¿El trabajo realizado por la gravedad es igual a cero en la relatividad general?

Question

¿El trabajo realizado por la gravedad es igual a cero en la relatividad general?

Éter de Thor

He oído decir que, según las ecuaciones de Einstein, la gravedad no es en realidad una fuerza, sino un efecto de la curvatura del espacio-tiempo. En otras palabras, un cuerpo en un campo gravitatorio sigue su geodésica sin necesidad de que una fuerza lo arrastre.

Dado que el trabajo realizado sobre un cuerpo es igual a cero cuando el desplazamiento o la fuerza neta sobre el cuerpo es cero, esta visión de la gravedad sin fuerza implica que el trabajo realizado por la gravedad también es (técnicamente) cero.

No veo ninguna razón práctica para tratar el trabajo gravitacional de esta manera, pero tengo curiosidad por definirlo.

usuario1379857

"Fuerza" y "Trabajo" son realmente solo conceptos que tienen significado en la física newtoniana.

Respuestas (2)

¿El trabajo realizado por la gravedad es igual a cero en la relatividad general?

"Fuerza" y "Trabajo" son realmente solo conceptos que tienen significado en la física newtoniana.

Valle · Answer 1

Valle

la gravedad no es en realidad una fuerza ... Tengo curiosidad por la definición.

Ok, entonces "no es en realidad una fuerza" es más un resumen pop-sci que algo definitoriamente correcto en la Relatividad General.

En la mecánica newtoniana, la fuerza gravitacional está mediada por el campo gravitacional que da la aceleración gravitacional en cada evento.

En relatividad general, la cantidad matemática que da la aceleración gravitatoria en cada evento son los símbolos de Christoffel. Esta es la misma cantidad que produce fuerzas de inercia (también conocidas como fuerzas ficticias) como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis.

Esto tiene sentido porque la gravedad, como todas las fuerzas de inercia, no puede ser detectada por un acelerómetro, siempre es proporcional a la masa y puede aparecer o desaparecer a través de un cambio de coordenadas. Sin embargo, la gravedad es algo diferente porque cuando el espacio-tiempo es curvo no existe un sistema de coordenadas que pueda hacer que la gravedad desaparezca por todas partes.

Debido a que la fuerza de la gravedad es como una fuerza de inercia, algunas personas la describirán como si no fuera una fuerza en absoluto. Estas personas suelen descartar todas las fuerzas de inercia como si no fueran fuerzas y, en particular, la fuerza centrífuga a menudo se describe como no una fuerza. Sin embargo, en las coordenadas donde existe una fuerza de inercia, ésta realiza trabajo, produce aceleración y (dependiendo de los detalles) puede tener una energía potencial asociada. Entonces, en las coordenadas donde existe la fuerza de gravedad, funciona como cualquier fuerza de inercia.

jawheele

Estoy totalmente en desacuerdo con su evaluación de que la distinción es un resumen pop-sci en lugar de una definición verdadera en GR. En el modelo, no hay un sentido invariable en el que se acelere la trayectoria de una masa de prueba bajo la influencia únicamente de la gravedad. Estas trayectorias se definen explícitamente en GR como curvas sin aceleración, utilizando la única noción invariable de aceleración disponible. Son lo más parecido a una línea recta que se puede lograr en un colector curvo.

Valle

@jawheele, si bien es libre de estar en desacuerdo, mantengo mi declaración. La matemática real tiene más matices de lo que puede transmitir la simple afirmación "la gravedad no es en realidad una fuerza". Así que me siento cómodo llamando a esa declaración sin matices un resumen pop-sci. No verá tal declaración en un libro de texto GR estándar sin varios párrafos o páginas de apoyo para transmitir los matices. Traté de proporcionar una muestra de eso aquí.

jawheele

Si bien estoy de acuerdo en que los tecnicismos envueltos en la declaración no se comunican bien a un laico de forma aislada, creo que contiene los matices tan bien como cualquier oración puede hacerlo. Me refiero a esto en el sentido de que incluso una vez que uno haya explicado completamente la intención y el contenido matemático, reiteraría precisamente la misma oración para encapsular la conclusión, sin necesidad de la nueva jerga para aclarar o hacer que sea técnicamente precisa. En mi opinión (como teórico de GR), esa declaración por sí sola contiene casi todo el contenido fundamental de GR, ya que difiere de RS.

md2perpe

@jawheele. En la mecánica lagrangiana, la ecuación de movimiento dice

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} .

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i}.$ El lado derecho es la definición lagrangiana de una fuerza (generalizada), y eso puede desaparecer en una elección de coordenadas y no en otra.

jawheele

@ md2perpe Y en relatividad (claramente el contexto apropiado), la noción natural de fuerza, la derivada covariante del impulso con respecto al tiempo propio, es un vector de cuatro que se transforma entre sistemas de coordenadas como cualquier otro vector tangente, y desaparecerá en todo sistemas de coordenadas si desaparece en uno.

md2perpe

@jawheele. ¿Cómo defines el impulso?

jawheele

@ md2perpe El vector tangente de 4 momentos del objeto. Es decir, su cuadrivector tangente a la velocidad multiplicado por la masa. Se puede derivar la ecuación geodésica a partir de un principio de acción, en el que este concuerda (quizás hasta una dualización) con el "momento generalizado". La diferencia entre la noción relativista de fuerza y la "fuerza generalizada" de la descripción de la acción es una derivada covariante versus tiempo coordinado. Entonces, se puede decir que uno está intrínsecamente asociado a la variedad, mientras que el otro no. La ecuación geodésica es la afirmación de que la derivada temporal covariante del impulso es cero.

Shashank

No diría que los símbolos de Christoffel dan lugar a fuerzas de inercia o deberían interpretarse como su causa. Cíñete al espacio-tiempo plano de Minkowski. Elige un marco inercial. Ahora solo cambie las coordenadas (no linealmente) a coordenadas polares. Estás atrapado en el mismo marco inercial simplemente cambiando de coordenadas cartesianas a polares que no van en un marco giratorio. No habrá fuerzas ficticias, pero los símbolos de Christoffel no desaparecerán... Avísame si no estás de acuerdo...

Valle

@Shashaank No estoy de acuerdo. El Lagrangiano de una partícula libre en coordenadas polares no giratorias es

L = (m / 2) ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2})

$L=(m/2)(\dot r^2+r^2\dot \theta^2)$ lo que conduce a la fuerza generalizada

m r {\dot{θ}}^{2}

$m r \dot \theta^2$ . Esta fuerza es una fuerza generalizada pero no es una fuerza real, por lo que creo que es completamente legítimo llamarla una fuerza ficticia. Tiene todas las características habituales de cualquier otra fuerza de inercia. De todos modos, no dije que todos los símbolos de Christoffel sean fuerzas de inercia. Dije que son lo que "produce fuerzas de inercia", lo cual es exacto incluso si no está de acuerdo con etiquetar un símbolo específico como una fuerza de inercia.

Shashank

@Dale Creo que la expresión correcta para la fuerza generalizada será $mr^2\dot{\dot{\theta}+2mr\dot{r}\dot{\theta}$ que es solo el par y el par no es un fuerza ficticia. De todos modos, a partir de la ecuación de Lagrangian o de Newton, obtienes el componente theta de la fuerza, que es totalmente real. No hay ninguna fuerza ficticia allí. El lagrangiano escrito anteriormente está escrito por suposición en un marco inercial. Si necesita obtener fuerzas ficticias en el Lagrangiano, el RHS de Euler Lagrange eqn no será 0 y, en ese caso, tendría una fuerza ficticia generalizada pero su marco no es inercial.

Valle

@shashaank

\partial L / \partial r = m r {\dot{θ}}^{2}

$\partial L/\partial r = m r \dot \theta^2$ . Además, esta es una partícula libre, por lo que si encuentra un par, entonces eso es realmente ficticio. En cualquier caso, incluso si no está de acuerdo con etiquetar un término específico como fuerza de inercia, el hecho es que todo lo que etiqueta como fuerza de inercia proviene de un símbolo de Christoffel. Eso es todo lo que dije en mi respuesta.

jawheele

@Dale Estoy de acuerdo con usted en que una fuerza ficticia está realmente presente, pero ¿en qué sentido "funciona", como ha afirmado? La fuerza es radial e igual a

m \ddot{r}

$m \ddot r$ , por lo que parece que lo mejor que se puede decir, incluso en la más simple de las transformaciones, es

\vec{F} \cdot \vec{v} = m \dot{r} \ddot{r} = \frac{d}{d t} (m {\dot{r}}^{2} / 2)

$\vec F \cdot \vec v = m \dot r \ddot r = \frac{d}{dt} (m \dot{r}^2/2)$ , por lo que esta cantidad similar al "trabajo" no describe en absoluto el cambio en la energía cinética total. Toda la razón por la que definimos el trabajo es su relación con la energía. ¿Su punto es solo que las cantidades que parecen trabajo serán distintas de cero, independientemente de si se conserva su significado físico?

Valle

@jawheele para una partícula libre en coordenadas polares

L = T = (m / 2) ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2})

$L=T= (m/2)(\dot r^2+r^2 \dot \theta^2)$ entonces la fuerza generalizada es

F = \partial L / \partial r = m r {\dot{θ}}^{2}

$F=\partial L/\partial r = mr \dot \theta^2$ . Esta fuerza conduce a un poder.

F \dot{r} = m r \dot{r} {\dot{θ}}^{2}

$F \dot r = m r \dot r \dot \theta^2$ . Este es exactamente el primer término en

d T / d t = m r \dot{r} {\dot{θ}}^{2} + m \dot{r} \ddot{r} + m r^{2} \dot{θ} \ddot{θ}

$dT/dt = m r \dot r \dot \theta^2+m \dot r \ddot r + m r^2 \dot \theta \ddot \theta$ así que, de hecho, hace un trabajo que está directamente relacionado con el cambio en KE.

jawheele

@Dale Correcto, es exactamente el primer término, que generalmente es distinto de cero. Para una partícula libre, el cambio en la energía cinética es cero,

\frac{d T}{d t} = 0

$\frac{dT}{dt} = 0$ . Los otros términos anulan exactamente esto. Su "trabajo", el primer término, no indica que la energía cinética sea constante.

Valle

@jawheele también es completamente válido llamar

m r \dot{r} {\dot{θ}}^{2}

$m r \dot r \dot \theta^2$ una energía potencial (dependiente de la velocidad) en el marco no inercial y llamar a los términos restantes energía cinética en el marco no inercial. Cuando hablamos del trabajo realizado por la gravedad en física de primer año, eso es exactamente lo que se hace.

jawheele

@Dale Las unidades de tu expresión no son energía. La ecuación de movimiento indica que

F = m \ddot{r}

$F = m \ddot r$ y por lo tanto que el "poder" es

F \dot{r} = \frac{d}{d t} (m {\dot{r}}^{2} / 2)

$F \dot r = \frac{d}{dt} (m\dot r^2/2)$ , por lo que probablemente desee que su "potencial" sea

m {\dot{r}}^{2} / 2

$m\dot r^2/2$ . De cualquier manera, sin embargo, eso no es en absoluto lo que se hace en el caso de la gravedad. La energía cinética discutida en los límites newtonianos o SR es exactamente la medida por la familia de observadores codificados en las coordenadas. Uno no extrae parte de la expresión de energía cinética y la llama potencial por decreto para que las cosas funcionen.

jawheele

@Dale Si no está claro, la energía cinética medida por la familia de observadores de coordenadas es el componente de tiempo del vector de cuatro impulsos del objeto según las coordenadas, menos

m c^{2}

$mc^2$ . No hay libertad allí en lo que se llama energía cinética: la impone la métrica. Y en nuestras coordenadas polares, esta cantidad es

T = (m / 2) ({\dot{r}}^{2} + (r \dot{θ})^{2})

$T = (m/2)(\dot r^2 + (r \dot \theta)^2)$ (en nuestro límite newtoniano de bajas velocidades).

Valle

@jawheele ups, tienes razón, eso es un poder, no una energía. De todos modos, las coordenadas polares no vienen al caso. Le diré lo que le dije a Shashaank: incluso si no está de acuerdo con etiquetar un término específico como fuerza de inercia, el hecho es que todo lo que etiqueta como fuerza de inercia proviene de un símbolo de Christoffel. Eso es todo lo que dije en mi respuesta, y eso es correcto. Esas fuerzas de inercia pueden hacer trabajo y pueden asociarse con un potencial. De todos modos, como recibimos la advertencia de "mover al chat", he terminado de discutir. Eres libre de rechazar la respuesta, me siento cómodo con eso.

jawheele

@Dale No tengo ningún problema con lo que llamaste fuerzas de inercia: solo discrepé con la afirmación general de que funcionan en un sentido significativo, que era el punto de la pregunta de OP. Definitivamente, hay casos específicos en los que estas nociones funcionan bien (específicamente los límites SR/Newtonianos), por lo que no siento la necesidad de votar negativamente, pero esto tampoco es cierto en general en GR en general, por lo que sentí que valía la pena aclararlo. . Gracias por la discusión.

jawheele · Answer 2

Cuando se habla de cosas en relatividad general, uno generalmente se esfuerza por describir los fenómenos físicos de una manera independiente de las elecciones de coordenadas arbitrarias, de modo que uno pueda estar seguro de que está extrayendo información física real sobre el modelo en lugar de artefactos de coordenadas. Las fuerzas sobre masas puntuales se pueden describir en un entorno relativista de acuerdo con esta filosofía a través del concepto de cuatro fuerzas , la derivada covariante a lo largo de la masa. $m$ la trayectoria de su impulso de cuatro $P^\mu = m U^\mu$ , dónde $U^\mu$ es su velocidad de cuatro:

F^{m} = {tu}^{v} \nabla_{v} {PAG}^{m} .

$f^\mu = U^\nu \nabla_\nu P^\mu.$

Las descripciones covariantes del electromagnetismo clásico describen la fuerza de Lorentz sobre una partícula cargada como una fuerza de cuatro, por ejemplo:

F_{Lorentz}^{m} = q F^{m v} {tu}_{v},

$f^\mu_\text{Lorentz} = q F^{\mu \nu}U_\nu,$

dónde $F^{\mu \nu}$ es el tensor electromagnético y $q$ la carga de la partícula. La magnitud de la fuerza cuatripartita neta es física en el sentido de que es la fuerza que la partícula "siente" en su marco de reposo, es decir, su masa en reposo multiplicada por su aceleración de acuerdo con un observador inercial que se mueve momentáneamente.

En relatividad general, se postula que las masas de prueba bajo la influencia de la gravedad siguen las geodésicas, para las cuales la ecuación de movimiento es

{tu}^{v} \nabla_{v} {tu}^{m} = 0.

$U^\nu \nabla_\nu U^\mu = 0.$

Hasta un factor de la masa constante, esta es la afirmación de que la derivada covariante del impulso cuatripartito de la partícula es cero a lo largo de su trayectoria, es decir, que la fuerza cuatripartita neta es cero. Esto es lo que se quiere decir cuando la gente dice que "la gravedad no es en realidad una fuerza": la acción de la gravedad por sí sola es la de cero cuatro fuerzas. Aunque se puede decir que las partículas de prueba que siguen este movimiento tienen aceleraciones de coordenadas variables en diferentes sistemas de coordenadas, no están acelerando en el único sentido invariable de aceleración disponible. Están siguiendo los caminos más rectos posibles a través de la variedad curva del espacio-tiempo.

Entonces, ¿qué pasa con el trabajo? ¿Podemos lograr un análogo invariante relativistamente natural similar? Bueno, en cierto sentido, aunque el concepto no parece ser discutido o utilizado mucho. Relajemos la suposición de que nuestra partícula tiene masa constante y recordemos que la velocidad de cuatro es el vector tangente a la trayectoria cuando se parametriza por el tiempo adecuado $\tau$ , de modo que $U^\mu U_\mu = -1$ (me gusta la firma $(- \, + \, + \, +)$ y unidades con $c = 1$ ), y tenemos

- 2 metro \frac{d metro}{d τ} = \frac{d}{d τ} (- {metro}^{2}) = \frac{d}{d τ} ({PAG}^{m} {PAG}_{m}) = {tu}^{v} \nabla_{v} ({PAG}^{m} {PAG}_{m}) = 2 {PAG}^{m} {tu}^{v} \nabla_{v} {PAG}_{m} = 2 {PAG}^{m} F_{m}

$-2m \frac{dm}{d \tau} =\frac{d}{d \tau}( -m^2) = \frac{d}{d \tau} (P^\mu P_\mu) = U^\nu \nabla_\nu (P^\mu P_\mu) = 2 P^\mu U^\nu \nabla_\nu P_\mu = 2 P^\mu f_\mu$

Esto entonces dice,

\frac{d metro}{d τ} = - {tu}^{m} F_{m} .

$\frac{dm}{ d \tau} = -U^\mu f_\mu.$

El lado izquierdo es la tasa de cambio de la masa en reposo de la partícula con el tiempo adecuado, mientras que el lado derecho es lo que se obtendría al tomar la expresión newtoniana para el trabajo realizado por unidad de tiempo (o potencia), $P = \vec F \cdot \vec v$ , y sustituyendo mínimamente en los análogos relativistas invariantes (el signo es un artefacto de la firma; si los vectores son paralelos, la cantidad es positiva). Esto dice algo así como "el trabajo relativista realizado por la fuerza neta de cuatro es el cambio en la masa en reposo". Esto podría ser lo que usted adivinaría, considerando que la masa en reposo es la única medida de energía invariante coordinada disponible (la energía cinética está descartada, por supuesto), y se supone que el trabajo describe un cambio en la energía.

En este sentido, la gravedad, por supuesto, no realiza trabajo, ya que no contribuye con cuatro fuerzas. La cuatro fuerza de Lorentz enumerada anteriormente tampoco realiza tal trabajo, ya que el tensor $F^{\mu \nu}$ es antisimétrica y por lo tanto $F^{\mu \nu} U_\mu U_\nu = 0$ . Esto quiere decir, por ejemplo, que los electrones no ganan masa en reposo cuando se aceleran bajo el campo electromagnético.

Esa es la discusión invariable. Las cosas se ponen mucho más complicadas cuando se intenta utilizar nociones dependientes de coordenadas en GR. Se puede intentar tener esta discusión de una manera dependiente de las coordenadas considerando la aceleración de las coordenadas asociada al movimiento geodésico, lo que se podría llamar la aceleración debida a la gravedad. En coordenadas inerciales locales (es decir, un sistema de coordenadas "casi" especial relativista / Minkowski en una pequeña región), al menos, se puede recuperar aproximadamente el sentido cinemático habitual en el que esta aceleración de coordenadas sí funciona de acuerdo con el teorema trabajo-energía.

Sin embargo, en un sistema de coordenadas general, no hay realmente un sentido significativo en el que este sea el caso. Hay dificultad para definir lo que deberían significar los términos, por lo que depende de lo que quieras significar. Cuando las coordenadas están lo suficientemente bien estructuradas como para que uno pueda considerar significativamente una noción de energía cinética coordinada, generalmente cambiará bajo el movimiento geodésico (por lo que la gravedad "funciona" en el sentido de que impacta la energía cinética coordinada), pero no es muy agradable. relacionado con cualquiera de los candidatos naturales para lo que uno podría entender por la fuerza coordinada que realiza un trabajo como se describe a través del poder: $\frac{d}{dt}(P^i)v^i$ , $\frac{d}{d \tau}(P^i)v^i$ , $\frac{d}{dt}(P^i)v^j g_{ij}$ , $\frac{d}{dt}(g_{ij} P^i)v^j$ , $m\frac{d}{dt}(v^i)v^i$ , $m\frac{d}{dt}(v^i)v^j g_{ij}$ , etc. (aquí $\vec v$ es la velocidad coordenada y $P^\mu$ el cuatro impulso). En general, por supuesto, ni siquiera tiene que haber un buen desglose en $3$ coordenadas espaciales y una coordenada temporal, por lo que ninguna de las expresiones anteriores tiene sentido. Lo mejor que se puede hacer con estas expresiones es decir que, en las coordenadas donde tienen sentido, estas cantidades coordinadas que parecen trabajo son distintas de cero pero no tienen una relación constante con la energía real.

¿Cuál es la conclusión de todo eso? Es que, sí, si se traduce completamente al lenguaje relativista invariante de coordenadas en el que la gravedad no es una fuerza, la gravedad de hecho no funciona. Sin embargo, el trabajo generalmente no se discute en absoluto en GR, por lo que es una especie de desajuste conceptual. La noción de coordenadas invariantes quizás no sea la más útil, y las nociones dependientes de coordenadas no tienen sentido o son, en el mejor de los casos, estrictamente cualitativas en su analogía con la situación newtoniana. Sólo en los límites relativistas especiales se puede estar seguro de que se recuperan las relaciones como el teorema trabajo-energía, de modo que el trabajo cuantitativo del tipo que haría la gravedad como fuerza coordinada es realmente un concepto relativista especial.

¿El trabajo realizado por la gravedad es igual a cero en la relatividad general?

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