El cambio Doppler y la velocidad aparente de rotación galáctica con la distancia

Respuesta corta: No hay prueba aquí. El efecto del que hablas ya está incorporado en la fórmula del desplazamiento Doppler relativista y, por lo tanto, en los cálculos de las velocidades de rotación de las galaxias distantes. La velocidad de rotación inferida depende de la relación entre una diferencia de frecuencia y la frecuencia observada, y esta relación no cambia con el corrimiento al rojo , sin importar si ese corrimiento al rojo general es causado por la expansión del universo o un movimiento Doppler (o, de hecho, un corrimiento al rojo gravitacional) .

En la relatividad especial, los efectos de la dilatación del tiempo ya están incorporados en la fórmula del desplazamiento Doppler relativista . Por lo tanto, en el marco de reposo de movimiento conjunto de la galaxia, la diferencia de frecuencia entre la luz de un lado del eje de rotación de la galaxia y el otro está dada por (ignorando los efectos de inclinación y suponiendo simetría axial)

$$\Delta f = \left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)^{1/2}f_0 -\left(\frac{1+\beta}{1-\beta}\right)^{1/2}f_0 = \gamma(1 + \beta)f_0 - \gamma(1-\beta)f_0 = 2\gamma \beta f_0,$$ dónde $\beta = |v|/c$, $\gamma = (1 - \beta^2)^{-1/2}$y $|v|$es la velocidad de rotación tangencial fija en el marco de movimiento conjunto. si mediste $\Delta f$para una línea con frecuencia intrínseca $f_0$, entonces deducirías $v$como $$v = \frac{\Delta f/2f_0}{\left(1 + (\Delta f/2f_0)^2\right)^{1/2}} c$$

Si la galaxia se observa desde algún otro marco de referencia alejándose a una velocidad$v_g$con respecto al marco de reposo de la galaxia, la fórmula de adición de velocidad relativista se puede usar para mostrar que

$$\Delta f_g = \gamma(1 + \beta)\gamma_g (1-\beta_g)f_0 - \gamma(1-\beta)\gamma_g (1-\beta_g)f_0 = 2\gamma \beta \gamma_g(1-\beta_g)f_0,$$ dónde $\beta_g = |v_g|/c$.

Ahora la definición de redshift$z$(ya sea cosmológico o debido a un efecto Doppler) es

$$1+z = \left( \frac{1+\beta_g}{1-\beta_g}\right)^{1/2} = \gamma_g (1 + \beta_g) ,$$ entonces $$(1+z)^{-1} = \gamma_g (1 - \beta_g)$$ y $$\Delta f_g = \frac{2\gamma \beta f_0}{1+z} = \frac{\Delta f}{1+z} = 2\gamma \beta f_g,$$ donde la frecuencia central observada de una línea se convierte en $f_g = f_0/1+z$.

Lo más importante para responder a su pregunta es que la velocidad de rotación inferida$v$depende únicamente de la proporción de$\Delta f_g$al centro de la línea observada$f_g$- y esta razón es invariante ,$\Delta f/f_0 = \Delta f_g/f_g = 2 \gamma \beta$en ambos casos.

Ahora considere la misma galaxia con un aparente efecto doppler causado por la expansión del universo. La frecuencia de la luz de un lado de la galaxia es$\gamma (1+ \beta) f_0/(1+z)$, mientras que la frecuencia del otro lado del eje de rotación es$\gamma (1-\beta) f_0/(1+z)$y la diferencia entre estos es$2\gamma \beta f_0/(1+z)= 2\gamma \beta f_g$de nuevo.

Por lo tanto, no hay una prueba distintiva aquí. Si las galaxias tienen velocidades de rotación uniformes con corrimiento al rojo (es decir,$\beta$y$\Delta f$son constantes) entonces esperamos$\Delta f_g$disminuir con el aumento del corrimiento al rojo, ya sea que ese corrimiento al rojo se deba a la expansión del universo o que la galaxia simplemente se esté alejando rápidamente de nosotros. Sin embargo la proporción de$\Delta f_g/f_g$Se mantiene igual.