¿En qué campo de las matemáticas aprendo integrales de trayectoria?

Para estudiar la formulación matemática precisa de las integrales de trayectoria, en realidad necesita herramientas probabilísticas. La integral de trayectoria es una integral estocástica con medidas adecuadas, como la medida de Wiener asociada con el movimiento browniano.

Las ideas utilizadas por los físicos son muy útiles, pero no siempre matemáticamente precisas, y se basan más o menos en la justificación por aproximación de estas integrales estocásticas.

Así que realmente depende del propósito para que los estudies. Si planea utilizarlos como lo hace un físico (o simplemente para comprender su significado físico), no se necesitará mucha formación matemática, aparte del conocimiento básico de la mecánica cuántica (y la fórmula de Trotter) y el principio de acción mínima de la mecánica clásica (un un poco de cálculo de variaciones, como ya se mencionó).

Pero si está interesado en un estudio más riguroso, tal vez orientado a la física matemática, realmente necesita comprender los procesos estocásticos y la probabilidad.

Recomiendo dos recursos:

El libro original de Feynman llamado Quantum Mechanics and Path Integrals. Contiene la mayoría de los requisitos previos de los dos primeros capítulos, pero necesitará algo de madurez para superarlos.

El libro de teoría cuántica de campos de A. Zee Quantum Field Theory in a Nutshell por su amigable capítulo sobre ellos.

1. Mecánica Cuántica e Integrales de Trayectoria: Este es un libro que todo físico o estudiante de física debería estudiar. Aquí el autor describe el principio de acción en la física cuántica. No es un principio de acción mínimo, como en la mecánica clásica: sin embargo, puedes derivar el principio mínimo clásico de él, en el límite clásico. ¿Porque es esto importante? Pues bien, sucede que las famosas teorías del campo gauge sólo podían cuantificarse bajo este formalismo. Feynman, por supuesto, reformula todo con su técnica, por lo que el libro es muy esclarecedor: es una rica experiencia ver las cosas conocidas bajo un punto de vista diferente. Pero también hay muchas cosas nuevas. Las aplicaciones son brillantes y cubren casi todo: electrodinámica, mecánica estadística, lo que sea. Feynman introduce una nueva matemática, una teoría de integración en un espacio cuyos elementos son curvas (integrales de trayectoria). Que yo sepa, la teoría rigurosa de esta integración no existe por ahora. Sin desanimarse, Feynman es capaz de guiarnos hacia resultados muy importantes utilizando métodos intuitivos y comprobando la validez de un resultado al obtenerlo de dos formas diferentes, por ejemplo. No te pierdas, por cierto, su discusión sobre el papel del rigor (en el sentido matemático) en la física. ¡Hay una sección sobre eso! su discusión sobre el papel del rigor (en el sentido matemático) en la física. ¡Hay una sección sobre eso! su discusión sobre el papel del rigor (en el sentido matemático) en la física. ¡Hay una sección sobre eso!
2. Integrales de trayectoria en mecánica cuántica : el objetivo principal de este libro es familiarizar al lector con una herramienta, la integral de trayectoria, que no solo ofrece un punto de vista alternativo sobre la mecánica cuántica, sino que, lo que es más importante, bajo una forma generalizada, también se ha convertido en la clave para una comprensión más profunda de la teoría cuántica de campos y sus aplicaciones, que se extiende desde la física de partículas hasta las transiciones de fase o las propiedades de los gases cuánticos.
3. Integrales de ruta matemáticas de Feynman y sus aplicaciones : este volumen proporciona una descripción detallada e independiente de las dificultades matemáticas, así como las posibles técnicas utilizadas para resolver estas dificultades. En particular, ofrece una descripción completa de la realización matemática de las integrales de trayectoria de Feynman en términos de integrales funcionales bien definidas, es decir, las integrales oscilatorias de dimensión infinita. Contiene los resultados tradicionales sobre el tema así como los desarrollos más recientes obtenidos por el autor. Integrales de trayectoria de Feynman matemáticas y sus aplicaciones está dedicado a matemáticos y físicos, estudiantes de posgrado e investigadores interesados ​​en el problema de los fundamentos matemáticos de las integrales de trayectoria de Feynman.
4. Integrales de trayectoria y sus aplicaciones en física estadística cuántica y del estado sólido : este libro aplica integrales de trayectoria a la física estadística y la física del estado sólido.
5. Integrales de trayectoria para procesos estocásticos: una introducción: El objetivo de este libro es ofrecer una presentación breve pero completa del enfoque de la integral de trayectoria de los procesos estocásticos. Podría usarse como un libro de texto avanzado para estudiantes graduados e incluso estudiantes universitarios ambiciosos en física. Describe cómo aplicar estas técnicas para procesos Markov y no Markov. La expansión del camino (o aproximación semiclásica) es discutida y adaptada al contexto estocástico. Además, se discuten algunos ejemplos de transformaciones no lineales y algunas aplicaciones, así como ejemplos de aplicaciones bastante inusuales. Se incluye una extensa bibliografía. El libro es lo suficientemente detallado para captar el interés del lector curioso y lo suficientemente completo como para proporcionar una base sólida para explorar la literatura de investigación y comenzar a explotar el material aprendido en situaciones reales.
6. Métodos de integración de rutas y sus aplicaciones : este libro presenta los principales avances en este campo con énfasis en la aplicación de métodos de integración de rutas en diversas áreas. Después de presentar el concepto de integrales de trayectoria, se analizan temas relacionados como la caminata aleatoria, el movimiento browniano y las integrales de Wiener. Se han presentado varias técnicas de integración de rutas, incluidas transformaciones de tiempo global y local, métodos numéricos y esquemas de aproximación. El libro busca brindar una perspectiva adecuada de algunos de los resultados exactos más recientes y esquemas de aproximación para aplicaciones prácticas.
7. Teoría matemática de las integrales de trayectoria de Feynman : (De la contraportada) Las integrales de trayectoria de Feynman, sugeridas heurísticamente por Feynman en los años 40, se han convertido en la base de gran parte de la física contemporánea, desde la mecánica cuántica no relativista hasta los campos cuánticos, incluidos los campos de calibre, la gravitación , cosmología. Recientemente, las ideas basadas en las integrales de trayectoria de Feynman también han desempeñado un papel importante en áreas de las matemáticas como la topología de baja dimensión y la geometría diferencial, la geometría algebraica, el análisis y la geometría de dimensión infinita y la teoría de números.

La formulación de la integral de trayectoria de Feynman está estrechamente relacionada con el principio de acción de la mecánica clásica, que se basa en gran medida en el cálculo de variaciones. Básicamente, debe aprender a minimizar un archivo funcional . Los requisitos previos son prácticamente solo cálculo (multivariable, con suerte), así como algunas mecánicas clásicas para comprender la motivación detrás del principio de acción.