Derivación de la resistencia del cable coaxial.

Como se indica aquí , la derivación de la resistencia para cables coaxiales

ingrese la descripción de la imagen aquí

Considere un cable coaxial de longitud L , que consta de un conductor cilíndrico de radio a rodeado por una capa conductora cilíndrica de radio b . El espacio entre los conductores se rellena con un material aislante.
La resistencia a lo largo del cable es considerablemente menor que la resistencia entre los cilindros interior y exterior. Considere la corriente que pasa a través de una secuencia de cascarones cilíndricos de radio r y espesor dr. Cada capa tiene una resistencia. d R dada por

d R = ρ 2 π r L d r
integrando desde r = a a r = b para encontrar la resistencia total da:
R = ∫ a b d R = ρ 2 π L ∫ a b 1 r d r
Por eso
R = ρ 2 π L en ⁡ ( b a )
Generalmente esta resistencia es de varios cientos ohms/mpara minimizar la "corriente de fuga" que pasa a través del material aislante entre los conductores.

La cosa es que parece que no puedo entenderlo, pero sé que lo explicó completamente. Tal vez alguien más leyendo lo entendería. Solo quiero preguntar si alguien podría explicarlo con más detalle. Al igual que puede usar totalmente las mismas variables y derivaciones que se muestran en la imagen, simplemente explíquelo de manera diferente. De esa manera, puedo mirar hacia atrás en la fuente y entender lo que está sucediendo a partir de las explicaciones más detalladas.

Con lo que estoy familiarizado es con la fórmula básica para la resistencia.

R = ρ L A
Según la información, mi pensamiento de valor nominal sobre cómo se representaron las variables es

  • Resistencia : R → d R
  • Resistividad : ρ → ρ
  • Longitud : L → d r
  • Área de la sección transversal: A → 2 π r L

Bueno, creo que está mal en alguna parte. Pienso que el d r se supone que está asociado con el área de la sección transversal. Así que agradecería que se pudieran explicar los análogos de la fórmula original. Puedo hacerme cargo de la resolución a partir de ahí, ya que estoy familiarizado con las fórmulas integrales y el d r / r definitivamente da como resultado que la respuesta tenga un logaritmo natural. a es el límite inferior, el radio del cable y b es el límite superior que es el radio del cable incluyendo el aislamiento.

El profesor quiere que encuentres la resistencia del AISLADOR entre el conductor central y el conductor/protector externo. Esto es tan inusual que te ha dejado boquiabierto. Tuve que leerlo tres veces yo mismo. El problema es que el área de la sección transversal no es uniforme al moverse hacia afuera desde el conductor interno hacia el conductor externo. Entonces tienes que integrar usando shells. Ha pasado demasiado tiempo desde que hice cálculo para preocuparme por eso. Configuraría una cuadrícula en una hoja de cálculo de Excel y lo haría numéricamente si tuviera que resolverlo.
Otro enfoque sería desenrollar conceptualmente el aislador en una hoja. Calcular la resistencia de una placa a otra que atraviesa la lámina. Para el ancho use el promedio geométrico (sqrt(Ci * Co)) donde Ci es la circunferencia interior y Co es la circunferencia exterior. Creo que esto es una aproximación pero te ahorra hacer la integral.

Respuestas (3)

Partiendo de la fórmula básica de la resistencia :

R = ρ L / A considere las capas cilíndricas concéntricas y la longitud del cable G

Queremos calcular la resistencia de un lado al otro de un cascarón cilíndrico delgado de longitud G y espesor dr (corriente que pasa radialmente a través del cascarón).

Entonces L en este caso es el cambio de radio infinitesimal dr

Usaremos la rebanada delgada en la dirección radial porque el radio cambia a medida que avanzamos de adentro hacia afuera y, por lo tanto, la resistencia de una rebanada del mismo grosor dr disminuye a medida que avanzamos hacia afuera, y queremos integrar a lo largo de ese camino para encontrar la resistencia total. Estamos integrando a lo largo del camino que sigue la corriente desde el conductor interior al conductor exterior. Se supone que la resistencia es insignificante a lo largo de los conductores central y exterior.

A es la longitud del cable G multiplicada por la circunferencia, que es 2 π r GRAMO .

entonces d R = ρ d r / ( 2 π r GRAMO )

Sacando las constantes de la integración tenemos:

La resistencia R = ρ 2 π GRAMO ∫ a b 1 r d r

Sabemos que la integral definida es ln(b)-ln(a) = ln(b/a), y obtenemos la solución del sitio.

Así que déjame aclarar esto. Voy a tratar de hacer una explicación simplificada de las representaciones analógicas. Básicamente, para cables regulares, los dos ejes para la sección transversal utilizados son los que forman un círculo, y el eje restante se utiliza para la longitud. En este, solo uno de los ejes originales del círculo se usa para la sección transversal y el otro es el que se usa originalmente para la longitud. Es por eso que el área parece representar una superficie lateral de un cilindro, siendo 2πrh o 2πrG según tu representación. Esto también explica por qué se usa el radio.
Sí. Se usa el radio porque la resistencia de cada rebanada varía según el radio, por lo que queremos integrar a lo largo del radio para obtener el total. También se podría usar el diámetro, con algunos cambios menores.
Pero todavía tengo algunas preguntas. 1) ¿Por qué molestarse en hacer el cambio de eje? Sé cómo tiene que ver con que sea una capa cilíndrica concéntrica, pero no entiendo exactamente por qué. Sé que dijiste algo sobre la corriente que pasa radialmente a través del caparazón, pero me encantaría una explicación más explícita de por qué hacer un cambio tan drástico de la convención de eje habitual que se hace en los cables.
2) ¿Por qué el radio se usa como diferencial y no como exacto? ¿Es porque el radio no es constante? Permítanme aclarar, ¿está obteniendo la resistencia del aislamiento solo correctamente? Porque no estoy seguro de si el radio cambiante se refiere visualmente al círculo interior o al anillo formado por el aislamiento. Le agradecería que su respuesta fuera una edición de la publicación original, ya que podría prolongarse si intenta compararla con las convenciones originales de una manera intuitiva.
Editado. Tenga en cuenta que si la conductividad ρ cambiado a lo largo del camino de un alambre cilíndrico ordinario ( ρ ( X ) ) integraríamos a lo largo del cable para capturar ese cambio y calcular la resistencia total.
Estoy empezando a entenderlo, pero todavía tengo muchas preguntas que hacer si está bien. 1) ¿Estamos usando el radio porque visualmente el tipo de integración que estamos haciendo funciona alrededor del sistema de coordenadas cilíndricas? 2) Para aclarar, la resistencia a la que se refiere el problema es solo el caparazón. Es la porción de color azul en la figura, ¿verdad? ¿La parte roja y el espacio abierto blanco en el medio no cuentan? 3) ¿Cómo funcionaría la integración si la conductividad también cambiara? ¿Habría dos diferenciales, $ dρ dr $?
Si la conductividad cambiara solo en función del radio ρ ( r ) tendría que estar incluido en la integración en lugar de sacarlo a la izquierda. Si cambiara a lo largo, entonces sería más complejo (y probablemente tendría que hacerse numéricamente porque se perdería la simetría).
Entonces sería una integral doble, ¿verdad? Lo siento si tuve que aclarar. También quería preguntar si mis conceptos de las preguntas 1 y 2 anteriores eran correctos. "1) ¿Estamos usando el radio porque visualmente el tipo de integración que estamos haciendo funciona alrededor del sistema de coordenadas cilíndricas? 2) Para aclarar, la resistencia relacionada con el problema es solo la capa. Es la parte de color azul en la figura de la derecha ? ¿La parte roja y el espacio blanco abierto en el medio no cuentan?"
En mi ejemplo rho(radio), no una integral doble. Integral simple con dos funciones. Si necesita integrales dobles, probablemente deba usar un solucionador de campo porque la corriente no fluirá de manera directa.

La declaración "Generalmente, esta resistencia es de varios cientos de ohmios/m para minimizar [fugas]" es engañosa en al menos dos formas.

Primero está el problema de las unidades. La unidad "ohms/m" implica que hay una resistencia que aumenta con la distancia. Sin embargo, la resistencia a la fuga disminuye con la distancia. La unidad debe ser ohmios-metros o, lo que es más común, conductancia por unidad de longitud, como S/m.

En segundo lugar, referirse a la resistencia como varios cientos de ohmios/m, incluso si las unidades fueran correctas, subestima enormemente la magnitud de la resistencia. 10 15 ohm-m o 10 − 15 S/m estaría más cerca de la resistencia de fuga de un cable coaxial típico.

Como han señalado los comentarios, el cálculo de la conductancia/longitud a partir de la resistividad del material aislante requiere la integración sobre un área, pero la fórmula se proporciona en el problema.

Hmm, ¿estás seguro de 1e15 ohm m? Tengo la impresión de que la fuga del cable ya se considera problemática para las mediciones con DUT en el rango de gigaohmios más alto. ¿O es realmente la capacitancia del cable la que se convierte en el problema debido a un RC extremadamente largo?
@tobalt Muchos fabricantes de cables coaxiales no incluyen la conductancia de fuga en sus especificaciones. HELUKABEL helukabel.com/cnen/products/… sin embargo, enumera un valor para la "resistencia de aislamiento mínima" de 10 ^ 5 Mohms-km. (La versión web parece 105, pero la hoja de datos en PDF muestra claramente el 5 en posición de exponente, es decir, 10^5). Lo que equivale a 10^14 ohmios-metro. Lo que no está claro a partir de la especificación es si esto se refiere a la resistencia del dieléctrico o de la cubierta exterior. Por el contexto, sospecharía lo primero, pero no estoy seguro. Buscará más fabricantes.

Bien, entonces la fórmula normal para la resistencia, o la forma en que la encuentras, es integrar a lo largo del camino que toma la corriente. Si la corriente fluye en la dirección +x, integra sobre x. Cada tramo que integres tiene una resistencia de rho/A*dx. A es el área de la sección transversal del conductor. NORMALMENTE en estos problemas, A es uniforme. Una constante. Eso se puede sacar al frente antes de hacer la integral. Entonces es apenas una integral y solo multiplicas rho por la extensión en x, y divides por el área. Por lo general, Rtotal es solo rho * longitud / área.

Pero en nuestro caso, tenemos una sección transversal no uniforme por lo que la integral es más complicada. Además, dado que la corriente no fluye a lo largo de L, terminamos usando L en un lugar diferente, lo que también es confuso.

Entonces, ¿cuáles son los análogos? En lugar de dx, tenemos dr porque la corriente fluye hacia afuera radialmente. En lugar de A tenemos circunferencia * longitud. Entonces eso es A = (2 * pi * r * L).

Así que ahora nuestra expresión toma forma. Es sólo:

Rshell = (rho / (2 * pi * r * L) ) dr

Solo vas a integrar de r = a a r = b. Todo es constante excepto dr/r, por lo que rho / (2 * pi * r * L) se saca al frente. Si asumimos que L es 1 metro, entonces desaparece.

No estoy seguro de si eso tiene más sentido para ti. La clave es que estás integrando a lo largo del camino de la corriente y divides por el área de la sección transversal de ese camino.

Hasta ahora no he aprendido mathjax. Siéntete libre de arreglarlo.

Derivación de la resistencia del cable coaxial.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v