Dado que la transformación z de la retención de orden cero es 1, ¿por qué molestarse en incluirla en el análisis o la simulación?

El ZOH TF anterior es un enlace entre dominios continuos y discretos en sistemas híbridos. Este es el mecanismo más conveniente para representar un sistema híbrido en forma de función de transferencia. Por supuesto, no existe una relación de uno a uno entre$s$y$z$dominios, por lo tanto, es una conveniencia matemática. En la relación anterior, el término exponencial debe ser negativo (no positivo como se indica), dando un$z$-equivalente de$1-\exp(-sT)$como$(z -1)/z$ser incluido con bloques puramente discretos (filtros, etc.) y el$1/s$parte de la ZOH debe incluirse con la otra parte continua$s$-bloques. El$s$-TF de los elementos continuos se transforma luego en el$z$-dominio, dando un total$z$-TF.

Si a alguien le importa, es interesante hacer la transformación z de ZOH a una tasa DIFERENTE. En otras palabras, digamos que tiene una señal digital$X_{in}$que se digitaliza a 50 Hz, por lo que$T_1 = 0.02 \mathrm{s}$, cada muestra de la señal está separada por 20 ms. Digamos que tiene un programa de computadora que está operando con esta señal a 100 Hz (dejemos$T_2 = 0.01 \mathrm{s}$). Lo que está pasando en la computadora es que una variable$X_{in}$que cambia cada 20 ms está siendo muestreado por su programa cada 10 ms y se realiza alguna operación que produce una salida$X_{out}$. Dado que el valor de$X_{in}$simplemente mantiene su valor hasta que cambia cada 20 ms, puede considerar que esto es un ZOH:

$(1 - e^{-sT_1})/s$

Ahora, tienes que volver a digitalizar en el$1/T_2$tasa. El numerador simplemente se convierte en

$(1-z_1^{-1})$

y el numerador (a través de la transformación s-to-Z):

$\frac{1}{(1-z_2^{-1})}$

Resultando en:

$\frac{(1-z_1^{-1})}{(1-z_2^{-1})}$

Déjame retroceder un poco y definir$z_1$y$z_2$.

Dado que, en general,$z = e^{-sT}$, definir$z_1 = e^{-sT_1}$, y$z_2 = e^{-sT_2}$

Señalando que$T_1 = 2 T_2$,$z_1 = e^{-sT_1} = e^{-s2T_2} = e^{2(-sT_2)} = z_2^2$

sustituto$z_2^2$para$z_1$:

$\frac{1-z_1^{-1}}{1-z_2^{-1}} = \frac{1-z_2^{-2}}{1-z_2^{-1}} = \frac{(1-z_2^{-1})(1+z_2^{-1})}{1-z_2^{-1}} = 1+z_2^{-1}$

Entonces, el resultado final es realmente muy intuitivo cuando lo piensas. El programa que está sobremuestreando$X_{in}$de 50 a 100 Hz es simplemente tomar la copia original$X_{in}$(la parte '1' del resultado) y añadiéndole una copia de la misma muestra retrasada por uno$T_2$paso de muestra (el$z_2^{-1}$parte). Un ejemplo sencillo:

Decir$X_{in} = [1;2;3;4]$, con espaciamiento muestral de$T = 20\mathrm{ms}$Entonces$X_{in}$sobremuestreado con el ZOH se vería como

$X_{inupzoh} = [1;1;2;2;3;3;4;4]$con espaciamiento muestral de$T = 10\mathrm{ms}$

TENGA EN CUENTA, que SIN el ZOH, (digamos$X_{in}$se borraba cada vez que se leía), la muestra aumentada$X_{in}$sería:

$X_{inup} = [1;0;2;0;3;0;4;0]$

Ahora, la parte divertida (si se quedó conmigo): si tiene acceso a una herramienta (como Matlab) para hacer diagramas de ffts y bode:

hacer el fft de$X_{in}=[1;2;3;4]$, así como$X_{inup}$y$X_{inupzoh}$. Puede mirar las partes reales e imágenes de los resultados de fft o convertir los resultados de fft a magnitud y fase y ver los resultados sorprendentes.

Lo que debería ver es que el sobremuestreo sin un ZOH simplemente mueve la frecuencia de Nyquist. Tienes que recordar que el espectro de una señal digital es periódico e infinito , eso quiere decir que aunque normalmente solo miramos el espectro de$0$a$\frac{T_s}{2}$, ese espectro en realidad se repite cada$\frac{kT_s}{2}$en el eje de frecuencia. El muestreo superior sin el ZOH en realidad no cambió la señal (solo insertó ceros), pero SÍ movió la frecuencia de Nyquist. Entonces puede ver que AGREGAR otra copia de la señal retrasada por un punto de muestra tiene un efecto interesante de ganancia Y fase. A bajas frecuencias, la ganancia se duplica, y la ganancia no llega a la unidad hasta que$\frac{2}{3}\times 50\mathrm{Hz}$y se cae después de eso. Este es un efecto muy real que PUEDE causar problemas para algunos sistemas de control que son sensibles a la ganancia y/o fase.

La reducción de resolución es un poco más complicada matemáticamente... Ya he escrito demasiado...