¿División actual en inductores ideales?

La pregunta es:-

Encuentre la distribución de corriente en los inductores en estado estacionario (es decir, suponiendo t → ∞ después de cerrar el interruptor y establecer el circuito y considerar los inductores sin resistencia e ideales).

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Mis esfuerzos
Dado que ambos están en paralelo, las ecuaciones para la corriente en cualquier momento t después de establecer el circuito viene dado por ( i 1 = actual en 5 metro H inductor y i 2 en el otro, y la corriente total i ):-

i ( t ) = i 1 ( t ) + i 2 ( t ) = 4 ( 1 − mi − 5 t L norte mi t )
dónde L norte mi t = 10 3 metro H . Pero no se como esta corriente se divide en dos en las inductancias en ningun momento t o en el estado estacionario. Si los inductores no fueran ideales, es decir, si tuvieran diferentes resistencias, la corriente podría dividirse en la proporción de sus resistencias en el estado estacionario final, pero como son ideales, este método no funcionará. ¿Como puedo resolver esto? las respuestas dadas son 8 3 A en el 50 metro H inductor y 4 3 A en el otro.

Respuestas (5)

Olvídese de la distracción de la especificación de estado estacionario por un momento. Dado que los inductores están conectados en paralelo, se sigue que:

L 1 d i 1 d t = L 2 d i 2 d t

Integrando ambos lados con respecto al tiempo y asumiendo condiciones iniciales cero, se obtiene:

L 1 i 1 ( t ) = L 2 i 2 ( t )

De este modo:

i 1 ( t ) i 2 ( t ) = L 2 L 1 = 2

Y entonces,

i 1 = 2 ⋅ i 2

para todos t ≥ 0 .

La condición inicial es verdadera solo para inductores ideales (resistencia cero), ¿verdad?

Si hay resistencia en serie (inductores no ideales), el análisis procede de la siguiente manera:

L 1 d i 1 d t + R 1 ⋅ i 1 = L 2 d i 2 d t + R 2 ⋅ i 2

En estado estacionario tenemos:

d i 1 d t = d i 2 d t = 0

De este modo:

R 1 ⋅ i 1 ( ∞ ) = R 2 ⋅ i 2 ( ∞ ) → i 1 ( ∞ ) = R 2 R 1 i 2 ( ∞ )

La condición inicial es verdadera solo para inductores ideales (resistencia cero), ¿verdad? De lo contrario, la distribución de corriente debe estar de acuerdo solo con las resistencias de las ramas y no se considera ningún término de inductancia para t → ∞ ?
@SatwikPasani, mira la actualización de mi respuesta

¿Cómo se relaciona la caída de voltaje a través de un inductor con su corriente e inductancia? Se da como:

V = L d i d t

Ahora, dado que los dos inductores están conectados en paralelo, puede relacionar sus voltajes y, por lo tanto, la tasa de cambio de las corrientes a través de ellos. Use esa ecuación junto con la ecuación para la suma de las corrientes que ha obtenido. Tienes dos ecuaciones y dos incógnitas, i 1 & i 2 , ¡así que deberías poder resolverlos! Entonces los obtendrás como funciones de tiempo y luego puedes poner el límite que t → ∞ .

Con flujo magnético cambiante, como es cierto en este caso, los campos no son conservativos. Por lo tanto, ¿cómo podemos asignar un valor único a la caída potencial cuando la caída depende de la ruta?
Como el campo eléctrico neto en un inductor ideal debe ser cero ( mi = ρ j ), obtenemos que la suma de los campos eléctricos conservativos y no conservativos es cero. Usando el potencial para el campo eléctrico conservativo obtenemos la ecuación anterior que relaciona V y i .

La relación corriente-tensión de un inductor está dada por:

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En el escenario de estado estacionario, la derivada del tiempo es igual a cero. Por lo tanto, el inductor actúa como un cortocircuito. Ahora, si reemplazó los inductores en su circuito con cortocircuitos, la pregunta no tiene sentido ya que se trata de la división actual entre dos cortocircuitos.

La única forma de superar esto es tener en cuenta una resistencia finita. Aunque la pregunta dice que los inductores son ideales, supongo que la pregunta significa que no hay resistencia a granel.

Dado que uno de ellos tiene el doble del valor del otro, puede considerarlo como dos inductores de 5 mH en serie. Por lo tanto, el inductor de 10 mH tendrá la mitad de la corriente según la regla del divisor de corriente:

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La corriente total es 4 A tal como la calculó. La corriente en la otra rama es 2/3 de la corriente total

Estás básicamente en el camino correcto. En realidad, creo que esta pregunta es un poco injusta porque los inductores son ideales (sin resistencia) no es realista y, por lo tanto, conduce a una solución poco realista. Su ecuación para la corriente total es correcta. Tenga en cuenta que en estado estacionario, la corriente es de solo 4 A. Por lo tanto, la suma de las corrientes en los dos inductores debe ser igual a 4 A.

Con inductores absolutamente perfectos que comienzan en 0 corriente y con el mismo voltaje aplicado, la corriente a través de cada uno será inversamente proporcional a su inductancia. Por lo tanto, el inductor de 5 mH siempre tendrá el doble de corriente que el inductor de 10 mH. Simplemente divida la corriente de estado estable de 4 A por esa relación para obtener su respuesta.

Una vez más, esta es una pregunta totalmente irreal. Esta solución no funcionaría si la resistencia de CC de cualquiera de los inductores no fuera exactamente 0. En una situación real con resistencia distinta de cero, la inductancia no importaría en absoluto en el estado estable, y cada inductor transportaría corriente inversamente proporcional a ella la resistencia.

+1 y gracias por una buena respuesta. Pero las respuestas que cito no suman 4 A como se requiere teniendo en cuenta el voltaje de la batería y la resistencia neta?
@Satwik: Ups, sí. Leí mal los pequeños números. Son bastante pequeños en mi pantalla. Perdón por la confusion.
Realmente es un mal problema. Los inductores no tienen resistencia (en realidad, serían un par de bobinas superconductoras, unidas por derivaciones superconductoras) y, por lo tanto, el problema depende en gran medida de la corriente persistente que fluye dentro del par de inductores antes de que se cierre el interruptor. La corriente persistente podría ser cualquier cosa, por lo que el problema ni siquiera está completamente especificado.

Bueno, NO hay interruptor en el circuito. Y no hay información sobre el orden en que se ensamblan los componentes. Entonces la respuesta es indeterminada. La respuesta de corriente 2:1 solo es correcta si los dos inductores están conectados en paralelo antes de aplicar cualquier voltaje. Si cualquiera de los dos inductores es el último elemento que se conecta, entonces TODA la corriente fluiría en el otro inductor, y nunca habría ningún voltaje a través de los inductores para cambiar las corrientes, por lo que el segundo inductor conectado, sería tener corriente cero.

Gracias por la respuesta. ¿Podemos mostrar lo que acaba de decir (cero corriente para el inductor conectado por fin) matemáticamente o de una manera formal para convencer a mi maestro más convencional?
Bueno Satwik, cuando se ensambla el circuito con un inductor, se obtiene el transitorio inductivo inicial, con una constante de tiempo L/R, que decae al estado estable con 4 amperios fluyendo. (usted esperó exactamente el tiempo que esperó el maestro, antes de que le diera el problema para que lo mirara), por lo que sabemos que el voltaje del inductor ES cero (él lo dice). Luego conecta el segundo inductor a través de este voltaje cero; entonces, con voltaje cero, ninguna corriente del inductor puede cambiar; ergo 4 amperios y cero amperios. QED. Puedes describir todo eso con tus propias palabras. Omitió el interruptor, así que arruinó el problema.
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