Dilatación del tiempo debido a la expansión del universo.

1. la ley de Hubble

   $$v=H_0 d,$$ relaciona la velocidad de recesión$v$de un objeto distante a su distancia física$d$. Hoy, la distancia física coincide, por definición, con la distancia de comovimiento$\chi \equiv d/(1+z)$, pero si quiere saber qué tan rápido dos galaxias en un corrimiento al rojo de, digamos,$z=1$, debe ingresar su distancia física en ese momento (y usar$H(z)$, el parámetro de Hubble en ese momento, en lugar de$H_0$). Dependiendo de cómo mida su distancia mutua, hay varias formas de calcular esto.

2. Cuando observamos una galaxia con corrimiento al rojo$z$, la relatividad general predice que vemos su tiempo dilatado por un factor$1+z$. Es decir, algún proceso físico que lleva un tiempo adecuado$t_0$, se observará que toma un tiempo

   $$\boxed{t = t_0(1+z),}$$ cuál es la fórmula que buscas.
   
   Un buen ejemplo de esto es el tiempo que tarda en disminuir el brillo de una supernova; una supernova en$z=1$declina la mitad de rápido que un local (es decir,$z=0$) supernova (véase, por ejemplo, Goldhaber et al. 2001 ).
   
   Calcular la distancia a esa supernova, o la edad del Universo en el momento en que se observa, es un poco más complicado e involucra un modelo de la tasa de expansión del Universo (ver, por ejemplo, esta pregunta sobre el modelo de Friedmann ) .

3. Tomando el final de la inflación cuando el Universo estaba$t\sim10^{-32}\,\mathrm{s}$viejo, el corrimiento al rojo correspondiente era del orden$^\dagger$ $z\sim4\times10^{25}$, por lo que si pudiéramos observar procesos físicos allí, estarían dilatados por un factor$\sim4\times10^{25}$, por lo que 1 segundo, con esta dilatación, tomaría 3 mil millones de años. Sin embargo, ya 1 segundo después de la inflación, la tasa de expansión del Universo ya se había ralentizado tanto que el corrimiento al rojo correspondiente, y por lo tanto el factor de dilatación, era "solo"$\sim4\times10^9$. Así que el próximo segundo solo, desde nuestro punto de vista, parecería tomar$\sim140$años.

Tenga en cuenta que estas consideraciones realmente no tienen nada que ver con la expansión acelerada , sino que son solo una consecuencia de la expansión.

Tenga en cuenta también que la relatividad especial predice la misma dilatación del tiempo; es decir, si las galaxias estuvieran volando por el espacio en lugar de simplemente ser arrastradas por el espacio en expansión, observaríamos la misma relación entre el corrimiento al rojo y la dilatación del tiempo. Sin embargo, la interpretación relativista especial de los desplazamientos al rojo es incompatible con la relación entre los desplazamientos al rojo y las magnitudes de las supernovas, y puede descartarse en$23\sigma$( Davis y Lineweaver 2004 ).

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$^\dagger$_{Esto se puede calcular de la siguiente manera: Hasta que el Universo fue$t_\mathrm{eq}\sim50\,000\,\mathrm{yr}$de edad, correspondiente a un corrimiento al rojo de$z_\mathrm{eq}\simeq3400$( Planck Collaboration et al. 2018 ) su dinámica estuvo dominada por la densidad de energía de la radiación, lo que provocó que el tamaño (factor de escala$a=1/(1+z)$) evolucionar con el tiempo como$a\propto t^{1/2}$. Calculando hacia atrás desde$t_\mathrm{eq}$rendimientos$a\sim10^{-26}$en$t\sim10^{-32}\,\mathrm{s}$, correspondiente a$z\sim10^{26}$.}