Escribir una sola ecuación diferencial que describa el comportamiento (circuito eléctrico)

Considere un circuito con$L_{1}$y$L_{2}$como inductores y$C_{1}$y$C_{2}$como los condensadores.$I$y$V$son las variables manifiestas

Quiero una sola ecuación diferencial sin las variables latentes que une V(t) e I(t) (es decir, describe el comportamiento)

Por lo tanto, tomando la transformada de Laplace, obtenemos

$$I=V\left(\frac{sC_{1}}{s^{2}L_{1}C_{1}+1}+\frac{sC_{2}}{s^{2}L_{2}C_{2}+1}\right)$$

¿Quiero tomar la transformada inversa de Laplace aquí, o debo aplicar transformadas de Laplace en las ecuaciones derivadas de las leyes de Kirchoff?

escribo$I_{L_{1}}$,$I_{L_{2}}$,$I_{C_{1}}$,$I_{C_{2}}$,$V_{L_{1}}$,$V_{L_{2}}$,$V_{C_{1}}$,$V_{C_{2}}$como las variables latentes.

Entonces derivo

$$\begin{equation}\begin{cases}I=I_{L_{1}}+I_{L_{2}}\\ I_{L_{1}}=I_{C_{1}}\\ I_{L_{2}}=I_{C_{2}}\\ I_{C_{1}}+I_{C_{2}}=I\end{cases}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\begin{cases}V=V_{L_{1}}+V_{C_{1}}\\ V=V_{L_{2}}+V_{C_{2}}\\ V_{L_{1}}+V_{C_{1}}=V_{L_{2}}+V_{C_{2}}\end{cases}\end{equation}$$

$$\begin{equation}\begin{cases}L_{1}\frac{dI_{L_{1}}}{dt}=V_{L_{1}}\\ L_{2}\frac{dI_{L_{2}}}{dt}=V_{L_{2}}\\ C_{1}\frac{dV_{C_{1}}}{dt}=I_{C_{1}}\\ C_{2}\frac{dV_{C_{2}}}{dt}=I_{C_{2}}\end{cases}\end{equation}$$

Después de alguna eliminación, termino con

$$\begin{equation}\begin{cases} I=I_{L_{1}}+I_{L_{2}} \\ I_{L_{1}}=C_{1}\frac{dV_{C_{1}}}{dt} \\ I_{L_{2}}=C_{2}\frac{dV_{C_{2}}}{dt}\end{cases} \end{equation}$$

Y

$$\begin{equation} \begin{cases} V={L_{1}}\frac{dI_{L_{1}}}{dt}+V_{C_{1}} \\ V=L_{2}\frac{dI_{L_{2}}}{dt}+V_{C_{2}} \end{cases} \end{equation}$$