En una gráfica logarítmica de la gravedad superficial a la masa del planeta, ¿cuál es el significado de la intersección con el eje y?

Question

En una gráfica logarítmica de la gravedad superficial a la masa del planeta, ¿cuál es el significado de la intersección con el eje y?

Espacio
planeta
gravedad
exoplaneta

Anónimo

Estoy jugando con datos de exoplanets.org y estoy interesado en la gráfica de la gravedad de la superficie a la masa del planeta. Reproduje este gráfico esta trama después de descargar sus datos y realicé un modelo de regresión no lineal para ajustar la curva. Lamentablemente, la matriz de covarianza de mi ajuste tiene valores infinitos, por lo que ahora estoy probando un ajuste lineal en un diagrama logarítmico, como se muestra a continuación. mi ajuste, para $y=ax+b$ , es $a=0.9511$ , $b=0.8631$ .

Ahora estoy pensando en lo que estoy tramando. Sospecho que puede no haber nada interesante en $\log \frac{GM}{R^2}$ contra $\log M$ , pero, independientemente, estoy tratando de entender si hay algún significado en el intercepto en y.

¿Cuáles son las posibles explicaciones para el valor $b$ ?

LDC3

Teniendo en cuenta los valores de su gráfico, pensaría que el error al determinar la pendiente y la falta de puntos entre 0,5 y 2 masas terrestres es responsable de la gran desviación de un objeto casi sin masa que tiene una gravedad superficial significativa. Sería mejor trazar la gravedad de la superficie para objetos entre 0,5 y 2 masas terrestres para ver si hay un error estadístico.

LDC3

Por cierto, ¿de dónde provienen los datos?

usuario5341

Gracias por tus comentarios. Los datos son de exoplanets.org. Sin embargo, ahora que lo estoy pensando, log(1)=0, por lo que el intercepto en y representa la gravedad superficial de un 1

M_{J}

$M_{J}$ planeta, no?

LDC3

Estás bien. Supongo que debería haber revisado dos veces mi cálculo. Entonces, la gravedad superficial de un planeta con

l o g (M_{O}) = 0

$log (M_O)=0$ es

l o g (a) = 0.8631

$log(a)=0.8631$ , o

a = 7.3 c m / s^{2}

$a=7.3cm/s^2$ . ¿Estás seguro de que tienes las unidades correctas? Ya que

9.98 m / s^{2} = 998 c m / s^{2}

$9.98m/s^2=998cm/s^2$ y

l o g (998 c m / s^{2}) = 2.999

$log(998cm/s^2)=2.999$ .

usuario5341

Sí, esto es confuso... En este momento, creo que dado que la gravedad de la superficie también depende del radio, esta línea brinda información sobre el radio. Pero nada particularmente útil, ya que

\log \frac{G M}{R^{2}}

$\log \frac{GM}{R^2}$ contra

\log M

$\log M$ va como

1 + \frac{k \log R}{\log M}

$1 + \frac{k \log R}{\log M}$ , después de usar algunas reglas de logaritmo, creo. Por favor, hágamelo saber si esto no le parece correcto, ¡soy muy nuevo en este tipo de cosas!

LDC3

Revisé los datos originales y noté que solo has trazado gigantes gaseosos (como Júpiter). Ahora tiene más sentido que un planeta gaseoso de la masa de la Tierra (que no existiría debido a la velocidad de los gases; los gases simplemente se disiparían) tendría una gravedad superficial unas 100 veces menor que en la Tierra. Además, los planetas rocosos aumentan la gravedad de la superficie a medida que se hacen más pequeños, por lo que el valor de la Tierra (2,998) está en el medio de los datos.

usuario5341

Gracias por este último comentario. Estaba tratando de deshacerme de los valores que son cero y eliminar los valores que son inferiores a 0.2

M_{J}

$M_J$ , que ahora me doy cuenta es demasiado grande.

Extraño caminante

b parece un buen ejemplo del peligro de extrapolar las curvas de mejor ajuste más allá del rango de los datos reales. Un planeta de masa cero no tiene gravedad, cualquier otra respuesta es ilusión.

Respuestas (2)

En una gráfica logarítmica de la gravedad superficial a la masa del planeta, ¿cuál es el significado de la intersección con el eje y?

Teniendo en cuenta los valores de su gráfico, pensaría que el error al determinar la pendiente y la falta de puntos entre 0,5 y 2 masas terrestres es responsable de la gran desviación de un objeto casi sin masa que tiene una gravedad superficial significativa. Sería mejor trazar la gravedad de la superficie para objetos entre 0,5 y 2 masas terrestres para ver si hay un error estadístico.
Gracias por tus comentarios. Los datos son de exoplanets.org. Sin embargo, ahora que lo estoy pensando, log(1)=0, por lo que el intercepto en y representa la gravedad superficial de un 1 $M_{J}$ planeta, no?
Estás bien. Supongo que debería haber revisado dos veces mi cálculo. Entonces, la gravedad superficial de un planeta con $log (M_O)=0$ es $log(a)=0.8631$ , o $a=7.3cm/s^2$ . ¿Estás seguro de que tienes las unidades correctas? Ya que $9.98m/s^2=998cm/s^2$ y $log(998cm/s^2)=2.999$ .
Sí, esto es confuso... En este momento, creo que dado que la gravedad de la superficie también depende del radio, esta línea brinda información sobre el radio. Pero nada particularmente útil, ya que $\log \frac{GM}{R^2}$ contra $\log M$ va como $1 + \frac{k \log R}{\log M}$ , después de usar algunas reglas de logaritmo, creo. Por favor, hágamelo saber si esto no le parece correcto, ¡soy muy nuevo en este tipo de cosas!
Revisé los datos originales y noté que solo has trazado gigantes gaseosos (como Júpiter). Ahora tiene más sentido que un planeta gaseoso de la masa de la Tierra (que no existiría debido a la velocidad de los gases; los gases simplemente se disiparían) tendría una gravedad superficial unas 100 veces menor que en la Tierra. Además, los planetas rocosos aumentan la gravedad de la superficie a medida que se hacen más pequeños, por lo que el valor de la Tierra (2,998) está en el medio de los datos.
Gracias por este último comentario. Estaba tratando de deshacerme de los valores que son cero y eliminar los valores que son inferiores a 0.2 $M_J$ , que ahora me doy cuenta es demasiado grande.
b parece un buen ejemplo del peligro de extrapolar las curvas de mejor ajuste más allá del rango de los datos reales. Un planeta de masa cero no tiene gravedad, cualquier otra respuesta es ilusión.

ProfRob · Answer 1

Creo que lo que has establecido aquí es solo eso. $\rho$ tiende a aumentar con la masa. La densidad de los planetas no es constante.

Dejar $\rho = \rho_0 (M/M_{earth})^{\alpha}$ , así que eso $M = (4/3)\pi R^{3} \rho_0 (M/M_{earth})^{\alpha}$

Después

gramo = \frac{GRAMO METRO}{R^{2}} = \frac{4 π GRAMO}{3} R ρ

$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{4\pi G}{3} R \rho$

Reemplazar $R$ con $(3M/4\pi \rho)^{1/3}$ así que eso

gramo = \frac{4 π GRAMO}{3} {(\frac{3 METRO}{4 π ρ})}^{1 / 3} ρ

$g = \frac{4\pi G}{3} \left(\frac{3M}{4\pi \rho}\right)^{1/3} \rho$

gramo = {(\frac{4 π}{3})}^{2 / 3} GRAMO {METRO}^{1 / 3} ρ_{0}^{2 / 3} (METRO / {METRO}_{mi a r t h})^{2 α / 3}

$g = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} G M^{1/3} \rho_0^{2/3} (M/M_{earth})^{2\alpha/3}$

gramo = {(\frac{4 π}{3})}^{2 / 3} GRAMO {METRO}_{mi a r t h}^{1 / 3} ρ_{0}^{2 / 3} (METRO / {METRO}_{mi a r t h})^{(2 α + 1) / 3}

$g = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} GM_{earth}^{1/3} \rho_0^{2/3} (M/M_{earth})^{(2\alpha+1)/3}$

Entonces, salvo un (muy posible) error algebraico, si trazas $\log g$ contra $\log M$ , el gradiente es $(2\alpha+1)/3$ , que de su parcela, da $\alpha \simeq 0.92$ - es decir, la densidad planetaria promedio aumenta casi linealmente con la masa.

El intercepto entonces es

b = Iniciar sesión [{(\frac{4 π}{3})}^{2 / 3} GRAMO {METRO}_{mi a r t h}^{1 / 3} ρ_{0}^{2 / 3}],

$b = \log \left[ \left(\frac{4\pi}{3}\right)^{2/3} GM_{earth}^{1/3} \rho_0^{2/3}\right],$ cuyos rendimientos

ρ_{0} ≃ 3.5

$\rho_0 \simeq 3.5$ kg/m3

^{3}

$^3$ (NB: resté 2 de tu

b

$b$ para hacerlo SI; dando una densidad de alrededor de 814 kg/m

^{3}

$^3$ en una masa de Júpiter).

El hecho de que la densidad sea casi proporcional a la masa se puede encontrar en el mismo conjunto de datos. por ejemplo, ver más abajo. Por debajo de 0,1 masas de Júpiter, la relación parece romperse, aunque en realidad muy pocas de las densidades de tales planetas se miden con mucha precisión (ya que requiere un radio de un tránsito), pero funciona lo suficientemente bien en el rango que ha trazado . La física aquí es que los gigantes gaseosos están gobernados por una ecuación de estado parcialmente degenerada (electrónica) que da como resultado que todos tengan un radio similar de aproximadamente una décima parte de la masa de Júpiter a aproximadamente 50 masas de Júpiter (aunque con una dispersión considerable y en gran parte inexplicable) . Por tanto, la densidad es proporcional a la masa. Esta relación no funciona para pequeños planetas rocosos, donde el radio disminuye para masas más pequeñas.

Densidad del planeta versus masa

Gravedad superficial versus masa

Conrado Turner · Answer 2

Para planetas de densidad media constante tienes:

METRO = ρ \times 4 π r^{3}

$M=\rho \times 4\pi r^3$ y el valor superficial de

g

$g$ es:

gramo (r) = \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} = GRAMO \times ρ \times 4 π \times r

$g(r)=\frac{GM}{r^2}=G \times \rho\times 4 \pi \times r$ Entonces, para cuerpos de densidad constante, la gravedad superficial es proporcional al radio y la pendiente como

r \to 0

$r \to 0$ te dice la densidad. Entonces para cuerpos de igual densidad

\log (g (r)) \to - \infty

$\log(g(r)) \to -\infty$ como

r \to 0

$r \to 0$

En términos de masa:

gramo (METRO) = GRAMO (4 π ρ)^{2 / 3} {METRO}^{1 / 3}

$g(M)={G(4\pi \rho)^{2/3}M^{1/3}}$ Así como

M \to 0

$M\to 0$ tenemos

g (M) \to 0

$g(M)\to 0$ y otra vez

\log (g (M)) \to - \infty

$\log(g(M))\to -\infty$ y el intercepto de la

\log - \log

$\log-\log$ trazar como

M

$M$ va a cero le permite calcular la densidad media.

¿No debería ser así? $g = (\tfrac{2}{3}\sqrt[3]{6\pi^2})(G\sqrt[3]{\rho^2M})$ ? Tenga en cuenta que la pregunta del OP es en realidad principalmente sobre $\log M\to 0$ , pero de lo contrario, estoy de acuerdo, la cosa física más sencilla a la que corresponde es la densidad media, ajustada a los datos.
¿No es el problema con esta idea que $\log g = (1/3)\log M + const$ , que no es lo que obtiene el OP?
@RobJeffries El OP está extrapolando gigantes gaseosos, por lo que hay $\rho$ también depende fuertemente de $M$ --pero eso no debería cambiar la correspondencia con la densidad media para cualquier fijo en particular $M$ , que en realidad era la pregunta de OP como se indicó. Realmente, sin embargo, la extrapolación del OP es físicamente inapropiada, y para los exoplanetas ligeros ( $M\lesssim 4$ en unidades de $R_\oplus = M_\oplus = 1$ ), Seager et al . (2007) ${Iniciar sesión}_{10} R = k_{1} + \frac{1}{3} {Iniciar sesión}_{10} METRO - k_{2} {METRO}^{k_{3}},$ $\renewcommand{\lg}{\log_{10}} \lg R = k_1 + \frac{1}{3}\lg{M}-k_2M^{k_3}\text{,}$ y entonces $\lg g = \frac{1}{3}\lg M - 2k_1 + 4k_2M^{k_3}$ .
Eso $4k_2$ debiera ser $2k_2$ en mi comentario (error tipográfico).

En una gráfica logarítmica de la gravedad superficial a la masa del planeta, ¿cuál es el significado de la intersección con el eje y?

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