¿Es la carga de color un observable mecánico cuántico?

La carga de color en el sentido de "ser azul, rojo, verde" no es un observable mecánico cuántico porque el$\mathrm{SU}(3)$Las transformaciones de calibre mezclan los colores. Esto significa que no tiene sentido decir "Tenemos una partícula azul", porque podemos realizar una transformación de calibre y luego "tenemos una partícula roja". Dado que las descripciones físicas relacionadas por transformaciones de calibre son equivalentes, no hay diferencia entre "tener una partícula roja" y "tener una partícula azul". No se puede , ni siquiera en principio, determinar el "color" de un objeto en este sentido.

Las expresiones populares de los quarks "rojo, azul y verde" en realidad no tienen sentido . Brindan una buena heurística porque el "lenguaje de color" brinda una forma de sacar muchas conclusiones intuitivas sobre la teoría de grupos que de otro modo no sería intuitiva, pero los quarks "rojo, azul o verde" no existen . Los objetos en la teoría que están relacionados por una transformación de calibre son literalmente iguales , no hay diferencia entre un "quark rojo" y un "quark verde": un quark es un quark es un quark.

Lo que podemos decir (si logras desconfinar las cosas cargadas de color, ya que el confinamiento significa que solo vemos objetos incoloros) es "Tengo una partícula cargada de color", y especificar "qué tipo de carga de color" tiene. , es decir, si tiene simplemente un color (como los quarks), o un color-anticolor (como los gluones), o color-anticolor-anticolor (como nada que conozcamos), etc. (Estos corresponden formalmente a diferentes$\mathrm{SU}(3)$representaciones) Esto - "color/color-anticolor/color-anticolor-anticolor/..." - es la generalización adecuada de la$\mathrm{U}(1)$carga eléctrica a las teorías de gauge no abelianas.

Por lo general, la carga a la que nos referimos en QFT significa la carga de Noether de alguna simetría global (es decir, física). Por ejemplo, el cargo de Noether asociado con un global$U(1)$transformación en QED se llama carga eléctrica. Hay que tener cuidado con esto$U(1)$transformación porque mucha gente lo confundió con la$U(1)$-invarianza de calibre en QED, es decir, la redundancia bajo un local$U(1)$-transformación.

Los teoremas de Noether solo se aplican para simetrías globales. Puede intentar aplicarlo a una transformación de calibre (es decir, local) y encontrar una cantidad conservada, pero no es un observable físico porque no es invariante de calibre.

Más específicamente, la cantidad conservada que tiene para un$U(1)$-transformación de calibre$A^{\mu}\rightarrow A^{\mu}+\partial^{\mu}\Lambda$es

$$J^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\delta A_\nu=-\frac12 F^{\mu\nu}\partial_\nu\Lambda,$$

que de hecho se conserva, pero no es invariante de calibre.

Lo mismo pasa con$SU(3)$-Teoría del calibre. Los colores de los quarks se conservan, pero no son invariantes de calibre. En QED, uno puede ver esencialmente la simetría U(1) global de un fermión cargado como la "parte global" de la$U(1)$-Invariancia de calibre. Sin embargo, en el caso no abeliano, uno puede ver fácilmente que la "parte global" de$SU(3)$es su centro, que es un subgrupo discreto. En otras palabras, uno no debe esperar una corriente conservada asociada con él.

En cambio, dado el Lagrangiano de a$SU(3)$-teoría del calibre,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})+\bar{\Psi}(iD\!\!\!\!/-m)\Psi,$$

uno encuentra una corriente

$$J^{\mu}=\sum_{a=1}^{N}\left(\bar{\Psi}\gamma^{\mu}T_{a}\Psi\right)T_{a}$$

que se conserva covariantemente, es decir$D_{\mu}J^{\mu}=0$, siguiendo sus ecuaciones de movimiento. Observe que esta corriente no se conserva localmente debido a la derivada covariante. En otras palabras, no es una corriente de Noether.

Por otro lado, en QCD todavía hay simetrías globales, es decir, conservación del número bariónico (es decir, global$U(1)$simetría) y conservación del número de sabor, etc.

Dado que @octonian mencionó esto, se debe enfatizar que aquí el actual

$$J^{\mu}=\sum_{a=1}^{N}\left(\bar{\Psi}\gamma^{\mu}T_{a}\Psi\right)T_{a}$$

porque la teoría de calibre no abeliana no es invariante de calibre. En primer lugar, la corriente proviene de las ecuaciones de movimiento.

$$D_{\mu}F^{\mu\nu}=J^{\nu} \tag{1}$$ $$(iD\!\!\!\!/-m)\Psi=0 \tag{2}$$

donde la ecuación (1) es la ecuación de Yang-Mills, que es la versión no abeliana del par no homogéneo de las ecuaciones de Maxwell. Debajo de$SU(3)$-transformación de calibre, uno tiene

$$F^{\prime}=UFU^{-1},\quad D^{\prime}=UDU^{-1},\quad\mathrm{and}\quad J^{\prime}=UJU^{-1},$$

lo que implica que las ecuaciones de movimiento son invariantes bajo la transformación de calibre, es decir

$$D^{\prime}\star F^{\prime}=J^{\prime}.$$

La conservación covariante de$J$se puede comprobar fácilmente:

$$\begin{align} D\star J&=DD\star F \\ &=F\wedge\star F-\star F\wedge F \\ &=F^{a}\wedge\star F^{b}[T_{a},T_{b}] \\ &=F^{a}\wedge\star F^{b}f_{ab}^{\,\,\,\,c}T_{c} \\ &=\left\langle F^{a},F^{b}\right\rangle f_{ab}^{\,\,\,\,c}T_{c} \\ &=0, \end{align}$$

donde en la última línea el hecho de que$f_{ab}^{\,\,\,\,c}$es wrt antisimétrico$a$y$b$ha sido usado.

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Para evitar más malentendidos, tenga en cuenta que aquí la forma de curvatura 2 es$F=dA+A\wedge A$. Dado que fue mencionado por @octonion en la sección de comentarios, se debe enfatizar que$F=0$no implica conexión plana$A=0$！Esto es cierto incluso en la teoría de calibre abeliana. Esto es fácil de entender si uno calcula los símbolos de Christoffel en coordenadas esféricas del espacio-tiempo de Minkowski. que la corriente$J$se conserva covariantemente es una propiedad especial para la teoría de norma no abeliana. Por el contrario, en la teoría de calibre abeliana, el par no homogéneo de las ecuaciones de Maxwell se lee

$$\star d\star F=j,$$

y la corriente$j$siempre se conserva localmente, es decir$d\star j=0$, independientemente de si la curvatura$F$desaparece o no.