Definición/Significado de corriente constante

He visto 2 (o 3) definiciones de corriente estacionaria.

Definición 1:$\quad\frac{\partial}{\partial t}\rho = 0$o$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$

Esto significa, como se esperaba, que la corriente a través de una superficie cerrada arbitraria es$I = \oint \mathbf{J}\,d\mathbf{S} = 0$. Si consideramos un cilindro infinito (un cable), concluimos que la corriente a través de cualquier sección transversal perpendicular es la misma. Si$\hat{x}$es la dirección a lo largo del cilindro,$\frac{\partial}{\partial x} I = 0$. Esto me parece, al menos, extraño. Dado que generalmente "estacionario" significa tiempo de escritura constante. Wikipedia (en español) y los Fundamentos de la teoría electromagnética de Mildford-Reitz apoyan esta definición.

Definición 2: $\quad\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{J} = \vec{0}$

lo que implicaría$\frac{\partial}{\partial t} I = 0$para cualquier superficie. Sin embargo, si consideramos una superficie cerrada y$I\neq 0$, habrá una acumulación ($I<0$) o una ¿disipación? ($I>0$) de cargos. Este es un "problema" inevitable de esta definición, ¿no es así?

Hay una tercera definición. En el párrafo 5.2.1 de Introducción a la electrodinámica de David Griffiths, el autor afirma

Cargas estacionarias ⇒ campos eléctricos constantes: electrostática.
Corrientes estacionarias ⇒ campos magnéticos constantes: magnetostática.
Por corriente constante me refiero a un flujo continuo que ha estado ocurriendo desde siempre, sin cambios y sin acumulaciones de carga en ninguna parte. (Algunas personas las llaman "corrientes estacionarias"; para mi oído, eso es una contradicción en los términos). Formalmente, la electro/magnetostática es el régimen
∂ρ/∂t = 0, ∂J/∂t = 0, (5.32)
en absoluto lugares y todos los tiempos.

De ahí parece que el autor define corriente estacionaria como ambas definiciones juntas. "sin acumulación de carga en ningún lugar" (definición 1) y "∂J/∂t = 0" (definición 2).

Sé que la definición 2 es una condición suficiente para la magnetostática, la definición 1 para la electrostática y ambas son necesarias para la electromagnetostática. Estas me parecen condiciones completamente diferentes, no relacionadas de ninguna manera, con implicaciones muy diferentes. Tomar ambas definiciones juntas podría ser una solución, pero no lo he visto en ningún lado. Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo aquí.