¿Cuándo estuvo la radiación cósmica de fondo en el espectro visible?

En realidad, la "última superficie de dispersión" del CMB corresponde a la transición del medio interestelar/intergaláctico de un plasma ionizado a átomos neutros más fríos, unos 300 000 años después del Big Bang. La mayoría de los átomos tienen energías de excitación e ionización en el visible, por lo que el CMB probablemente era visible cuando se formó.

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Podemos ser un poco más precisos al respecto. Los fotones más brillantes en un espectro de cuerpo negro tienen energía $E=xkT$, dónde $x\approx3$si quiere decir "más brillante por unidad de energía", y $x\approx5$si te refieres a "más brillante por unidad de longitud de onda". Por ejemplo, la temperatura de la superficie del sol es de 0,5 eV, por lo que es más brillante alrededor de 2 eV.

El gas de cuerpo negro primordial de los fotones habría estado estrechamente acoplado al hidrógeno en el universo hasta que los fotones por encima de 13,6 eV se volvieron raros; esto habría sucedido cuando la energía de los fotones más comunes cayó alrededor de 4 a 8 eV, que está bastante lejos en el ultravioleta. Sin embargo, la temperatura de un cuerpo negro con este espectro (kT ≈ 1,5 eV) es comparable a la superficie de la estrella Bellatrix . Vale la pena señalar que a esta temperatura todavía hay una fracción pequeña pero no despreciable de iones de hidrógeno e hidrógeno en estados excitados.

Hay una muy buena razón por la que la temperatura del CMB en la última dispersión debería ser comparable a la temperatura de una superficie estelar: ¡es la misma física! La fotosfera de una estrella es la última superficie de dispersión de un gas de fotones acoplados a una mezcla de hidrógeno y helio que (en su mayoría) se vuelve más caliente y más denso a medida que se profundiza en la estrella; debajo de la fotosfera, las temperaturas del gas fotónico y el plasma de materia están acopladas, mientras que más allá de la fotosfera, los fotones son libres.

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Un comentarista señala que en realidad nunca respondí la pregunta en cuestión: ¿ cuándo habría sido visible el CMB? Respondí que comenzó visible, pero también es interesante cuánto tiempo habría durado.

De otra pregunta de Physics.SE tenemos la relación (aproximada)

$$T(z) = T_0 (1 + z) \approx T_0\left(\frac{t}{t_\text{now}}\right)^{-2/3}$$ entre la temperatura CMB actual $T_0$, la temperatura CMB $T(z)$visto por un observador en corrimiento al rojo $z$y la edad del universo $t$calculado por ese observador, en comparación con su edad actual $t_\text{now} = 13.6\rm\,Gyr$. Si consideramos que "brillante visiblemente" significa "a la temperatura de Draper ", eso fue en el momento $$t = \left(\frac{T_0}{T_\text{glow}}\right)^{3/2} t_\text{now} %= \left(\frac{2.7\rm\,K}{800\rm\,K}\right)^{3/2} t_\text{now} %= 2.0\times10^{-4} t_\text{now} = 2.7\rm\,Myr.$$ Esto fue antes de las estrellas , y por lo tanto antes de los metales y los planetas. La intensidad habría sido la misma que cualquier otro cuerpo negro brillante apenas visible, como una estufa eléctrica caliente.

El CMB fue emitido a una energía de$E_{em}=13.6\text{ eV}$, que es la energía de enlace del hidrógeno. Esto corresponde a una longitud de onda de

$$\lambda_{em} = \frac{hc}{E_{em}} \approx 9.12\times 10^{-8}\text{ m}$$

El corrimiento al rojo puede ser calculado por

$$1+z = \frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{em}}$$

Si observamos la luz azul a 400 nm, obtenemos un desplazamiento al rojo correspondiente de aproximadamente$z_{blue} = \lambda_{blue}/\lambda_{em} -1 =3.4$. Para la luz roja a 700 nm, obtenemos$z_{red} = 6.7$.

El factor de escala del universo (la cantidad en la que se ha expandido) está relacionado con el corrimiento al rojo por

$$\frac{a_\text{obs}}{a_\text{em}} = 1+z$$

Para un universo plano dominado por materia tenemos$\rho a^3=\text{constant}$de modo que la ecuación de Friedmann se convierte en

$$\left(\frac{\dot{a}_\text{obs}}{a_\text{obs}}\right)^2=\frac{8\pi G\rho_\text{obs}}{3}=\frac{8\pi G\rho_\text{em}}{3}a_\text{em}^3a_\text{obs}^{-3}=H_\text{em}^2a^3_\text{em}a_\text{obs}^{-3}$$ donde usamos $H^2=8\pi G \rho/3$. Resolviendo esta ecuación diferencial para $a$e imponiendo que $a_\text{obs}=0$en $t=0$(el Big Bang) produce

$$\left(\frac{a_\text{obs}}{a_\text{em}}\right) = \left ( \frac{3 H_\text{em} t}{2} \right ) ^{\!2/3}$$ Resolvemos para $t$, obteniendo $$t = \frac{2}{3 H_\text{em}}\left(\frac{a_\text{obs}}{a_\text{em}}\right)^{3/2}$$ Desafortunadamente, esto no parece permitirnos obtener un número real para nuestra estimación, ya que $H_\text{em}$no es conocido...