Derivación de la frecuencia de corte y el cambio de fase para el filtro de paso bajo RC

La frecuencia de corte o frecuencia de 3 dB se define como la frecuencia de la señal de entrada en la que la magnitud de la señal de salida se reduce a$1/\sqrt2$de la entrada, o la potencia se reduce a la mitad (es decir, en 3 dBs).

Un circuito RC simple:

$$V_{out} = V_{in}. \frac {-jX_c}{R-jX_c}$$

Según nuestra definición anterior, a la frecuencia de corte$f_o$,$\frac {-jX_c}{R-jX_c}$debe ser igual a$1/\sqrt2$

es decir,

$$\frac{-jX_c}{R -jX_c} = \frac{1}{\sqrt2}$$ tomando magnitud de la expresión compleja: $$=> \frac {X_c}{\sqrt {R^2+X_c^2}} = \frac{1}{\sqrt2}$$ $$=> \frac {1}{\sqrt{(R^2/X_c^2)+1}} = \frac{1}{\sqrt2}$$ $$=> (R^2/X_c^2) = 1$$ $$=> R = X_c$$ $$=> R = \frac{1}{Cw_o}$$ $$=> w_o = \frac {1}{RC}$$ $$=> f_o = 1/2 \pi RC$$

para números complejos, fase de$a+ jb = tan^{-1}(b/a)$,$V_{out}$es una expresión compleja, de ahí su fase$\phi$sería:

$$\angle \frac {tan^{-1}(-\infty)}{tan^{-1}(-X_c/R)}$$ $$= \angle\frac {-tan^{-1}\infty}{-tan^{-1}(X_c/R)}$$ $$= -\frac{\pi}{2} + tan^{-1}(X_c/R)$$ usando la expresión,$tan^{-1}x + tan^{-1}(1/x) = \pi/2$ $$=> \phi = -tan^{-1}(R/X_c) = -tan^{-1}(wRC)$$