El valor esperado de la entropía de entrelazamiento del sistema compuesto en un estado puro aleatorio

Estoy tratando de calcular el valor esperado de la entropía de entrelazamiento de un sistema compuesto en un estado puro aleatorio, pero tengo algunos problemas.

El sistema que estamos considerando se compone de dos subsistemas$\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$con dimensiones$N_A$y$_B$. Digamos que el sistema A es el más pequeño de los dos:$N_A \leq N_B$. Estamos considerando estados puros aleatorios$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$estos se generan de la siguiente manera:

para base$\{e_i\}$de$\mathcal{H}_A$y base$\{f_j\}$de$\mathcal{H}_B$vamos a escribir

$$|\psi\rangle = > \sum_{i=1}^{N_A}\sum_{j=1}^{N_a} \Psi_{ij} |e_i\rangle \otimes > |f_j\rangle.$$ $\Psi_{ij}$se puede ver como las coordenadas de un punto en la esfera unitaria $S^{N_AN_B-1}$en $\mathbb{C}^{N_ANB}$. Así que para cada $\psi$hay un punto correspondiente en la esfera unitaria. Es este punto el que se elige uniformemente al azar.

Equivalentemente podemos construir los estados aleatorios como$U|\psi_\rangle$donde U es una matriz unitaria aleatoria elegida con la medida de Haar.

La matriz de densidad reducida de A es$\rho_A = \text{Tr}_B |\psi\rangle\langle\psi|$con la entropía de entrelazamiento correspondiente$S_A (\psi) = -\text{Tr} \rho_A \log \rho_A$.

Quiero calcular el valor esperado de$S_A$, dada por

Probé dos cosas diferentes:

Usando la descomposición de Schmidt

cada estado$\psi$puede descomponerse Schmidt: existen familias ortonormales$\{e_1, e_2, ..., e_{N_A}\}\in \mathcal{H}_A$y$\{f_1, f_2, ..., f_{N_A}\} \in \mathcal{H}_B$y numeros reales$c_1, c_2, ..., c_{N_A} \geq 0$con$\sum_i c_i^2 = 1$tal que

Pensé que podría generar un estado aleatorio tomando una descomposición de Schmidt aleatoria, con lo que quiero decir, tomar todos$c_i$uniformemente con$\sum_i c_i^2 = 1$, tome una base ortonormal aleatoria de$\mathcal{H}_A$(utilizando una matriz unitaria aleatoria con la medida de Haar para generar una a partir de una base fija) y una familia ortogonal aleatoria en$\mathcal{H}_B$(nuevamente usando una matriz unitaria aleatoria U con la medida de Haar para generar una, pero dado que solo nos importaría el$N_A$primeras columnas, supongo que debería adaptar la medida de alguna manera para compensar esto).

Sin embargo, me temo que esto no es correcto: no dependo de la elección de familias ortonormales, por lo que al calcular el valor esperado, las integrales sobre las matrices unitarias serían triviales. Entonces, mi primera pregunta es: ¿mis "estados aleatorios descompuestos de Schmidt" coinciden con estados aleatorios (normales)? Y si no, ¿por qué?

Usando una medida uniforme en la esfera unitaria

Mi segundo intento (que aún no completé) fue simplemente usar la medida uniforme en la esfera unitaria como se describe arriba.

Usando esto podría dar una densidad de probabilidad de$\rho_A = \Psi\Psi^\dagger$y entonces podría escribir$\rho_A = U\Lambda U^\dagger$con U alguna matriz unitaria y$\Lambda = \text{diag}(p_1, p_2, ..., p_{N_A})$. Entonces podría dar una densidad de probabilidad para$\Lambda$como

Una vez que encuentre esto, podría conmutar el valor esperado como

Mi segunda pregunta es ¿Es esta una forma correcta de hacerlo? Alguien me puede ayudar con la parametrización de$\Psi$en términos de ángulos en la esfera unitaria, o con otro método para obtener$P(p_1,...,p_{N_A})$y tal vez algunas de las integrales posteriores?

Encontré algo en este artículo , pero la mayoría de los pasos son un poco vagos para mí.

¿Debería publicarse este tipo de pregunta en el intercambio de pila de matemáticas? Lo volví a publicar allí porque en realidad es una pregunta técnica sobre matemáticas y no hay tanta física involucrada. ¿Debería quitarlo aquí?