¿El colapso de la función de onda a un estado propio de impulso viola la restricción de la velocidad de la luz?

Consideremos un sistema libre donde el hamiltoniano es pag ^ 2 / 2 metro .

En el momento t = 0 , comenzamos con un estado en la posición X . Un tiempo instantáneo d t más tarde, donde d t → 0 , medimos el momento de la partícula y obtenemos un valor k . Después de la medición, la función de onda colapsa a un estado propio de impulso ψ ( X ) = mi i k X .

otro intervalo d t luego, medimos la posición de la partícula. Dado que la partícula está en un estado propio de momento, la medición puede dar cualquier valor que va desde − ∞ a ∞ .

Esto parece sugerir que la partícula es capaz de viajar a través de una distancia arbitrariamente grande en una pequeña cantidad de tiempo. 2 d t . ¿Significa esto que el colapso de la función de onda viola la restricción de la velocidad de la luz?

Respuestas (1)

Hay dos respuestas a esta pregunta. La primera es que, sí, en la mecánica cuántica no relativista, puedes hacer que las cosas vayan más rápido que la velocidad de la luz, porque nunca se tiene en cuenta la relatividad. La solución es aprender la teoría cuántica de campos.

También podemos considerar esta situación particular más de cerca. Su experimento mental sugiere que una medición de impulso puede "teletransportar" una partícula infinitamente lejos en un tiempo infinitamente corto, lo que se siente poco físico, independientemente de la relatividad.

La solución es que una medición precisa del momento toma una cantidad finita de tiempo. (Y una medición de momento infinitamente precisa, como sugieres, toma infinitamente tiempo).

Para ver esto, comience con el principio de incertidumbre de energía-tiempo

Δ mi Δ t ≥ ℏ
dónde Δ mi = Δ ( pag 2 / 2 metro ) = pag Δ pag / metro . Entonces tenemos el límite
pag Δ pag Δ t metro ≥ ℏ
dónde pag es el valor (promedio) del impulso que obtienes, Δ pag es la incertidumbre sobre ese impulso, y Δ t es el tiempo que se tardó en realizar la medición. Esto nos dice que las mediciones de momento más precisas toman más tiempo.

Ahora, el estado final después de esta medición de momento 'borroso' es un paquete de ondas centrado en el origen con ancho Δ X , con

Δ X Δ pag ∼ ℏ .
Finalmente, combinar esto con nuestro otro resultado da
Δ X Δ t ≤ pag metro .
Es decir, la partícula no se mueve más rápido de lo que sería semiclásico.

¿Cómo solucionaría esto la teoría cuántica de campos? ¿La teoría cuántica de campos describe el colapso de la función de onda?
@JNL En una teoría de campo cuántico relativista propiamente dicha, los experimentos separados similares al espacio no tienen influencia entre sí. Uno nunca necesita introducir el "colapso de la función de onda", sea lo que sea que eso signifique. El S -matriz es suficiente.
¿Por qué la segunda vez que usó el principio de Heisenberg lo escribió con ∼ en lugar de ≥ como en el primer caso? Ese es el punto crucial. No puedo ver una justificación física para eso. Sin esa diferencia no podrías haber llegado a una conclusión.
@ValterMoretti Sí, este punto es complicado. Si asumimos que el error de medición del momento es gaussiano, tenemos igualdad allí. De manera más general, creo que para distribuciones de error 'razonables' físicas (por ejemplo, es positivo en todo [p - \Delta p, p + \Delta p], es continuo, ...) entonces Δ X Δ pag no puede ser mucho más grande que ℏ pero no se como demostrarlo.
¿Y la segunda medida, la relativa a la posición? es instantaneo? Hablando francamente, creo que de esta manera quiero decir con "hipótesis ad hoc" uno puede probar cualquier cosa y su contrario....
@ValterMoretti Las medidas de posición no importan para este argumento. Solo estoy tratando de mostrar que las mediciones no pueden "teletransportar" partículas significativamente más allá de lo que podrían moverse semiclásicamente. Ya sabemos que una medición de posición no puede hacer esto porque solo puede arrojar valores donde ψ ( X ) ya es distinto de cero.
Creo que es una tarea desesperada la tuya. La ecuación de Schroedinger en sí misma no es local como lo es la ecuación de calor. Puede tener la onda confinada en una región limitada (estrictamente desvaneciéndose fuera de ella) en el tiempo inicial 0 y, por cada tiempo positivo arbitrariamente pequeño, la función de onda no se desvanece en ninguna parte. Esto sin requerir ningún proceso de medición...
Sin embargo, no soy capaz de lidiar con estos, digamos, enfoques de físicos experimentales, tal vez tengas razón. No te preocupes :)
@ValterMoretti Creo que mi argumento explica por qué puede suceder eso: hay componentes de impulso arbitrariamente altos en la función de onda inicial, y esos componentes luego se propagan hacia afuera a la velocidad v gramo = pag / metro . Desde pag es ilimitado, v gramo es demasiado.
Sí estoy de acuerdo con usted.
@Robin Ekman Me parece que no es necesario introducir el colapso de la función de onda, pero no se puede. El S -matriz calcular ⟨ ψ F | S | ψ i ⟩ es algo así como el promedio de la medición, pero no el colapso de la función de onda. En el formalismo de la integral de trayectoria, se integra el impulso intermedio hasta el infinito. Esto parece sugerir que para cada camino posible, se puede violar la velocidad de la luz (y el impulso ilimitado da lugar a la divergencia en la teoría).
Cómo lo sabes Δ t Cuál es el tiempo que se tarda en realizar la medición? He leído sobre el principio de incertidumbre de tiempo-energía y parece que la interpretación del principio en sí es bastante incierta.
"En la mecánica cuántica no relativista, puedes hacer que las cosas vayan más rápido que la velocidad de la luz". Esta afirmación es totalmente incorrecta. En la mecánica cuántica no relativista todo se mueve mucho más lento que la velocidad de la luz.
¿El colapso de la función de onda a un estado propio de impulso viola la restricción de la velocidad de la luz?
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