

$P$ es presión,

r

$r$ es radio,

M

$M$ es masa,

ρ

$\rho$ es la densidad y

G

$G$ es la constante gravitacional universal. Suponiendo una densidad constante aquí, lo que en realidad es un problema porque hay brechas, decimos que

\frac{d ρ}{d r} = 0

$\frac{d\rho}{dr}=0$ y, después de una derivación rápida (ver aquí un ejemplo), encontramos

PAGS (r) = \frac{2 π GRAMO ρ^{2}}{3} (R^{2} - r^{2})

$P(r)=\frac{2\pi G\rho^2}{3}\left(R^2-r^2\right)$ dónde

R

$R$ es el radio del cuerpo. A

r = 0

$r=0$ , tenemos

PAGS (0) = \frac{2 π GRAMO R^{2} ρ^{2}}{3}

$P(0)=\frac{2\pi GR^2\rho^2}{3}$ Dado que

\frac{d PAGS}{d r} < 0

$\frac{dP}{dr}<0$ está claro que

P

$P$ está al máximo en

r = 0

$r=0$ . Reorganizando, tenemos

R = \frac{1}{ρ} \sqrt{\frac{3 PAGS (0)}{2 π GRAMO}}

$R=\frac{1}{\rho}\sqrt{\frac{3P(0)}{2\pi G}}$

Para

R

$R$ Para ser maximizado, queremos que la relación

\frac{\sqrt{P (0)}}{ρ}

$\frac{\sqrt{P(0)}}{\rho}$ para ser maximizado. Podemos decir eso

P (0)

$P(0)$ es la resistencia última a la compresión de un material.

Echemos un vistazo a las fortalezas de varios materiales . El metal con mayor relación es el acero pretensado, en

R = \frac{\sqrt{3, 757, 000, 000}}{1440} \cdot \sqrt{\frac{3}{2 π GRAMO}} = 3, 600 kilómetros

$R=\frac{\sqrt{3,757,000,000}}{{1440}}\cdot\sqrt{\frac{3}{2\pi G}}=3,600\text{ kilometers}$ Me suena bastante bien.

Algo parece estar mal con el denominador. (3/2*pi*G)^(1/5) ~ 10^-5, y la densidad del acero es de alrededor de 10^4. Esto debería darte un denominador de alrededor de 0,1, lo que aumentará tu radio en un factor de aproximadamente 10 000.
@ckersch Oh, dispara, calculé el radio directamente a partir de la proporción. Culpa mía. Arreglaré eso.
El radio de la esfera original parecía bastante pequeño, así que supuse que había algo extraño en una de las ecuaciones. Mi estimación de esfera hueca, por otro lado, es absurdamente enorme. ¿Ves algún problema matemático con mi respuesta?
@ckersch Hice un comentario. Los análisis son completamente diferentes, así que estoy tratando de averiguar si uno de nosotros hizo una suposición incorrecta en alguna parte. Sin embargo, tus matemáticas parecen verificarse.
Este enfoque está totalmente bien y es la forma ideal de obtener una respuesta rápida a la pregunta. Sin embargo, usas de $\rho$ está ignorando los huecos para el aire. En lugar de usar la densidad del acero, debe usar la densidad de una estación espacial o el Empire State Building (como ejemplos). Esto le dará un valor mucho más bajo y aumentará su respuesta en un factor de 100x a 10,000x.
Creo que es posible que debamos revertir el cambio de Kingledion y considerar los materiales porque el valor utilizado es el rendimiento de tracción, no de compresión. ¿También es la resistencia a la tracción o a la compresión lo que busca?
Otra línea de investigación divertida (trampa para nerds): ¿Qué sucede si lo giras?
Vaya hueco. Debe tener en cuenta los soportes internos. Aunque tal vez demasiado difícil de resolver.

ckersch · Answer 2

Yendo en una dirección ligeramente diferente de HDE226868, voy a diseñar mi nave para que sea una esfera lo más grande posible. Para hacer esto, voy a colocar todo el espacio habitable en la superficie exterior de una gran esfera hueca de acero llena de vacío.

Voy a tener muchas más esferas de acero, en términos de masa, por metro cuadrado que los alojamientos que viviré en el exterior, así que mi pregunta esencialmente es esta: ¿qué tan grande puedo hacer una esfera de acero hueca antes de que sea aplastada por su propia gravedad? Ahora es el momento de las ecuaciones.

Gravedad

$g = GM_{sphere}/r^2$

Dónde $g$ es la aceleración de la gravedad, $G$ es la constante gravitacional, $M_{sphere}$ es la masa de la esfera, y $r$ es el radio de la esfera.

Masa de esfera

$M_{sphere}=4\rho\pi r^2t$

Dónde $t$ es el espesor de la esfera y $\rho$ es la densidad del acero.

Presión sobre la esfera

$p = g\rho t$

Esta es una estimación conservadora, ya que solo la parte más externa de la esfera realmente siente todo el peso de su gravedad. La presión real consiste en resolver una integral simple que no tengo ganas de hacer en este momento.

Estrés

$\sigma = pr/2t$

Esta es la ecuación para la tensión en un recipiente a presión de paredes delgadas.

Ecuación final

Poniendo todo esto junto, obtenemos:

$\sigma = 4\pi G{\rho}^2r^3t^2/r^2t$

O, simplificado y resuelto para $r$ ,

$r = \frac{\sigma}{4\pi t G{\rho}^2}$

Ingresando valores para la densidad del acero (8000 $kg/m^3$ ), la tensión última del acero (3 757 000 000) y G ( $6.67408 \times 10^{-11}$ ), obtenemos un tamaño máximo total de alrededor de 70.030.000 km, dado un espesor de 1 m. El radio de nuestra nave es inversamente proporcional a su grosor, por lo que podemos hacerla más grande si la hacemos más delgada.

Por supuesto, nuestra nave esférica gigante solo podrá acechar en el espacio profundo. Las fuerzas de marea (diferencias en la fuerza de la gravedad entre un lado y el otro de la nave) la destruirían si se acercara a un cuerpo grande como un planeta o una estrella.

La mecánica continua no es lo mío, así que tengo que preguntar: ¿cómo dedujiste la ecuación para el estrés?
Supongo que es una esfera hueca, por lo que la masa es el área de la superficie de la esfera multiplicada por la densidad multiplicada por el grosor. La expresión para el estrés es la ecuación para el estrés en un recipiente a presión de paredes delgadas. $t$ es el grosor del caparazón, que supongo que es bastante pequeño.
Sí, volví a leer la respuesta y me di cuenta de que me había perdido por completo la fórmula de masa. Gracias por la aclaración del estrés. Creo que ahí es donde nuestros resultados diferían. La otra división sería la diferencia entre el modelo shell y el modelo sólido, que en realidad es probablemente más importante.
Para cualquier persona interesada en las comparaciones de distancias astronómicas, dicho sea de paso, este radio es un poco menos de la mitad de la distancia de la Tierra al Sol.
¿Estás seguro de la fórmula? $p=g \rho$ ¿es correcto? Las unidades de eso son $m/s^2$ veces $kg/m^3$ , o fuerza por volumen. Creo que podría necesitar otro factor de longitud.
@Jonah Buena captura. Debería ser $p = gpt$ . Modifiqué mis ecuaciones como tales y asumí que mi nave tiene aproximadamente un metro de espesor.
El esfuerzo del recipiente a presión es para que la presión interior sea mayor que la presión exterior. Lo que significa que su recipiente está completamente lleno de gas presurizado. El tamaño de su nave ya no es el factor limitante debido al tamaño máximo que la atmósfera interna puede soportar antes de colapsar en un gigante gaseoso por derecho propio. Para utilizar el cálculo del recipiente a presión, debe mantener la presión declarada en el revestimiento del recipiente.
@Separatrix La esfera está llena de vacío. El estrés en un objeto esférico es el mismo para cualquier fuerza uniforme por unidad de área, así que lo estoy usando para calcular la fuerza de la gravedad.
@ckersch, sin embargo, es un cálculo de tracción, no de compresión, no creo que sea válido para eso. Podría estar equivocado, han pasado 15 años desde la última vez que tuve que lidiar con estas cosas.
Fallo de compresión a partir de la página 9 de este pdf: six.cheng.cam.ac.uk/wiki/images/2/2b/SAPV.pdf#page=9
@Separatrix Es una falla por compresión, pero la magnitud del estrés es la misma.
Solo para el mismo modo de falla, el pandeo es un modo de falla diferente

Mike de muchos · Answer 3

A pesar de que no son sólidos, ¿el concepto de Dyson Sphere se ajusta a su pregunta?

http://www.technologyreview.com/view/536171/physicists-describe-new-class-of-dyson-sphere/

Ahh, viendo la respuesta...

Parece que la mayoría de las mega naves de superestructura en teoría tienen que lidiar no solo con su propia gravedad de la estructura, sino también con crearla para los habitantes. Pude ver más de 900 km dependiendo de las soluciones de tensión interna y estructural. La esfera, por supuesto, viene a la mente como la estructura colapsada y casi en reposo, una forma de lidiar con las tensiones de la gravedad es crear bolsas de espacio abierto que esencialmente reducirían la tensión de gravedad general a medida que se reduce por el espacio abierto.

Creo que ha habido una discusión sobre estos conceptos en http://hieroglyph.asu.edu/ pero no puedo buscarlo ahora.

No. De hecho, lo mencioné en los comentarios. Lo agregaré a la pregunta.
Los barcos (cf. hábitats) también tienen que ir a alguna parte, por lo que no tienen que colapsar bajo la aceleración de sus propios motores. Un buque de guerra presumiblemente tiene que acelerar rápido. De lo contrario, los micro-gees te acercarán a la velocidad de la luz sorprendentemente pronto.

¡Eso no es luna! ¡Es una estación espacial! ¿Qué tan grande puede ser una nave espacial antes de colapsar sobre sí misma?

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