Demostración para obtener Matter Power Spectrum en cosmología

Question

Demostración para obtener Matter Power Spectrum en cosmología

Espacio
densidad
espectros
cosmología
energía oscura
materia oscura

youpilat13

Me gustaría demostrar la expresión del espectro de energía en cosmología:

Primero, tengo el contraste relativo:

d_{i} (\vec{X}, z) \equiv ρ_{i} (\vec{X}, z) / {\bar{ρ}}_{i} (z) - 1 (1)

$\delta_{i}(\vec{x}, z) \equiv \rho_{i}(\vec{x}, z) / \bar{\rho}_{i}(z)-1\quad(1)$

Después, descomponemos este contraste relativo en base de Fourrier:

d_{i} (\vec{X}, z) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} {\tilde{d}}_{i} (\vec{k}, z) Exp (i \vec{k} \cdot \vec{X}) (2)

$\delta_{i}(\vec{x}, z)=\int \frac{\mathrm{d}^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \tilde{\delta}_{i}(\vec{k}, z) \exp (\mathrm{i} \vec{k} \cdot \vec{x})\quad(2)$

y finalmente, cómo encontrar la siguiente expresión (3) a partir de (1) y (2):

⟨ {\tilde{d}}_{i} (\vec{k}, z) {\tilde{d}}_{i} ({\vec{k}}^{'}, z) ⟩ = (2 π)^{3} d_{D} (\vec{k} + {\vec{k}}^{'}) {PAG}_{i} (\vec{k}, z) (3)

$\left\langle\tilde{\delta}_{i}(\vec{k}, z) \tilde{\delta}_{i}\left(\vec{k}^{\prime},z\right)\right\rangle=(2 \pi)^{3} \delta_{\mathrm{D}}\left(\vec{k}+\vec{k}^{\prime}\right) P_{i}(\vec{k}, z)\quad(3)$

?

Cualquier ayuda es bienvenida.

Respuestas (1)

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ry zhao · Answer 1

Esto es solo una transformada de Fourier: (sea $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1$ )

\begin{aligned} ⟨ d (k_{1}) d (k_{2}) ⟩ & = \int \int d^{3} r_{1} d^{3} r_{2} ⟨ d (r_{1}) d (r_{2}) ⟩ {mi}^{- i k_{1} \cdot r_{1}} {mi}^{- i k_{2} \cdot r_{2}} \\ = \int d^{3} r_{1} {mi}^{- i k_{1} \cdot r_{1}} \int d^{3} r_{2} ⟨ d (r_{1}) d (r_{2}) ⟩ {mi}^{- i k_{2} \cdot r_{2}} \\ = \int d^{3} r_{1} {mi}^{- i k_{1} \cdot r_{1}} \int d^{3} X ⟨ d (r_{1}) d (r_{1} + X) ⟩ {mi}^{- i k_{2} \cdot (r_{1} + X)} \\ = \int {mi}^{- i (k_{1} + k_{2}) \cdot r_{1}} d^{3} r_{1} \int ξ (X) {mi}^{- i k_{2} \cdot X} d^{3} X \\ = (2 π)^{3} d_{D} (k_{1} + k_{2}) PAG (k_{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \langle \delta(\boldsymbol{k}_1)\delta(\boldsymbol{k}_2) \rangle&=\int\int d^3r_1d^3r_2\langle \delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2) \rangle e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int d^3r_1 e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}\int d^3r_2\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2)\rangle e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int d^3r_1 e^{-i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}\int d^3x\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{x})\rangle e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot(\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{x})}\\ &=\int e^{-i(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)\cdot\boldsymbol{r}_1}d^3r_1\int\xi(\boldsymbol{x})e^{-i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{x}}d^3x\\ &=(2\pi)^3\delta_D(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)P(\boldsymbol{k}_2) \end{aligned}$

Aquí, $\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2\rangle)$ es la función de correlación de dos puntos (2pcf) en el espacio real. Si asumimos que nuestro universo es estadísticamente homogéneo, $\langle\delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2\rangle)$ debe tener la forma $\xi(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)$ . Entonces, el espectro de potencia es la transformada de Fourier de 2pcf.

Además, si asumimos que nuestro universo es estadísticamente isotrópico (no es cierto en el espacio de corrimiento al rojo), 2pcf puede ser $\xi(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)$ y el espectro de potencia puede ser $P(k)$ .

Zhao: Gracias. ¿Qué truco usas en integrales para pasar de la primera línea a la segunda línea en tu demostración?
$\begin{aligned} \langle \delta(\boldsymbol{k}_1)\delta(\boldsymbol{k}_2) \rangle&=\int\int d^3r_1d^3r_2\langle \delta(\boldsymbol{r}_1)\delta(\boldsymbol{r}_2) \rangle e^{i\boldsymbol{k}_1\cdot\boldsymbol{r}_1}e^{i\boldsymbol{k}_2\cdot\boldsymbol{r}_2}\\ &=\int e^{i(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)\cdot\boldsymbol{r}_1}d^3r_1\int\xi(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)e^{i\boldsymbol{k}_2\cdot(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)}d^3(r_1-r_2)\\ &=(2\pi)^3\delta_D(\boldsymbol{k}_1+\boldsymbol{k}_2)P(\boldsymbol{k}_2) \end{aligned}$ ? Atentamente.
@youpilat13: Gracias por sus comentarios, arreglé mi notación de Fourier y mejoré la derivación. ¡Espero que esto ayude!

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youpilat13

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ry zhao

youpilat13

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ry zhao

youpilat13

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