¿Es el momento angular realmente fundamental?

Nota Como señaló David, es mejor distinguir entre el momento angular genérico y el momento angular orbital . El primer concepto es más general e incluye el giro, mientras que el segundo (como sugiere el nombre) se trata simplemente de orbitar. También existe el concepto de momento angular total que es la cantidad que realmente se conserva en los sistemas con simetría rotacional. Pero en ausencia de espín, coincide con el momento angular orbital . Esta es la situación que analizo en el primer párrafo.

El momento angular es fundamental. ¿Por qué? El teorema de Noether nos dice que la simetría del sistema (en este caso espacio-tiempo) conduce a la conservación de alguna cantidad (cantidad de movimiento para la traslación, cantidad de movimiento orbital para la rotación). Ahora, da la casualidad de que el espacio euclidiano es invariante tanto en la traslación como en la rotación de manera compatible, por lo que estos conceptos están relacionados y puede parecer que se puede derivar uno del otro. Pero puede existir un espacio-tiempo que sea invariante de traslación pero no de rotación y viceversa. En tal espacio-tiempo, no obtendría una relación entre el momento angular orbital y el momento.

Ahora, para abordar el giro. Una vez más, es el resultado de cierta simetría. Pero en este caso la simetría surge por la correspondencia de Wigner entre las partículas y las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré que es el grupo de simetría del espacio-tiempo de Minkowski . Esta correspondencia nos dice que las partículas masivas se clasifican por su masa y espín. ¡Pero el espín no es el momento angular orbital! El giro corresponde al grupo.$Spin(3) \cong SU(2)$que es una doble cubierta de$SO(3)$(simetría rotacional del espacio euclidiano tridimensional). Entonces, este es un concepto completamente diferente que es solo superficialmente similar y en realidad no se puede comparar directamente con el momento angular orbital. Una forma de ver esto es que el espín puede ser un medio entero, pero el momento angular orbital siempre debe ser un número entero.

Así que para resumir:

• El momento angular orbital es un concepto clásico que surge en cualquier espacio-tiempo con simetría rotacional.
• spin es un concepto que proviene de la teoría cuántica de campos basada en el espacio-tiempo de Minkowski. El mismo concepto también funciona para la teoría clásica de campos, pero allí no tenemos una correspondencia clara con las partículas, así que omití este caso.

Complemento para los curiosos

Como ha señalado Eric, hay algo más que una simple similitud superficial entre el momento angular orbital y el espín. Para ilustrar la conexión, es útil considerar la cuestión de cómo las propiedades de las partículas se transforman bajo el cambio de coordenadas (recuerde que la conservación del momento angular total surge debido a la invariancia al cambio de coordenadas que corresponde a la rotación). Procedamos con un poco más de generalidad y consideremos cualquier transformación$\Lambda$del grupo Lorentz. Tengamos un campo$V^a(x^{\mu})$que se transforma en representación matricial${S^a}_b (\Lambda)$del grupo Lorentz. Gracias a Wigner sabemos que esto corresponde a alguna partícula; por ejemplo, podría ser escalar (como Higgs), bispinor (como el electrón) o vectorial (como el bosón Z). Sus propiedades de transformación bajo el elemento${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$luego se determinan por (usando la convención de suma de Einstein)

A partir de esto se puede ver, al menos intuitivamente, la relación entre las propiedades del espacio-tiempo ($\Lambda$) y la partícula ($S$). Para volver a la pregunta original:$\Lambda$contiene información sobre el momento angular orbital y$S$contiene información sobre el giro. Entonces los dos están conectados pero no de una manera trivial. En particular, no creo que sea muy útil imaginar el espín como el giro real de la partícula (al contrario de la terminología). Pero, por supuesto, cualquiera es libre de imaginar lo que sienta que le ayuda a comprender mejor la teoría.

En el campo de la mecánica clásica, el momento angular casi siempre se deriva del momento lineal. En realidad, este podría ser el problema, porque también es posible hacerlo al revés: el momento lineal es un caso límite de momento angular donde el radio de rotación se vuelve infinito. En esta vista, la división entre rotacional y lineal se desvanece - el nuevo concepto que se introduce es: infinito .

Esta no es una idea nueva mía, se ha establecido desde el siglo XIX. Mediante el uso de geometría proyectiva, se pueden integrar cinemáticas y dinámicas lineales y angulares en un marco (es decir, una traslación es una rotación alrededor de un eje infinito; un momento puro es una fuerza a lo largo de una línea de acción infinita). Palabras clave: Felix Klein, complejos lineales.

Otro problema es el momento angular intrínseco. Podría decir: estudia los fundamentos, los principios y las matemáticas, y eventualmente obtendrás una imagen holística, pero eso no es lo que creo. Creo que necesitamos algún tipo de modelo geométrico de electrones que nos permita representar el momento angular intrínseco.

llamar "fundamental" a un concepto similar es una cuestión de gustos, y la proposición es solo un eslogan emocional sin sentido. El momento angular es sin duda una cantidad importante que es, en un sentido muy bien definido, tan importante como el momento normal. Por cierto, ambos se conservan si las leyes físicas son simétricas con respecto a las traslaciones y rotaciones, respectivamente.

Entonces, la verdadera pregunta es por qué el giro en la mecánica cuántica no se puede reducir al movimiento orbital, es decir, al "movimiento lineal" y al "momento" ordinario. Es porque los objetos en la mecánica cuántica se describen no solo por su forma en el espacio, sino también por funciones de onda, y se puede decir que las funciones de onda se transforman de manera no trivial (en otra cosa) bajo rotaciones.

En particular, si la función de onda (o un campo) es un vector o un tensor o, más típicamente, un espinor, significa que en un sistema de coordenadas diferente, los valores de los componentes de la función de onda serán diferentes. Esto es posible incluso en el caso de que la función de onda (o campo) esté totalmente localizada en un punto, es decir, nada gira "orbitalmente".

El momento angular se define por el cambio de fase de la función de onda bajo rotaciones, que puede provenir de la dependencia de la función de onda con el espacio, pero también de las transformaciones de los componentes de la función de onda entre sí, lo cual es posible incluso si todo está localizado en un punto. Entonces, incluso los objetos con forma de punto pueden tener un momento angular en la mecánica cuántica, el giro.

Tenga en cuenta que el giro es un múltiplo de$\hbar/2$y$\hbar$se envía a cero en el límite clásico, por lo que en el límite clásico, el giro como el momento angular interno se vuelve cero y desaparece, de todos modos.

Otra característica nueva del espín es que, a diferencia del momento angular, puede ser un medio entero, no solo un múltiplo de$\hbar$: además$\hbar/2$es posible. Esto se debe a que las funciones de onda (y los campos) pueden transformarse en espinores que cambian de signo si se giran 360 grados. Solo una rotación de 720 grados es topológicamente indistinguible de "sin rotación", por lo que las funciones de onda están obligadas a volver a sus valores originales bajo una rotación de 720 grados. Pero los fermiones cambian sus signos bajo rotaciones de 360 ​​grados, lo que corresponde a su giro semiintegral.

Si la palabra "fundamental" significa que no se puede reducir a otras cosas, como una intuición clásica sobre el movimiento y la rotación, entonces asegúrese de que el espín es fundamental, como el resto de la mecánica cuántica.

Mis mejores deseos Lubos

En la mecánica clásica, las entidades fundamentales cambian según el marco que elijas. Si haces mecánica newtoniana clásica, diría que las entidades fundamentales son posiciones y velocidades. Todas las demás pueden derivarse de ellas y la dinámica de las partículas se describe en términos de funciones de estas (las fuerzas son funciones del tiempo, las posiciones y las velocidades).

Pero si vas a la mecánica hamiltoniana, las posiciones y los momentos se vuelven fundamentales. Y el hamiltoniano se puede expresar como una función de estos y posiblemente del tiempo.

Claramente, en mecánica clásica, el momento angular es siempre una cantidad derivada, porque siempre es un momento angular orbital, nunca un momento angular intrínseco. Incluso cuando tienes un objeto girando sobre un eje propio, esto puede entenderse como que las partículas que constituyen el objeto ejecutan un movimiento orbital. Por supuesto, puede escribir hamiltonianos que dependen del momento angular de la parte superior, pero estas son descripciones de nivel superior, el momento angular de la parte superior aún podría descomponerse en principio en los momentos angulares orbitales de sus constituyentes. Este no sería un enfoque muy práctico para la resolución de problemas, por supuesto.

Por lo tanto, como dices, un momento angular intrínseco fundamental es una novedad en la mecánica cuántica. La forma en que ingresa a las ecuaciones suele ser a través de los valores múltiples de la función de onda. Digamos que una partícula de espín 1/2 tiene que ser descrita por dos funciones de onda de componentes independientes (podría haber más componentes, pero estos no serían independientes). No sé de ninguna manera alrededor de esto. Este es un hecho básico del funcionamiento de la naturaleza y está relacionado con las representaciones del grupo de simetría del espacio-tiempo.

Dado que el grupo de simetría del espacio-tiempo es básicamente el mismo en la física cuántica y en la física clásica, no veo, sin embargo, por qué no debería ser posible describir partículas con momentos intrínsecos en la mecánica clásica. Creo que es ciertamente posible en principio. La pregunta es, ¿es útil? Dado que todas nuestras partículas elementales deben describirse a nivel cuántico, ¿de qué sirve una teoría clásica de partículas con momentos intrínsecos? ¿Excepto en el sentido de abordar problemas como la parte superior mediante la simplificación o algo así?

EDITAR: De hecho, las teorías de campo clásicas tienen giro. Piense en las ecuaciones de Maxwell, por ejemplo.

Un indicio del papel especial del momento angular ocurre cuando buscas su variable conjugada. Es la posición angular, que es adimensional . Y luego tienes que cualquier producto de una variable por su conjugado tiene unidades de acción, que son las mismas unidades que el momento angular. Así que la mecánica clásica ya nos dice que algo está pasando. (Advertencia: puede tener las mismas unidades con producto escalar y con producto cruzado, y el significado físico es diferente. Si ha revisado los folletos de los fabricantes de automóviles y motores alemanes, podría haber notado la unidad "Nm", newton por metro , y la unidad "Joule", usada de manera diferente.)

Existe una explicación semiclásica muy simple y concisa del momento angular de espín del electrón, sin la noción de rotación de ningún objeto material: Cualitativamente hablando, el momento angular de espín del electrón es el momento angular del campo electromagnético resultante del campo electromagnético combinado que rodea un electrón de tal manera que se crea un vector de Poynting distinto de cero que circula alrededor del eje del dipolo del electrón, lo que también significa que un flujo de energía electromagnética permanente circula alrededor del eje del dipolo del electrón. La electrodinámica relativista demuestra que cualquier tipo de flujo de energía está asociado con el flujo de momento (paralelo al vector de Poynting) que en sí mismo puede estar asociado con el momento angular relativo a un punto dado o eje de referencia. Por lo tanto, la circulación de energía alrededor del eje del dipolo del electrón es equivalente a la circulación de cantidad de movimiento. Si se integra en todo el espacio alrededor de un electrón, el resultado es una fracción sustancial, si no todo, del momento angular de giro de un electrón que se distribuye en ese espacio. (Véase, por ejemplo, Feynman Vol. II)

En:
SM Blinder: electrodinámica libre de singularidades para cargas puntuales y dipolos: un modelo clásico para la autoenergía y el espín de los electrones, Eur. J. física. 24 (2003) 271-275 ( preimpresión arxiv ).

Lubosh escribió: "El momento angular se define por el cambio de fase de la función de onda bajo rotaciones, que puede provenir de la dependencia de la función de onda en el espacio, pero también de las transformaciones de los componentes de la función de onda entre sí , lo cual es posible incluso si todo está localizado en un punto. Entonces, incluso los objetos con forma de punto pueden tener un momento angular en la mecánica cuántica, el giro".

En QM es imposible y no es necesario imponer R = 0 (ver mi blog) para tener un sistema en reposo. Por el contrario, hay que poner P = 0. No significa puntualidad sino ubicuidad .

Hay un artículo de R. Ohanian sobre el giro . Pero me temo que finalmente es una tautología más o menos.

Creo que el momento angular es fundamental. Creo que incluso en Mecánica Clásica una descripción de cualquier cosa con la ayuda de únicamente tres coordenadas R (t) es demasiado primitiva. En general, todo no es puntual y gira, en términos generales. Entonces, el momento angular intrínseco J es tan fundamental como el momento lineal P (así como el color, la carga y el sabor ;-).

En cuanto al espín y las partículas extendidas, diría lo contrario: no es contrario a la intuición que las partículas puntuales tengan un momento angular intrínseco, porque un punto parece tener alguna invariancia de rotación incorporada. Lo sorprendente es que los objetos extendidos tienen este momento angular, sin un punto en el que pivote la simetría rotacional.

Hay más que Spin siendo un momento angular intrínseco. Un electrón tiene un "grado de libertad interno": ser zurdo o diestro, y puede salir del punto A con espín RH y llegar a B con espín LH. Por tanto, Pauli necesita dos componentes complejos en su ecuación. (a diferencia de un fotón que llega con el mismo espín aunque también tiene LH y RH, por lo que no hay grado de libertad interno). Esto es distinto del vector de espín que define una dirección en el espacio. La bivaloración proviene de que la rotación se trata de un bivector que puede apuntar hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje de rotación. Uno puede hacer rotaciones espaciales de cualquier manera, y los electrones parecen hacer la distinción, como si hubiera dos tipos, pero todo lo demás tiene la misma masa y carga, por lo que decimos que es la misma partícula, con espines opuestos. Entonces parece que no hay una conexión necesaria con la relatividad (excepto para arreglar el factor de Thomas en Pauli eq) o QFT. Hamilton tenía el álgebra para hacer la distinción clásica entre izquierda y derecha: está integrada en el álgebra de cuaterniones, pero no la vio como una propiedad mecánica de las partículas, pero diablos, tampoco vio la ecuación de Maxwell.

La existencia de un espín de una partícula es, por supuesto, una indicación de que la partícula está compuesta de hecho por partes separadas por el espacio. Sin embargo, esto no significa que la partícula esté compuesta de otras partículas.

Por ejemplo, actualmente se sabe que al menos una parte del espín del electrón es, de hecho, el momento orbital de las fluctuaciones del vacío cuántico que están involucradas en la rotación del núcleo del electrón. Esta parte se conoce como momento angular anómalo del electrón.

Otro ejemplo es el fotón, donde el espín se puede explicar como un orden en el que la energía contenida en los campos eléctricos y magnéticos gira alrededor del eje establecido a lo largo de la dirección de propagación del fotón.