Dilatación del tiempo para un reloj en órbita

La dilatación del tiempo gravitacional para un observador de "capa" estático en la métrica de Schwarzschild observada desde el infinito es

$$d\tau_{\rm shell} = dt\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)^{1/2}\ .$$ Podríamos etiquetar esto como la "dilatación del tiempo relativista general".

La velocidad de un objeto en una órbita circular alrededor de una masa central, medida por el observador de capa estacionario en el radio$r$, es

$$v_{\rm shell} = c\left(\frac{r_s}{2(r-r_s)}\right)^{1/2}\ .$$

La dilatación del tiempo debida al movimiento orbital con respecto al marco inercial local del observador de capa es

$$d\tau = \frac{dt_{\rm shell}}{\gamma_{\rm shell}}\ ,$$ dónde$\tau$aquí está el tiempo propio medido por el observador en órbita. Podríamos etiquetar esto como la "dilatación del tiempo relativista especial".

En un marco inercial local,$dt_{\rm shell} = d\tau_{\rm shell}$, entonces

$$d \tau = \gamma_{\rm shell}^{-1}\ d\tau_{\rm shell} = \left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)^{1/2} \gamma_{\rm shell}^{-1}\ dt\ ,$$ y estamos efectivamente multiplicando las dilataciones de tiempo "Relativista general" y "Relativista especial" para obtener$^{*}$ $$d\tau = \left[ \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(1 - \frac{r_s}{2(r-r_s)}\right) \right]^{1/2} = \left(1 - \frac{3r_s}{2r}\right)^{1/2}\ .$$ No se han hecho aproximaciones, este es un resultado exacto.

• Tenga en cuenta que no es realmente correcto etiquetarlos como correcciones relativistas separadas. Para ver el cálculo realizado de manera integral, consulte https://physics.stackexchange.com/a/110675/43351

EDITAR: Para abordar la última parte de la pregunta.

En la versión más "holística" del cálculo, utilizando directamente la métrica de Schwarzschild, surge la pregunta de por qué se utiliza el valor "newtoniano" de$v = rd\phi/dt = (GM/r)^{1/2}$? Tenga en cuenta que esto no es una suposición o una aproximación, es exactamente cierto para la métrica de Schwarzschild.

Disculpas, pero esta es una derivación larga. Para ver esto tenemos que volver a las geodésicas en la métrica de Schwarzschild, que se definen en términos de las dos constantes de movimiento que a menudo se denominan$E/mc^2$y$L/m$, la energía específica coordinada y el momento angular específico coordinado respectivamente.

En términos de estas cantidades, la tasa de cambio de la coordenada radial con respecto al tiempo propio se puede escribir

$$\frac{dr}{d\tau} = \pm c\left[ \left(\frac{E}{mc^2}\right)^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(1 + \frac{L^2}{m^2r^2c^2}\right) \right]^{1/2}\ , \tag*{(1)}$$ dónde $$\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\frac{dt}{d\tau} = \frac{E}{mc^2}\ ,$$ $$r^2 \frac{d\phi}{d\tau} = \frac{L}{m}\ .$$

Ahora podemos expresar la velocidad circular vista por un observador distante,$v_{\rm circ} = r d\phi/dt$como :

$$v_{\rm circ}^2 = r^2\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2 = r^2\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^2 \left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2 = \frac{L^2}{m^2r^2} \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^2 \left(\frac{mc^2}{E}\right)^2\, .$$ Pero para una órbita circular$dr/d\tau=0$y ec. (1) nos da una relación entre$E$y$L$-- $$\left(\frac{E^2}{mc^2}\right)^2 = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\left(1 + \frac{L^2}{m^2r^2c^2}\right) \ ;$$ y sustituyendo esto en la ecuación por$v_{\rm circ}^2$, obtenemos $$v_{\rm circ}^2 = \frac{L^2}{m^2 r^2} \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) \left(1 + \frac{L^2}{m^2 r^2 c^2}\right)^{-1} . \tag*{(2)}$$

La última parte del rompecabezas es encontrar una expresión para$L/m$en términos de la coordenada radial para una órbita circular. Esto se hace escribiendo una expresión para el potencial efectivo en la métrica de Schwarzschild y encontrando dónde es un mínimo. De este modo:

$$\frac{V_{\rm eff}}{mc^2} = -\frac{r_s}{2r} +\frac{L^2}{2m^2r^2c^2} - \frac{r_sL^2}{2m^2 r^3 c^2}\ .$$ Derivando e igualando a cero, obtenemos $$\left(\frac{L}{m}\right)^2 = \frac{c^2\,r^2\,r_s}{2r - 3r_s}\ . \tag*{(3)}$$

reemplazando$L^2/m^2$en la ecuación (2) usando la ecuación. (3),

$$\begin{eqnarray} v_{\rm circ}^2 & = & c^2\left(\frac{2r_s}{2r- 3r_s}\right) \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) \left(1 + \frac{r_s}{2r-3r_s}\right)^{-1} \nonumber \\ & = & c^2 \left(\frac{2r_s}{2r- 3r_s}\right) \left(\frac{r - r_s}{r}\right)\left(\frac{2r - 3r_s}{2r -2r_s}\right) \nonumber \\ & = & c^2\, \frac{r_s}{2r} = \frac{GM}{r}\, . \end{eqnarray}$$ Por lo tanto, la velocidad de las coordenadas según un observador distante es$\sqrt{GM/r}$, ¡ lo mismo que el resultado newtoniano!

Son efectos diferentes. La relatividad especial (SR) hará la primera parte, solo calcule la velocidad a partir de Newton y obtendrá una desaceleración en los relojes del satélite. Con GR obtienes un reloj más rápido debido a la dilatación del tiempo gravitacional. Se aplican ambos, se resta uno del otro

En las órbitas de GPS, el efecto GR es de aproximadamente 45 usec por día y el efecto SR es de 7 usec por día. El efecto neto es 45-7= 38 usec por día. Los relojes GPS van mucho más rápido que los relojes terrestres. Si estuviera midiendo frecuencias en los satélites GPS, mediría un corrimiento al rojo en los satélites GPS (reloj más rápido, frecuencia más baja)

Consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Error_analysis_for_the_Global_Positioning_System

Los tiempos informados del reloj se ajustan para eso.

Si la velocidad relativa del satélite fuera cero, no habría efecto SR, sería 45 usec más rápido. Y caería.

Siguiendo el método de @ProfRob, en lugar de considerar las "dilataciones de tiempo" SR y GR por separado, podemos trabajar directamente desde la métrica de Schwarzchild.

(Usando la firma$+,-,-,-,-$)

$$\boxed{ds^2 = c^2\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 - r^2\sin^2\theta\,d\phi^2 - r^2d\theta^2}$$

Órbita circular, así que deja$\theta=90^\circ \implies d\theta = 0, \sin\theta=1$. También tenemos$d\theta = \omega dt$, entonces$\displaystyle r^2d\theta^2 = v^2dt^2 = \frac{GM}{r}dt^2 = c^2\frac{r_s}{2} dt^2$.

Por lo tanto:

$$ds^2 = c^2\left(1-\frac{3r_s}{2r}\right)\,dt^2$$

y comparando con un marco de reposo instantáneo (IRF)$ds^2 = c^2\,d\tau^2$, tenemos que:

$$d\tau = \sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}\,dt$$

Tenga en cuenta que no tenemos que considerar la ecuación geodésica, ni hacer más aproximaciones que las que se derivan de la propia métrica de Schwarzchild.