¿Es correcta esta ecuación de cálculo de calor?

Si tengo una línea de alambre de cobre (digamos$\textrm{1 meter}$largo,$\textrm{1 mm}$de espesor) y un extremo es un disco aplanado de cobre del tamaño de una moneda de veinticinco centavos, y le aplico mucho calor (estoy hablando$800\,^{\circ}\textrm{C}$) ¿Se calentará toda la línea al mismo grado? Quiero decir, ¿a qué temperatura estará el extremo sin calentar después de, digamos, un minuto? ¿También puede alcanzar$800\,^{\circ}\textrm{C}$grados con el tiempo?

Voy a comenzar haciéndome la pregunta, ¿qué pasaría si el final genial estuviera en$400\,^{\circ}\textrm{C}$? En este caso, la tasa de flujo de calor desde el extremo caliente al frío sería

$$\begin{align} \frac{k A}{l}\Delta T &= \frac{400\,\textrm{W/mK}\cdot \pi\,(0.0005\,\textrm{m})^2}{\textrm{1 m}} \cdot 400\,\textrm{K} \\ &= 0.1257\,\textrm{W} \end{align}$$ La transferencia radiativa del cobre a los alrededores, que llamaré aire en $20\,^{\circ}\textrm{C}$, se seguirá de la Ley de Stefan-Boltzmann. Para el cobre, el flujo radiativo es $$\begin{align} \sigma \, T^4 &= \left( 5.67 \times 10^{-8}\,\textrm{W/m}^2 \textrm{K}^4 \right) \left(673\,\textrm{K}\right)^4 \\ &= 11632\,\textrm{W/m}^2 \end{align}$$ Para el flujo inverso del aire (sin tener en cuenta la convección), tiene $\left( 5.67 \times 10^{-8}\,\textrm{W/m}^2 \textrm{K}^4 \right) \left(293\,\textrm{K}\right)^4 = 418\,\textrm{W/m}^2,$entonces si el disco tiene un radio de $1\,\textrm{cm}$y es de dos lados, su área de superficie es $2\,\pi \,\left(0.01 \,\textrm{m}\right)^2 = 6.28 \times 10^{-4}\,\textrm{m}^2,$y el $\textrm{NET}$la pérdida radiativa es de aproximadamente $\left( 11214\,\textrm{W/m}^2 \right) \left( 6.28 \times 10^{-4}\,\textrm{m}^2 = 7.04\,\textrm{watts}. \right)$Evidentemente, la pérdida por radiación sería mucho mayor que la ganancia por conducción, por lo que la temperatura de equilibrio del extremo del "disco" será considerablemente menor que $400\,^{\circ}\textrm{C}$.

A continuación, probé una solución formal, pero no me gustó el resultado (!), así que solo veré qué sucede si la temperatura del disco es$100\,^{\circ}\textrm{C}$:pérdida radiativa$= 5.67 \times 10^{-8}\cdot \left( 373^4 - 293^4 \right) = 680\,\textrm{W/m}^2$, Total de$0.427\,\textrm{watts}$. ganancia conductiva$= 400\,\pi\, 0.0005{^2} \cdot 700 = 0.220\,\textrm{watts}.$Entonces, en conjunto, si el alambre de cobre fuera más grueso (digamos diez veces más, colocándolo en$1\,\textrm{cm}$), ¿le permitiría alcanzar$800\,^{\circ}\textrm{C}$¿como un todo?