derivación de la función de masa binaria para órbita excéntrica

Question

derivación de la función de masa binaria para órbita excéntrica

Espacio
órbita excéntrica
velocidad radial

Kyle

Al investigar métodos para detectar exoplanetas, aprendí sobre la función de masa binaria (BMF) que podría aplicarse para obtener la velocidad radial y la masa. He derivado BMF para una órbita circular, pero obtengo una respuesta incorrecta cuando se trata de una órbita excéntrica.

\frac{{METRO}_{2}^{3}}{{METRO}_{t o t}^{2}} = \frac{4 π^{2}}{GRAMO {PAG}^{2}} a_{1}^{3}

$\frac{M_2^3}{M_{tot}^2}=\frac{4\pi^2}{G P^2}a_1^3 \\$ de:

- \frac{GRAMO {METRO}_{1} {METRO}_{2}}{a (1 - mi)} + \frac{1}{2} {METRO}_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} {METRO}_{2} v_{2}^{2} = - \frac{GRAMO {METRO}_{1} {METRO}_{2}}{a (1 + mi)} + \frac{1}{2} {METRO}_{1} v_{1}^{^{'} 2} + \frac{1}{2} {METRO}_{2} v_{2}^{^{'} 2} {METRO}_{1} v_{1} a_{1} (1 - mi) = {METRO}_{1} v_{1}^{^{'}} a_{1} (1 + mi) {METRO}_{2} v_{2} a_{2} (1 - mi) = {METRO}_{2} v_{2}^{^{'}} a_{2} (1 + mi) {METRO}_{1} v_{1} = {METRO}_{2} v_{2} a = a_{1} \frac{{METRO}_{t o t}}{{METRO}_{2}}

$-\frac{GM_1M_2}{a(1-e)}+ \frac{1}{2}M_1v_1^2 + \frac{1}{2}M_2v_2^2 =-\frac{GM_1M_2}{a(1+e)}+ \frac{1}{2}M_1v_1^{{'2}} + \frac{1}{2}M_2v_2^{'2} \\ M_1v_1a_1(1-e)=M_1v_1^{'}a_1(1+e)\\ M_2v_2a_2(1-e)=M_2v_2^{'}a_2(1+e)\\ M_1v_1=M_2v_2\\ a = a_1\frac{M_{tot}}{M_2}$ Obtuve:

a_{1} = \frac{1 + mi}{1 - mi} \frac{GRAMO {METRO}_{2}^{3}}{{METRO}_{t o t}^{2} v_{1}^{2}}

$a_1=\frac{1+e}{1-e}\frac{GM_2^3}{M_{tot}^2 v_1^2}$ entonces:

\frac{{METRO}_{2}^{3}}{{METRO}_{t o t}^{2}} = \frac{PAG v_{1}^{3}}{2 π GRAMO} (\frac{1 - mi}{1 + mi})^{3 / 2} = \frac{PAG k^{3}}{2 π GRAMO {pecado}^{3} i} (\frac{1 - mi}{1 + mi})^{3 / 2}

$\frac{M_2^3}{M_{tot}^2}=\frac{Pv_1^3}{2\pi G}(\frac{1-e}{1+e})^{3/2}=\frac{PK^3}{2\pi G \sin^3 i}(\frac{1-e}{1+e})^{3/2}$ Sin embargo, el resultado de Wikipedia es:

F = \frac{{METRO}_{2}^{3} {pecado}^{3} i}{{METRO}_{t o t}^{2}} = \frac{PAG k^{3}}{2 π GRAMO} (1 - {mi}^{2})^{3 / 2}

$f = \frac{M_2^3 \sin^3 i}{M_{tot}^2} = \frac{P K^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}$

Me pregunto qué está mal con mi cálculo...

pierre paquette

Hola y bienvenido a Astronomy SE. ¿Cuál es exactamente tu pregunta aquí?

UH oh

@PierrePaquette la pregunta se ha actualizado muy bien; Creo que fue publicado accidentalmente antes de que estuviera terminado.

Respuestas (1)

derivación de la función de masa binaria para órbita excéntrica

Hola y bienvenido a Astronomy SE. ¿Cuál es exactamente tu pregunta aquí?
@PierrePaquette la pregunta se ha actualizado muy bien; Creo que fue publicado accidentalmente antes de que estuviera terminado.

Kyle · Answer 1

Traté de encontrar una derivación detallada en línea después de mi falla. Finalmente lo encontré en The Exoplanet Handbook de Michael Perryman :

En realidad, K, o la llamada semiamplitud de velocidad radial , no es la velocidad radial máxima (que entendí antes) sino algún tipo de amplitud de la fluctuación de la velocidad radial . Y debe ser considerado en el espacio 3D.
sea z = posición de la estrella solo la línea de visión = $r(t) \sin(\omega + \theta)\sin i$

entonces la velocidad radial $v_r = \dot{z} = \sin{i}[\dot{r}\sin(\omega + \theta)+r \dot{\theta}\cos(\omega+\theta)]$ .
por otro lado, tenemos:

r = \frac{a_{1} (1 - {mi}^{2})}{1 + mi porque θ} porque θ = \frac{porque mi - mi}{1 - mi porque mi} mi - mi pecado mi = \frac{2 π}{PAG} t

$r = \frac{a_1(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}} \\ \cos{\theta} = \frac{\cos{E}-e}{1-e\cos{E}} \\ E - e\sin{E} = \frac{2\pi}{P}t$ dónde

E = E (t)

$E=E(t)$ es la llamada anomalía excéntrica .
Después de un largo cálculo, obtenemos:

v_{r} (t) = \frac{2 π a_{1}}{PAG} \frac{pecado i}{\sqrt{1 - {mi}^{2}}} [mi porque ω + porque (ω + θ (t))]

$v_r(t) = \frac{2\pi a_1}{P}\frac{\sin{i}}{\sqrt{1-e^2}}[e\cos{\omega} + \cos(\omega + \theta(t))]$ y aquí aparece K (amplitud):

k = \frac{2 π a_{1}}{PAG} \frac{pecado i}{\sqrt{1 - {mi}^{2}}}

$K = \frac{2\pi a_1}{P}\frac{\sin{i}}{\sqrt{1-e^2}}$
usa esto para sustituir

a_{1}

$a_1$ en la Tercera Ley de Kepler:

\frac{{METRO}_{2}^{3}}{{METRO}_{t o t}^{2}} = \frac{4 π^{2}}{GRAMO {PAG}^{2}} a_{1}^{3}

$\frac{M_2^3}{M^2_{tot}}=\frac{4π^2}{GP^2}a_1^3$ por fin hay:

\frac{{METRO}_{2}^{3} {pecado}^{3} i}{{METRO}_{t o t}^{2}} = \frac{PAG k^{3}}{2 π GRAMO} (1 - {mi}^{2})^{3 / 2}

$\frac{M_2^3 \sin^3 i}{M_{tot}^2}=\frac{PK^3}{2\pi G}(1-e^2)^{3/2}$

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Kyle

pierre paquette

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Kyle

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