Ejemplo resuelto - Mecánica clásica por David Morin

Question

Ejemplo resuelto - Mecánica clásica por David Morin

espada de espinas

Problema: Una cuerda enrolla un ángulo θ alrededor de un poste. Agarras un extremo y tiras con tensión. $T_0$ . El otro extremo está unido a un objeto grande, por ejemplo, un bote. Si el coeficiente de fricción estática entre la cuerda y el poste es $\mu$ , ¿cuál es la fuerza máxima que la cuerda puede ejercer sobre el bote, si la cuerda no debe deslizarse alrededor del poste?

Solución dada:
Considere un pequeño trozo de cuerda que subtiende un ángulo $dθ$ . Deja que la tensión en esta pieza sea $T$ (que varía ligeramente sobre la pequeña longitud). El poste ejerce una pequeña fuerza normal hacia afuera, $N_{dθ}$ , en la pieza. Esta fuerza normal existe para equilibrar los componentes "hacia adentro" de las tensiones en los extremos. Estos componentes internos tienen una magnitud $T \sin(dθ/2)$ . 1 Por lo tanto, $N_{dθ} = 2T \sin(dθ/2)$ . La aproximación de ángulo pequeño, $\sin(x) ≈ x$ , nos permite escribir esto como $N_{dθ} = T dθ$ .
La fuerza de fricción sobre el pequeño trozo de cuerda satisface $F_{dθ} ≤ μN_{dθ} = μT_{dθ}$ . Esta fuerza de rozamiento es la que da lugar a la diferencia de tensión entre los dos extremos de la pieza. En otras palabras, la tensión, en función de θ, satisface

T (θ + d θ) \leq T (θ) + m T d θ (*) ⟹ d T \leq m T d θ ⟹ \int \frac{d T}{T} \leq \int m d θ ⟹ en (T) \leq m θ + C ⟹ T \leq T_{0} {mi}^{m θ}

$T(\theta+d\theta)\le T(\theta) + \mu Td\theta \ \ \ (*) \\ \implies dT \le \mu Td\theta \\ \implies \int \frac{dT}{T} \le \int \mu d\theta \\ \implies \ln(T) \le \mu \theta + C \\ \implies T \le T_{0}e^{\mu \theta}$

Lo que no entiendo aquí es que el autor dice que el otro extremo de la cuerda está "unido" al bote. Ahora bien, esto no significa que el barco esté "tirando" de la cuerda con cierta tensión... si ese es el caso (el barco tirando de la cuerda con una gran tensión, digamos $T$ ), entonces tengo claro lo que hay que hacer, en consecuencia asignamos una dirección a la fuerza de fricción y vemos que la fuerza necesaria para evitar que la cuerda se deslice, es decir $T_{0} \ge Te^{-\mu \theta}$ , que está de acuerdo con el resultado dado en el libro.

Pero dado que la cuerda aquí solo está "unida" al bote, no veo cómo se marcó la ecuación $(*)$ es cierto... ya que "nosotros" estamos "tirando" con una tensión $T_{0}$ , ¿no debería ser la ecuación (debido a la dirección de la fricción...)

T (θ + d θ) + m T d θ \leq T (θ) ⟹ T \leq T_{0} {mi}^{- m θ}

$T(\theta + d\theta) + \mu Td \theta \le T(\theta) \\ \implies T \le T_{0}e^{-\mu \theta}$

EDITAR: Quiero dejar mi pregunta más clara... Se ata una cuerda a un bote, luego se envuelve la cuerda alrededor de un poste. Ahora agarro el otro extremo de la cuerda y tiro de ella con una tensión $T_{0}$ ..Entonces, ¿no debería oponerse la fricción a mi acción de tirar de la cuerda?..En ese caso, ¿cómo funciona la ecuación? $(*)$ ¿consideramos verdaderos?

Básicamente, quiero saber cómo llegó el autor a la ecuación. $(*)$ ...La afirmación "Esta fuerza de rozamiento es la que da lugar a la diferencia de tensión entre los dos extremos de la pieza". no me queda muy claro..."Diferencia" en que sentido?

T (θ + d θ) > T (θ) O T (θ) < T (θ + d θ)

$T(\theta + d\theta) > T(\theta) \ \ \ \ \ \text{OR}\ \ \ \ \ T(\theta) < T(\theta + d\theta)$

El autor no ha explicado esto en el texto, así que no entiendo cómo funciona la ecuación. $(*)$ es cierto... ya que no hay explicación sobre cuál es la dirección elegida para la fuerza de fricción estática y por qué.

Respuestas (1)

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biofísico · Answer 1

Por la tercera ley de Newton, si la cuerda tira del bote con alguna fuerza, entonces el bote tira de la cuerda con la misma fuerza. Así que cualquier terminología está bien. Al unir la cuerda al bote y al haber tensión en la cuerda, la cuerda y el bote ahora se tiran entre sí.

Su propuesta de que $T\leq T_0e^{-\mu\theta}$ no tiene sentido, ya que sugiere que cuanto más se enrolla la cuerda alrededor del poste, menor puede ser la tensión antes de deslizarse.

para ver porque $T(\theta +\text d\theta)\leq T(\theta)+\mu T\text d\theta$ es correcto, veamos un escenario más simple con fricción estática. Digamos que tengo un bloque sobre una superficie plana con fricción y una fuerza $T_1$ está tirando del bloque a la izquierda, y otra fuerza $T_2$ está tirando del bloque a la derecha. Si $T_2\neq T_1$ pero el bloque no se mueve, debe ser eso

| T_{2} - T_{1} | \leq m norte

$|T_2-T_1|\leq\mu N$ Sin embargo, si sabemos cuál es la dirección del movimiento inminente, podemos deshacernos del signo de valor absoluto. Por ejemplo, si conocemos la fricción que impide que el bloque se deslice hacia la derecha, entonces sabemos que

T_{2} > T_{1}

$T_2>T_1$ , y así tenemos

T_{2} - T_{1} \leq m norte

$T_2-T_1\leq \mu N$

Lo mismo está pasando aquí. estamos asumiendo $\text dT=T(\theta+\text d\theta)-T(\theta)>0$ de modo que el movimiento inminente es en la dirección de $\text d\theta>0$ . Por eso tenemos $T(\theta +\text d\theta)\leq T(\theta)+\mu T\text d\theta$ .

Tenga en cuenta que nada de este trabajo determina las tensiones reales en el sistema. Todo este trabajo muestra que es el límite de $T$ antes de que ocurra el deslizamiento valores dados para $T_0$ , $\mu$ , y $\theta$ .

En cuanto a por qué $\text dT>0$ , tienes razón en que esto no siempre es cierto, al igual que en mi ejemplo no tiene que ser el caso que $T_2>T_1$ . Para establecer el signo de $\text dT$ necesitamos asumir o razonar sobre la dirección del movimiento inminente. El problema obviamente supone un movimiento inminente en la dirección de $\theta$ , que creo que es razonable. Sin embargo, supongo que hubiera sido mejor que la pregunta estableciera explícitamente esta suposición con más detalle.

Si esto sigue siendo insatisfactorio, entonces pongámonos técnicos: ¿cuál es más grande para $\theta>0$ , $T_0e^{\mu\theta}$ , o $T_0e^{-\mu\theta}$ ?

No... considere esto... He atado una cuerda al bote, y envolví la cuerda alrededor de un poste, digamos 10 veces. Sea el coeficiente de rozamiento de 0,5. Entonces, ¿significa que... si jalo el extremo libre de la cuerda, digamos 1N, entonces la fuerza sobre el bote sería $e^{0.5*2\pi * 10}$ ?? esto es aproximadamente $4.5 * 10^{13} N$ ! no tiene ningún sentido
Lo que quiero decir en mi primer comentario aquí es... si el barco "ya" está tirando de la cuerda... antes de agarrar el otro extremo de la cuerda... entonces... la tensión mínima con la que tenemos que tirar la cuerda debe ser dada por $T_{0} \ge Te^{-\mu \theta}$ . Para mí, parece como si el autor estuviera diciendo que si agarramos un extremo de la cuerda, luego enrollamos la cuerda alrededor de un poste y luego unimos el otro extremo a un bote, entonces si tiramos de un extremo con una tensión $T_{0}$ , en el caso límite, el bote sería jalado por una tensión $T_{0}e^{\mu \theta}$
He editado mi pregunta para que quede más clara. ¿Podría echar un vistazo y publicar otra respuesta (o editar la actual)?
@thornsword He editado mi respuesta. En respuesta a su primer comentario, tenga en cuenta que aquí estamos tratando con desigualdades, no necesariamente con salidas de fuerza reales. Más giros solo significa que podríamos aplicar una tensión máxima mayor al barco; no significa $T=T_0e^{\mu\theta}$
Entendí la primera parte de tu respuesta editada. Pero no veo por qué asumimos $dT > 0$ ? ¿Cómo podemos hacer una suposición como esa sin saber qué fuerza es mayor? En segundo lugar, entendí tu punto sobre las desigualdades... pero la imagen en mi mente es que si algo tira del otro extremo con una fuerza muy grande, entonces necesitamos aplicar solo una fuerza lo suficientemente pequeña para equilibrarlo... No lo sé. Veo cómo podemos tirar de un barco enorme aplicando una fuerza pequeña... incluso si la igualdad no se cumple, ¡el rango de valores posibles para la tensión sigue siendo enorme!
Como contraejemplo (mostrando por qué $dT>0$ no se puede suponer). Considere un líquido en un vaso de precipitados. Intentemos derivar la expresión de la presión en un fluido estático. Considere una porción cilíndrica del fluido. Tomemos el nivel de la base del vaso de precipitados como $0$ en nuestro $Y$ sistema coordinado. Ahora considere la gota de fluido en el cilindro elegido entre $y$ y $y+dy$ . Entonces la presión en el fluido a una altura $y$ es $P$ , y la presión en $y+dy$ es $P+dP$ . Aquí, por supuesto, no podemos asumir $dP>0$ . De lo contrario, implicaría que la presión aumenta con el aumento de la altura desde la base.
@thornsword He editado mi respuesta. Después de pensarlo más, estoy de acuerdo en que el problema podría haberse redactado mejor para establecer ciertas suposiciones.
De acuerdo, al final... el problema supone que el barco en realidad está tirando de la cuerda... y estamos tratando de sostenerla y evitar que se deslice... ¿estoy en lo correcto?

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