¿El electromagnetismo clásico realmente predice la inestabilidad de los átomos?

Question

¿El electromagnetismo clásico realmente predice la inestabilidad de los átomos?

Tob Ernack

Intentaré dar un resumen conciso de lo que escribí a continuación. Entiendo que es muy largo y pido disculpas si estoy perdiendo el tiempo.

Usé el potencial de Liénard-Wiechert y la fórmula de fuerza de Lorentz para derivar ecuaciones de movimiento para partículas cargadas que no involucran el $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ campos. Uso esto en una configuración de problema de dos cuerpos con dos cargas, y quiero ver si las ecuaciones resultantes dan como resultado órbitas en espiral.

Más específicamente, conecto las fórmulas para $\mathbf{E}_2$ y $\mathbf{B}_2$ dado por Liénard-Wiechert en la fórmula de fuerza de Lorentz $\mathbf{F}_{12}(\mathbf{r}_1(t), t) = q_1(\mathbf{E}_2(\mathbf{r}_1(t), t) + \mathbf{\dot{r}}_1(t)\times\mathbf{B}_2(\mathbf{r}_1(t), t))$ y usar la ecuación clásica de movimiento $m_1\mathbf{\ddot{r}}_1(t) = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{r}_1(t), t)$ . Se obtiene una segunda ecuación para la partícula 2 usando las expresiones para $\mathbf{E}_1$ y $\mathbf{B}_1$ en cambio.

Las ecuaciones completas son complicadas, así que tomo un límite a medida que la masa del núcleo tiende al infinito y (asumiendo que mis cálculos son correctos), obtengo una ecuación de movimiento más simple formalmente idéntica a la del movimiento planetario alrededor del sol. Esto predice trayectorias elípticas para la mayoría de las condiciones iniciales.

La preocupación es que el movimiento resultante sea estable, y esto parece contradecir lo que dicen los relatos habituales sobre el electromagnetismo clásico que no logra explicar la estabilidad de la órbita atómica.

Si quieres más detalles, también puedes leer lo que escribí a continuación.

Supongamos por un momento que trabajamos clásicamente y usamos el modelo planetario para el átomo (hidrógeno, para simplificar), como un núcleo con carga positiva con un electrón con carga negativa que lo orbita de manera similar a como los planetas orbitan alrededor del Sol.

La historia habitual es que debido a que el electrón orbita alrededor del núcleo, sufre una aceleración que hará que el electrón irradie ondas electromagnéticas. Se considera que la energía de esta radiación se sustrae con el tiempo de la energía total del electrón a través de la fórmula de Larmor y, por lo tanto, el modelo predice un colapso de la órbita del electrón en un corto período de tiempo porque el radio de la órbita debe disminuir para compensar. por la energía disminuida del electrón.

A riesgo de sonar ridículo para las personas más informadas, me gustaría desafiar esta suposición con las siguientes consideraciones (solo como una forma de aclarar mi propia comprensión del problema). Me parece que este problema surge solo porque consideramos que el campo electromagnético tiene una existencia independiente de las cargas que lo generan y que transporta energía y cantidad de movimiento por sí mismo.

Pero parece posible describir los fundamentos del electromagnetismo (clásico) sin recurrir al concepto de campos electromagnéticos, mediante el uso de una combinación de la ley de fuerza de Lorentz y el potencial de Liénard-Wiechert . En particular, se pueden sustituir las expresiones explícitas por las $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ campos obtenidos de las fórmulas de Liénard-Wiechert en la fórmula de fuerza de Lorentz para derivar la fuerza entre dos partículas cargadas que se mueven en caminos arbitrarios en el espacio. Luego se puede derivar una ecuación clásica de movimiento para las partículas utilizando la mecánica newtoniana o su corrección relativista especial.

Explícitamente, obtenemos este sistema de dos EDO, donde $m_1, m_2, q_1, q_2$ son las masas y las cargas de las dos partículas, $\mathbf{r}_1(t), \mathbf{r}_2(t)$ son los caminos, y otras cantidades se definen en la página de Wikipedia para el potencial de Liénard-Wiechert:

{metro}_{1} {\ddot{r}}_{1} (t) = \frac{m_{0} C^{2} q_{1} q_{2}}{4 π} (1 + [{\dot{r}}_{1} (t) \times [\frac{{norte}_{2} (t_{r})}{C} \times]])

$m_1{\mathbf{\ddot{r}}_1}(t) = {\frac {\mu_0c^2q_1q_2}{4\pi}}\left(1 + \left[\mathbf{\dot{r}}_1(t)\times\left[\frac{\mathbf{n}_2(t_r)}{c}\times\right]\right]\right)$

[\frac{{norte}_{2} (t_{r}) - β_{2} (t_{r})}{γ_{2}^{2} (t_{r}) (1 - {norte}_{2} (t_{r}) \cdot β_{2} (t_{r}))^{3} | r_{1} (t) - r_{2} (t_{r}) |^{2}} + \frac{{norte}_{2} (t_{r}) \times (({norte}_{2} (t_{r}) - β_{2} (t_{r})) \times {\dot{β}}_{2} (t_{r}))}{C (1 - {norte}_{2} (t_{r}) \cdot β_{2} (t_{r}))^{3} | r_{1} (t) - r_{2} (t_{r}) |}]

${\left[\frac{\mathbf {n}_2(t_r) -{\boldsymbol {\beta}_2(t_r)}}{\gamma_2 ^{2}(t_r)(1-\mathbf {n}_2(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_2(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_1(t) -\mathbf {r}_2(t_r)|^{2}}+\frac{\mathbf {n}_2(t_r) \times {\big (}(\mathbf {n}_2(t_r) -{\boldsymbol {\beta }_2(t_r)})\times {{\boldsymbol {\dot{\beta} }_2(t_r)}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n}_2(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_2(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_1(t) -\mathbf {r}_2(t_r)|}\right]}$

{metro}_{2} {\ddot{r}}_{2} (t) = \frac{m_{0} C^{2} q_{1} q_{2}}{4 π} (1 + [{\dot{r}}_{2} (t) \times [\frac{{norte}_{1} (t_{r})}{C} \times]])

$m_2{\mathbf{\ddot{r}}_2}(t) = {\frac {\mu_0c^2q_1q_2}{4\pi}}\left(1 + \left[\mathbf{\dot{r}}_2(t)\times\left[\frac{\mathbf{n}_1(t_r)}{c}\times\right]\right]\right)$

[\frac{{norte}_{1} (t_{r}) - β_{1} (t_{r})}{γ_{1}^{2} (t_{r}) (1 - {norte}_{1} (t_{r}) \cdot β_{1} (t_{r}))^{3} | r_{2} (t) - r_{1} (t_{r}) |^{2}} + \frac{{norte}_{1} (t_{r}) \times (({norte}_{1} (t_{r}) - β_{1} (t_{r})) \times {\dot{β}}_{1} (t_{r}))}{C (1 - {norte}_{1} (t_{r}) \cdot β_{1} (t_{r}))^{3} | r_{2} (t) - r_{1} (t_{r}) |}]

${\left[\frac{\mathbf {n}_1(t_r) -{\boldsymbol {\beta}_1(t_r)}}{\gamma_1 ^{2}(t_r)(1-\mathbf {n}_1(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_1(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_2(t) -\mathbf {r}_1(t_r)|^{2}}+\frac{\mathbf {n}_1(t_r) \times {\big (}(\mathbf {n}_1(t_r) -{\boldsymbol {\beta }_1(t_r)})\times {{\boldsymbol {\dot{\beta} }_1(t_r)}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n}_1(t_r) \cdot {\boldsymbol {\beta }_1(t_r)})^{3}|\mathbf {r}_2(t) -\mathbf {r}_1(t_r)|}\right]}$

dónde $\mathbf {n}_2(t_r) = \frac{\mathbf{r}_1(t)-\mathbf{r}_2(t_r)}{|\mathbf{r}_1(t)-\mathbf{r}_2(t_r)|}$ , $\boldsymbol {\beta}_2(t_r) = \frac{\mathbf{\dot{r}}_2(t_r)}{c}$ y $\gamma_2(t_r) = \frac{1}{\sqrt{1-|\boldsymbol {\beta}_2(t_r)|^2}}$ , y de manera similar para $\mathbf {n}_1(t_r)$ , $\boldsymbol {\beta}_1(t_r)$ y $\gamma_1(t_r)$ . El tiempo retardado se define implícitamente por la ecuación $t_r = t - \frac{1}{c}|\mathbf{r}_1(t)-\mathbf{r}_2(t_r)|$ . Abusé un poco de la notación al "factorizar" los términos de productos cruzados para evitar duplicar cosas, espero que esto sea lo suficientemente claro.

Esto se puede generalizar a un sistema de $N$ partículas cargadas de manera similar. No he realizado los cálculos yo mismo debido a la aparente complejidad de la ecuación de movimiento resultante, pero en principio uno podría verificar si las soluciones corresponden a lo que se predice con el electrón cayendo en espiral hacia el núcleo, o si conduce a algo cercano a órbitas elípticas.

Mi intuición me dice que no observaremos el tipo de descenso en espiral predicho al suponer que la energía se almacena en los campos eléctricos en todo el espacio en esta configuración. En su lugar, consideramos la $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ campos como abstracciones matemáticas útiles para simplificar la expresión anterior en componentes más manejables. La interpretación del vector de Poynting sería como una densidad de flujo de energía que existiría solo si existen otras cargas que serían aceleradas por los campos. En particular, el problema de la estabilidad atómica requeriría la presencia de cargas adicionales cerca del átomo de hidrógeno, lo que obviamente afectaría la órbita del electrón a través de términos de fuerza adicionales como un problema de múltiples cuerpos. En ese escenario, habría una transferencia de energía entre el electrón y otras cargas cercanas. Pero incluso entonces no está claro que el electrón pierda energía automáticamente, porque las partículas cercanas a su vez irradiarán y se acoplarán con el movimiento del electrón.

Podemos simplificar las ecuaciones anteriores asumiendo que la masa de la partícula 2 es muy grande, de modo que permanece estacionaria en algún marco de referencia inercial y ubicada en el origen. Luego, las ecuaciones anteriores se simplifican enormemente y tenemos la siguiente ecuación de movimiento para la partícula 1 (con $\mathbf{r}_2(t) = \mathbf{0}$ ):

{metro}_{1} {\ddot{r}}_{1} (t) = \frac{m_{0} C^{2} q_{1} q_{2}}{4 π} \frac{r_{1} (t)}{| r_{1} (t) |^{3}}

$m_1{\mathbf{\ddot{r}}_1}(t) = {\frac {\mu_0c^2q_1q_2}{4\pi}}\frac{\mathbf {r}_1(t)}{|\mathbf {r}_1(t)|^{3}}$

que es simplemente la ecuación de movimiento de una partícula cargada que se mueve en un potencial electrostático con la fuerza de Coulomb. Este modelo límite es formalmente idéntico al modelo de un planeta que orbita un objeto masivo bajo la gravitación newtoniana, y claramente tenemos órbitas elípticas. Por lo tanto, sería incorrecto afirmar que el electromagnetismo clásico predice inestabilidades del átomo (al menos en este caso límite con núcleo muy masivo) si no consideramos la energía supuestamente almacenada en los campos EM. También soluciona el problema de la energía propia de una partícula cargada (la integración de la "densidad de energía del campo eléctrico" en todos los espacios da un resultado infinito, lo que sería simplemente un cálculo sin sentido ya que no hay energía real almacenada en tal campo) .

Espero que lo que dije anteriormente haya sido lo suficientemente claro, y me gustaría saber si las soluciones de las ecuaciones de movimiento que he descrito se han calculado (o se han aproximado un poco) para predecir las órbitas clásicas de un electrón alrededor del núcleo.

Tenga en cuenta también que no estoy cuestionando la validez de la mecánica cuántica y teorías más detalladas de la materia. Simplemente me pregunto si el problema específico de la inestabilidad atómica supuestamente predicha por el electromagnetismo clásico surge solo debido a la supuesta existencia de campos electromagnéticos que transportan energía, o si una formulación del electromagnetismo sin campo usando las ecuaciones de movimiento anteriores también está sujeta a este problema. . Estoy seguro de que hay otros problemas que este modelo no puede resolver, como la existencia de espectros de emisión y absorción atómicos discretos. Pero la observación importante que quería hacer es que a partir de las ecuaciones clásicas de Maxwell y la fuerza de Lorentz, podemos derivar el potencial de Liénard-Wiechert, y luego derivar las ecuaciones de movimiento explícitas anteriores, y finalmente olvidarnos de la existencia de la $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ campos. Esto conduce a un modelo clásico de un átomo de dos cuerpos con órbitas estables.

StephenG - Ayuda Ucrania

Esto no parece ser una pregunta.

Tob Ernack

La pregunta es si este modelo clásico predice la inestabilidad del átomo y si es realmente una consecuencia del electromagnetismo clásico.

david z

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat , después de las dos primeras que fueron relevantes para mejorar la pregunta.

david z

@Tob Creo que hay una buena pregunta aquí en alguna parte, pero es una publicación muy larga. ¿Alguna forma de omitir algunos de los detalles para mantenerlo un poco más corto? O si es realmente necesario tener muchos detalles, al menos tenga un resumen más breve de la pregunta al principio, que las personas puedan leer para tener una idea clara de lo que está preguntando, luego puede completar más detalles. después.

Tob Ernack

Me disculpo si estaba siendo demasiado detallado. Prefiero escribir todos mis pensamientos para aclarar tantos malentendidos como pueda. Tenía miedo de que ser demasiado conciso llevaría a las personas a hacer suposiciones incorrectas sobre mi problema.

Tob Ernack

@DavidZ He agregado un resumen al comienzo de la pregunta. ¿Es esto mejor?

david z

Eso definitivamente ayuda. ¡Gracias! Está bien ahora, pero creo que podría ayudar aún más tener un poco más de detalle en el resumen, tal vez una o dos ecuaciones relevantes. Debería ser seguro hacer su resumen un 50% más largo de lo que es ahora, pero probablemente no mucho más que eso.

Tob Ernack

Agregué un poco más de detalle (expliqué cómo obtengo las ecuaciones de movimiento de Lorentz y Liénard-Wiechert).

jacob1729

Me sorprendería si las ecuaciones realmente se simplificaran hasta llegar a lo que dices que hacen simplemente en el límite.

m_{2} >> m_{1}

$m_2 >> m_1$ . ¿Adónde va el enorme término entre corchetes, por ejemplo? ¿Cómo desaparece el tiempo retardado de las ecuaciones?

Tob Ernack

@ jacob1729 Expliqué un poco más cómo justifiqué el límite en algunos comentarios que se movieron al chat (ver el tercer comentario arriba).

Respuestas (5)

¿El electromagnetismo clásico realmente predice la inestabilidad de los átomos?

La pregunta es si este modelo clásico predice la inestabilidad del átomo y si es realmente una consecuencia del electromagnetismo clásico.
Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat , después de las dos primeras que fueron relevantes para mejorar la pregunta.
@Tob Creo que hay una buena pregunta aquí en alguna parte, pero es una publicación muy larga. ¿Alguna forma de omitir algunos de los detalles para mantenerlo un poco más corto? O si es realmente necesario tener muchos detalles, al menos tenga un resumen más breve de la pregunta al principio, que las personas puedan leer para tener una idea clara de lo que está preguntando, luego puede completar más detalles. después.
Me disculpo si estaba siendo demasiado detallado. Prefiero escribir todos mis pensamientos para aclarar tantos malentendidos como pueda. Tenía miedo de que ser demasiado conciso llevaría a las personas a hacer suposiciones incorrectas sobre mi problema.
@DavidZ He agregado un resumen al comienzo de la pregunta. ¿Es esto mejor?
Eso definitivamente ayuda. ¡Gracias! Está bien ahora, pero creo que podría ayudar aún más tener un poco más de detalle en el resumen, tal vez una o dos ecuaciones relevantes. Debería ser seguro hacer su resumen un 50% más largo de lo que es ahora, pero probablemente no mucho más que eso.
Agregué un poco más de detalle (expliqué cómo obtengo las ecuaciones de movimiento de Lorentz y Liénard-Wiechert).
Me sorprendería si las ecuaciones realmente se simplificaran hasta llegar a lo que dices que hacen simplemente en el límite. $m_2 >> m_1$ . ¿Adónde va el enorme término entre corchetes, por ejemplo? ¿Cómo desaparece el tiempo retardado de las ecuaciones?
@ jacob1729 Expliqué un poco más cómo justifiqué el límite en algunos comentarios que se movieron al chat (ver el tercer comentario arriba).

Vacío · Answer 1

El problema conceptual esencial en su tratamiento es el hecho de que asume que la radiación debería emerger de alguna manera únicamente de la partícula. $A$ actuando sobre la partícula $B$ . Esto no es cierto, la radiación (y la radiación-reacción) proviene de la partícula $B$ ¡actuando sobre sí mismo! Para entender esto, debes considerar $A$ y $B$ ser cuerpos finitos primero. Entonces la radiación emerge esquemáticamente como:

todas las cargas en el cuerpo $B$ "enviando" su propio potencial electromagnético en sus conos nulos $|\vec{r}-\vec{r}_B|-ct = 0$ ,
cuerpo $A$ cargas aceleradas dentro del cuerpo $B$ ,
y finalmente, las cargas aceleradas dentro $B$ interactuando con parte del potencial electromagnético desde dentro $B$ (punto 1.)!

(Puedes intercambiar $B$ y $A$ para obtener la radiación de la partícula $A$ también.)

Cuando el polvo se asiente, puede tomar un límite de los tamaños de los cuerpos que van a cero y obtiene la famosa fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac actuando sobre cualquiera $A$ o $B$ :

F_{m}^{A L D} = \frac{m_{o} q^{2}}{6 π metro C} [\frac{d^{2} {pag}_{m}}{d τ^{2}} - \frac{{pag}_{m}}{{metro}^{2} C^{2}} (\frac{d {pag}_{v}}{d τ} \frac{d {pag}^{v}}{d τ})]

$F^{\mathrm{ALD}}_\mu = \frac{\mu_o q^2}{6 \pi m c} \left[\frac{d^2 p_\mu}{d \tau^2}-\frac{p_\mu}{m^2 c^2} \left(\frac{d p_\nu}{d \tau}\frac{d p^\nu}{d \tau}\right) \right]$

Sin embargo, la derivación de este resultado es notoriamente desafiante tanto conceptual como técnicamente. La razón de esto es que cuando tratas el cuerpo $B$ como una partícula infinitamente pequeña, no debería poder interactuar con datos en su propio cono de luz porque eso significaría que se está moviendo más allá de la velocidad de la luz. Por otro lado, la partícula está en su propio cono de luz en $t=0$ y $\vec{r} = \vec{r}_B$ , ¡y el potencial y la fuerza de Lorentz divergen en esa posición exacta!

La única forma de resolver esto de manera rigurosa es asumir, como ya se mencionó anteriormente, que los cuerpos en cuestión son de extensión espacial finita y densidades de carga finitas. Luego, tomas el límite del tamaño yendo a cero. Esto fue cuidadosamente rehecho en 2009 por Gralla, Harte & Wald y recomiendo ese documento para obtener más información. (La razón por la que este tema ha recibido un mayor interés recientemente es el hecho de que las espirales de ondas gravitacionales de pequeños objetos astrofísicos de masa estelar en agujeros negros supermasivos pueden tratarse exactamente como una "partícula autoforzada", consulte Barack & Pound , 2018 .)

Puede derivar la fórmula de Larmor a partir de una aproximación perturbativa particular de la fuerza ALD llamada reducción de orden. Primero tomas el $\mathrm{d}p^\mu/\mathrm{d}\tau$ para la partícula sin reacción de radiación e insertarlo en $F^{\rm ALD}_\mu$ . Entonces, la fórmula de Larmor es solo la velocidad con la que esta fuerza toma energía de la partícula.

EDITAR: una discusión histórica más amplia

Jan Lálinský me recordó que existen formulaciones de la electrodinámica clásica que 1) concuerdan con la mayoría de las predicciones de las ecuaciones de Maxwell en el límite continuo (dado cierto postulado de "universo absorbente"), y 2) donde la "partícula puntual" no es la límite de un cuerpo finito y no siente ninguna fuerza propia. Wheeler & Feynman en 1949 realizó una breve revisión de estas electrodinámicas "Schwarzschild-Tetrode-Fokker (-Frenkel)" (STF) .

Dependiendo de cómo implemente exactamente el "universo absorbente", el conjunto casi neutral de partículas lejos de su sistema, el átomo planetario también suele ser inestable en la electrodinámica STF. Esto se debe a que la energía tiende a ser robada del átomo por el conjunto de partículas lejanas y disipada (aunque posiblemente a un ritmo más lento). Por un lado, este es un buen giro "maquiano" en la electrodinámica, ya que la noción del campo surge de las partículas físicas, y las partículas no irradiarían energía si no hubiera otras partículas a las que pasar la energía . Por otro lado, la electrodinámica STF tiende a tener curiosas propiedades no locales, como que el universo absorbente "sabe" acerca de una acción sobre la partícula un tiempo infinito antes.¡la acción misma ocurre! Esto hace que la teoría sea físicamente insatisfactoria para mí.

Considere el siguiente ejemplo de un púlsar , cuyo pulso detectamos y cuya velocidad de rotación se ralentiza como consecuencia de la pérdida de energía radiativa. En la electrodinámica convencional, hablamos de ondas electromagnéticas que viajan durante eones a través del espacio desde el púlsar como entidades independientes portadoras de energía, mientras que la teoría STF desafía esta imagen. Mientras que en la corriente principal de la electrodinámica la onda le quitó la energía al púlsar y lo hizo disminuir su velocidad de rotación, en la teoría STF el púlsar se ralentiza (o no) gracias al hecho de que "sabe" que los objetos receptores de energía tales como tu antena estará ahí dentro de mil años!!!

En última instancia, tanto las teorías usuales de partículas + campo como STF son incorrectas, y la teoría correcta de la electrodinámica de las partículas de puntos fundamentales es la electrodinámica cuántica (e incluso más en última instancia, el modelo estándar), por lo que esta es más una discusión académica. Sin embargo, encuentro la imagen STF muy poco didáctica en comparación con la comprensión de la electrodinámica clásica como la teoría del campo electromagnético generado por continuos finitos que a veces limitamos hacia partículas puntuales aproximadas.

Esto es muy interesante, por lo que realmente debería considerar la extensión finita de los cuerpos cargados al hacer el análisis, antes de tomar cualquier límite. Supongo que este tipo de cálculo será mucho más complicado, intentaré seguir los documentos que mencionas.
Sé que en el caso gravitacional, uno puede tratar los cuerpos esféricos como partículas puntuales en la región fuera de su radio, por lo que intuitivamente no esperaría que esto diera resultados cualitativamente diferentes, pero supongo que las ecuaciones electromagnéticas podrían tener un comportamiento diferente debido a la velocidad de propagación finita.
@TobErnack: La fuerza propia gravitacional no surge en la teoría newtoniana de la gravedad, solo en la gravedad relativista (relatividad general), donde la velocidad de la luz también es un límite en la velocidad de propagación del campo. Puede derivar la fuerza propia electromagnética también utilizando otras formas menos rigurosas. Uno de ellos es tomar la mitad de los potenciales de Liénard-Wiechert avanzados más la mitad de los retardados generados por $B$ y calcule la fuerza de Lorentz que ejerce el campo sobre $B$ mismo de ellos. Los infinitos se cancelan y obtienes la fuerza ALD.
> "¡Esto no es cierto, la radiación (y la radiación-reacción) proviene de la partícula que actúa sobre sí misma!" Esto es correcto en la medida en que estamos hablando de distribuciones cargadas extendidas. Pero no necesariamente para cargas puntuales: existen teorías consistentes de partículas masivas cargadas puntualmente que están libres de autointeracción, como las formulaciones de Tetrode, Fokker y Frenkel.
@JánLalinský Estoy de acuerdo en que una vez que sus partículas son realmente partículas, está abriendo una caja de Pandora y puede atribuirles muchas ecuaciones de movimiento posibles que incluso pueden integrarse en cosas como los principios de acción. Pero creo que las teorías que mencionas no son ni 1) fundamentalmente correctas, 2) prácticas para cálculos aproximados, ni 3) buenas para enseñar sobre este tema. Así que quiero decir que sí, en principio, pero eso es todo. Agregué una edición a este efecto.
@Void Estoy de acuerdo en que las teorías basadas en la condición absorbente no son un buen candidato para un curso de posgrado en teoría EM, no son muy plausibles. Sin embargo, la condición absorbente fue introducida más tarde por Wheeler y Feynman y no es necesaria para formular la teoría de partículas puntuales. En la versión de la formulación de Frenkel con campos puramente retardados (él mismo consideró la suma del campo mitad avanzado, mitad retardado), la resistencia a la radiación de una antena es una consecuencia de las fuerzas retardadas mutuas de las partículas cargadas que actúan entre sí, una forma muy natural. imagen.
Creo que la resistencia a la radiación podría verse como el hecho de que el Lagrangiano del sistema de partículas cargadas que se mueven en la antena podría ser asimétrico en el tiempo (por la razón que diste), lo que lleva a una violación de la conservación de la energía. Para mantener el movimiento localmente periódico (en la antena), el circuito conectado a la antena debe suministrar energía, lo que da como resultado la resistencia a la radiación observada. Podríamos decir que la energía se conserva entonces localmente dentro de la antena, pero el sistema combinado que incluye el circuito vuelve a perder energía, lo que se interpreta como radiación.

Ján Lalinský · Answer 2

Ján Lalinský

John Lighton Synge tuvo una idea similar y analizó numéricamente las ecuaciones de movimiento de dos partículas con cargas opuestas de masas arbitrarias donde solo están presentes fuerzas EM retardadas.

JL Synge, Sobre el problema electromagnético de dos cuerpos. , proc. Roy. Soc. 177 118–39 (1940)

https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspa.1940.0114

Descubrió que el sistema aún colapsa, pero cuanto mayor es la diferencia de masas, más lentamente lo hace. Para el átomo de hidrógeno, el tiempo de colapso resultó ser cientos de veces más largo que el tiempo obtenido ingenuamente a partir de la fórmula de Larmor.

El colapso se debe a una suposición simple pero quizás demasiado simple: que la fuerza que actúa sobre cualquier partícula es solo una fuerza EM retardada debida a la otra partícula. Entonces, debido a que el movimiento de las partículas está anticorrelacionado (cuando una se mueve hacia la izquierda, la otra se mueve hacia la derecha), el sistema irradia energía electromagnética.

Si introducimos en el modelo radiación EM de fondo que actúa sobre ambas partículas (fuerzas adicionales), el colapso deja de ser inevitable, ya que la energía radiada puede ser suministrada por las fuerzas de radiación de fondo. Hay algunos documentos sobre eso; para obtener más información sobre esto, vea también mi respuesta aquí:

El átomo electrodinámico clásico

Tob Ernack

Esta también es una buena respuesta. También estaba pensando en algunas soluciones numéricas para las ecuaciones que mencioné, así que me alegro de que alguien más haya hecho el trabajo antes. Entonces, ¿supongo que el colapso surgiría del hecho de que la fuerza no es ni central ni conservativa debido a su complicada dependencia del tiempo retardado?

Tob Ernack

Supongo que el hecho de que el colapso se aleje más en el tiempo con el aumento de la masa del núcleo confirma que mis cálculos son correctos y que el caso límite da órbitas estables. Pero debido a que las masas son finitas en realidad, las fuerzas se vuelven mucho más complicadas y el colapso se vuelve inevitable.

Tob Ernack

En retrospectiva, me doy cuenta de que esto debería haber sido obvio tal vez. La conservación de la energía y el impulso surgen normalmente de fuerzas conservativas y centrales. Entonces, cuando se trata de las extrañas fuerzas que surgen de EM, es probable que estas propiedades simplemente no se mantengan. Entonces, para mantener la conservación de la energía y el momento, incluimos estos términos de radiación que "salen del sistema". De hecho, creo que esta respuesta responde más directamente a las preguntas que tenía (para no quitarle nada a la gran respuesta de Void también), por lo que probablemente la aceptaré.

Vacío

Creo que debe quedar claro que el ejemplo de Synge crea energía de la nada, como el propio Synge admite en la introducción del artículo . Puede ver esto calculando el campo de Maxwell generado por las partículas. En el límite de la relación de masa cero, es incluso un móvil perpetuo que suministra a su entorno energía radiativa para la eternidad.

Ján Lalinský

@Void Synge dice en realidad algo diferente. Afirma claramente que la energía no se conserva asumiendo el tensor habitual de tensión-energía [el basado en las fórmulas de Poynting], pero que habría conservación si se utilizara un tensor de energía modificado. Este tensor modificado del que estaba hablando sería esencialmente el mismo que introdujo Frenkel en su artículo de 1925 basado en los términos de fuerza de Lorentz en las ecuaciones de movimiento sin fuerzas propias. Synge probablemente no estaba familiarizado o decidió no mencionar el trabajo de Frenkel al terminar su artículo anterior.

Ján Lalinský

@Void, por cierto, gracias por el enlace al artículo de Synge, lo agregué a la referencia en mi respuesta.

Ján Lalinský

Referencia del trabajo anterior sobre el "tensor de energía modificado": J. Frenkel, Zur Elektrodynamik punktfoermiger Elektronen , Zeits. F. Phys., 32, (1925), pág. 518-534. dx.doi.org/10.1007/BF01331692

Ján Lalinský

@Void, por supuesto, el sistema de partículas puntuales que se atraen a través de la fuerza del cuadrado inverso puede, en principio, liberar una cantidad indefinida de energía, acercándose entre sí arbitrariamente.

Tob Ernack

No considero necesariamente que una violación de la conservación de la energía sea indicativa de una inconsistencia con el modelo. La conservación de la energía puede (dependiendo de cómo se defina la energía) ser vista como un hecho empírico o como una tautología. En el caso de que la energía se defina como una función explícita de la trayectoria de las partículas, el resultado de Synge sería que la energía no se conserva, lo que conduce al problema del colapso. En el punto de vista tautológico, la energía siempre se conserva, por lo que esto implica la existencia de energía que va a otro lugar, lo que elegimos llamar "radiación".

Tob Ernack

También podría estar equivocado, pero a menos que las condiciones iniciales se elijan específicamente para provocar una colisión, la producción de energía no sería infinita. Además, el punto de vista de que el sistema irradia energía para siempre debe tener en cuenta la energía perdida en el propio sistema de partículas, para que las cosas se equilibren. Supongo que el problema es que el hecho empírico de que el átomo no colapsa simplemente muestra que la fuerza de Maxwell + Lorentz + partículas puntuales + fuerzas retardadas no es un modelo preciso del átomo. Pero en principio podría haber sido exacto si los resultados experimentales hubieran sido diferentes.

Tob Ernack

Para el caso límite de la relación de masa cero, Synge cita el trabajo de Sommerfeld donde también concluyó que las trayectorias no son "degeneradas" (lo que supongo que significa que obtuvo órbitas estables). En la definición de energía como una función explícita de las trayectorias de las partículas, supongo que concluiría que la energía se conserva de hecho y que ya no es necesario tener términos de radiación adicionales (para este caso límite particular, que es claramente no físico pero consistente). Obtendría perpetuum mobile si aún elige agregar términos hipotéticos de radiación.

Ján Lalinský

El átomo que no colapsa también ocurre en el modelo de partículas puntuales, si se tiene en cuenta la radiación de fondo. Pero dos partículas solas en el universo, sin otros campos EM que los que crean, colapsarán.

daniel kerr · Answer 3

Este tema me ha interesado durante mucho tiempo y, por lo que puedo encontrar, me parece que la teoría de la interacción directa de partículas electromagnéticas no está lo suficientemente bien desarrollada como para responder a su pregunta. La razón es que las ecuaciones con las que está trabajando no son cualquier tipo de ODE, son ecuaciones diferenciales de retardo. Hasta donde yo sé, no existe una solución general de 2 partículas que interactúen directamente de esta manera para 2 dimensiones o más. Creo que en 1 dimensión el problema solo tiene una solución global si las cargas tienen el mismo signo (aunque podría estar equivocado y el caso atractivo también podría resolverse).

Hay un grupo que he encontrado abordando esta pregunta de una manera interesante. Trabajan con un formalismo en el que asumen la interacción directa de partículas a lo largo del cono de luz Y las ecuaciones de Maxwell para el campo (en las que los campos están prescritos únicamente por las trayectorias de las partículas y no por grados de libertad dinámicos e independientes). Tienen algunos resultados que muestran que algunas soluciones para este sistema también son soluciones para el sistema de interacción directa de partículas. Su enfoque es muy matemático, pero proporcionaré enlaces a su trabajo aquí para su interés, aunque no estoy calificado para examinar su enfoque: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/49/44/ 445202/pdf https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03605302.2013.814142 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039616000243 https://arxiv.org/abs/1603.05115

De mi lectura de las cosas: si consideras un universo de solo dos partículas, sus órbitas serían completamente estables. Cualquier inestabilidad proviene de la interacción del sistema de dos partículas con un baño más grande de muchas, muchas partículas. Este fenómeno puede ser capturado por la fuerza de Dirac-Abraham-Lorentz, que surge de estas complicadas interacciones de muchas partículas. En la teoría estándar, esto se puede agregar como una especie de factor de engaño a las ecuaciones de Maxwell, pero al hacerlo se introducen un montón de complicaciones y, matemáticamente, las ODE resultantes pueden no estar bien planteadas. No obstante, la teoría estándar de Maxwell-Lorentz forma la base de la cuantificación que da como resultado QED, pero en su lugar se pueden cuantificar las teorías de partículas directas.

La inestabilidad se debe principalmente a la ausencia de otras fuerzas que no sean retardadas. Hay una solución numérica de las ecuaciones de retardo para fuerzas puramente retardadas por JLSynge, vea mi respuesta. Entonces, incluso dos partículas solas no tendrán órbitas estables. Si las fuerzas están medio retrasadas, medio avanzadas, puede haber órbitas estables (esto fue investigado en 1924 por Leigh Page, consulte journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.24.296 ).
La presencia de fuerzas únicamente retardadas es consecuencia de la interacción con muchas otras partículas. No tiene sentido considerar un universo de dos partículas con fuerzas únicamente retardadas. Leí un análisis interesante sobre esta suposición en arxiv I hace un tiempo: arxiv.org/abs/1501.03516 Creo que hay pruebas más modernas de la existencia de órbitas estables para datos iniciales específicos, pero honestamente no recuerdo. No creo que haya pruebas de la existencia de soluciones para todos los conjuntos de datos de trayectoria inicial en 3 dimensiones espaciales.
> "No tiene sentido considerar un universo de dos partículas con fuerzas únicamente retardadas". ¿En qué sentido no tiene sentido? Tiene mucho sentido como modelo para simular en la computadora.
Dentro de la teoría del absorbedor de Wheeler Feynman, un universo de dos partículas y nada más tendrá fuerzas mitad avanzadas, mitad retardadas. Las fuerzas completamente retardadas son solo una consecuencia de las interacciones con el absorbedor (compuesto por el resto de las partículas del universo en un arreglo termodinámico muy específico). Mi comentario original en la respuesta se refería al universo hipotético de solo dos partículas, ese es el contexto para toda esta línea de cuestionamiento.
Tiene razón en lo que respecta a la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman, pero creo que la pregunta original no se centró en esta teoría.
Si, tienes razón la pregunta es más amplia, intentaba resaltar que el modelo puramente retrasado está cargado de muchas suposiciones. Lo integré en la teoría de WF para tratar de aclararlo, pero tal vez este no era el enfoque correcto. Es más sencillo señalar que el modelo puramente retrasado viola la simetría temporal (microscópica).

Juan McAndrew · Answer 4

Estoy de acuerdo con la respuesta de Void, pero ofreceré otro lado: al considerar que la masa de una partícula es mucho más grande que la otra, terminó con una carga que irradia todo bajo la influencia del campo estático de Coulomb. el otro: su modelo de un electrón que gira alrededor de un núcleo tiene la misma ecuación de movimiento que un cuerpo pequeño que gira alrededor de un cuerpo mucho más grande en un sistema gravitatorio newtoniano. Su modelo no predice una espiral hacia el núcleo porque usó la fuerza de Lorentz estándar sin el término de amortiguamiento de radiación. Es matemáticamente correcto, pero viola la conservación de la energía y el momento de todo el sistema cuando la radiación es significativa.

Dirac $^1$ abordó este problema derivando una ecuación de movimiento para una carga que se mueve arbitrariamente utilizando la conservación local de la energía y el momento para un tubo que rodea la carga:

1 / 2 q^{2} ϵ^{- 1} {\dot{v}}_{m} - q v_{v} F_{m}^{v} = {\dot{B}}_{m}

$1/2q^2\epsilon^{-1}\dot{v}_{\mu} - qv_{\nu}f^{\nu}_{\mu} = \dot{B}_{\mu}$

Dónde $q$ es el cargo, $\epsilon$ el radio del tubo, $v$ la de cuatro velocidades, $f$ el campo acotado a la carga, $B$ un cuadrivector indeterminado.

Para llegar más lejos, tuvo que hacer más suposiciones sobre qué tan simple podría ser la ecuación y agregar una masa negativa para compensar la contribución de masa electromagnética de Coulomb. $\rightarrow \infty$ como $\epsilon \rightarrow 0$ , conseguir:

metro {\dot{v}}_{m} - 2 / 3 q^{2} {\ddot{v}}_{m} - 2 / 3 q^{2} {\dot{v}}^{2} v_{m} = mi v_{v} F_{m en}^{v}

$m\dot{v}_{\mu} - 2/3q^2\ddot{v}_{\mu} - 2/3q^2\dot{v}^2 {v}_{\mu} = ev_{\nu}F^{\nu}_{\mu\;\text{in}}$

La derivación de Dirac tiene la ventaja de ignorar la estructura de la carga y el énfasis de Poincaré en mantenerla unida; a diferencia de los modelos anteriores creados por Lorentz, Abraham y Schott. Sin embargo, tiene problemas con la aceleración previa y la causalidad, lo que lleva a que sea modificado por la ecuación de Landau-Lifshitz.

[1] Dirac, PAM Proc. R. Soc. Londres A 167, 148 (1938).

El modelo con solo fuerzas EM entre partículas no viola la conservación de la energía, si la energía se define correctamente (basándose en las ecuaciones de movimiento reales). Hay un problema con la energía de Poynting en el sentido de que es infinita, pero ese no es un problema del modelo, ya que el teorema de Poynting no es realmente relevante para las partículas puntuales. Frenkel dio la definición adecuada de energía basada en ecuaciones de movimiento en su artículo J. Frenkel, Zur Elektrodynamik punktfoermiger Elektronen , Zeits. F. Phys., 32, (1925), pág. 518-534. dx.doi.org/10.1007/BF01331692
Dirac abordó el problema con las ecuaciones imperfectas de movimiento para un cuerpo cargado de extensión espacial distinta de cero y allí su resultado es bueno como estimación de la fuerza propia EM. Sin embargo, sus fórmulas no tienen un límite sensible para las cargas puntuales. Allí, el enfoque de Frenkel es mucho mejor.
¿Existe una traducción al inglés del artículo de Frenkel?
@TobErnack hay una traducción al inglés reciente del profesor DH Delphenich aquí
Gracias, interesante que alguien lo haya traducido finalmente!

ana v · Answer 5

Las ecuaciones completas son complicadas, así que tomo un límite a medida que la masa del núcleo tiende al infinito y (asumiendo que mis cálculos son correctos), obtengo una ecuación de movimiento más simple formalmente idéntica a la del movimiento planetario alrededor del sol. Esto predice trayectorias elípticas para la mayoría de las condiciones iniciales.

De un comentario del OP:

La pregunta es si este modelo clásico predice la inestabilidad del átomo y si es realmente una consecuencia del electromagnetismo clásico.

A continuación se analiza la parte de estabilidad:

La pregunta básica es si las soluciones que encuentre son estables o metaestables, es decir, una pequeña perturbación, como la radiación en el campo del otro, o las vibraciones atómicas, enviarán el electrón al núcleo.

(Recuerdo que pueden existir estados metaestables en las soluciones clásicas, pero no puedo encontrar la referencia)

Al mirar a través de su derivación, no puedo entender qué hace con la radiación, es decir, cómo podría perturbar su solución para ver si es estable o metaestable. La radiación es un hecho experimental. Una carga irradia energía en el espectro electromagnético cuando se acelera en un campo. Este es un hecho experimental. ¿Dónde está la radiación en sus fórmulas?

Bohr obtuvo soluciones planetarias, pero necesitaba imponer la cuantificación del momento angular para tener estabilidad. (la radiación llevaría de una unidad de momento angular)

Sospecho que este es el caso con sus soluciones, son metaestables sin tener en cuenta la radiación.

¿Dónde está la radiación en sus fórmulas? El OP está tratando de que esto surja de su trabajo. No están diciendo que no sea cierto. Por lo tanto, asumir que existe radiación sería una especie de "suponer lo que está tratando de probar".
@AaronStevens Creo que lo malinterpretas. Un modelo que quiera reemplazar el modelo cuántico DEBE describir todos los datos, y la radiación no ocurre alrededor de dos cargas, es un efecto experimental que ocurre alrededor de cualquier carga en un entorno de movimiento acelerado. Entonces, incluso si encuentra una órbita estable, debe demostrarse que también es estable frente a pequeñas perturbaciones; de lo contrario, es metaestable, y esos metaestables también se conocen en el clásico a partir de las ecuaciones de Maxwell.
No creo que el OP esté buscando reemplazar el modelo cuántico. El OP es consciente del hecho experimental de la radiación, y no lo están debatiendo. Estoy de acuerdo con lo que dice sobre las órbitas estables, pero decirle al OP que deben tener en cuenta la radiación derrota por completo el propósito de su pregunta.
Pero aún está pidiendo que la radiación se tenga en cuenta en las ecuaciones, mientras que el OP quiere que la radiación salga de las ecuaciones.
De hecho, lo que tenía en mente era investigar el enfoque mecanicista que mencioné para ver si da lugar a los mismos resultados predichos por los efectos de la radiación. No me atrevo a afirmar que la radiación existe o no, pero me gustaría que los efectos fueran derivables de este análisis. Suponiendo que los cálculos sean correctos y consistentes con las ecuaciones de Maxwell y Lorentz, por supuesto.
Según entiendo las cosas, el efecto de radiación debería aparecer de alguna manera como un término de fuerza adicional que se mencionó en la respuesta de Void (la fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac). Mis propios cálculos no tenían ese término, así que supongo que la pregunta es por qué ese es el caso.
Podría ser que la ley de fuerza de Lorentz sea incorrecta (aunque eso no respondería realmente a la pregunta, ya que es parte de los postulados habituales de la EM clásica). Otra posibilidad sería que algunos de mis cálculos sean matemáticamente incorrectos, lo cual he intentado comprobar, pero aún no he encontrado errores evidentes. Otra posibilidad más es que las suposiciones de partículas puntuales y masa infinita para el núcleo descuiden efectos importantes, que es lo que sugiere Void, creo.

¿El electromagnetismo clásico realmente predice la inestabilidad de los átomos?

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