¿Cuáles son las verdaderas frecuencias de las teclas del piano?

Sí, tiene razón, las frecuencias "verdaderas" diferirán de un piano a otro.

Además de las respuestas ya dadas aquí, me gustaría agregar más información sobre la falta de armonía . La cantidad de compensación o "afinación extendida" para las cuerdas de un piano acústico variará según el tamaño y el tipo del piano. Será diferente para una espineta, vertical, de media cola, de cola o de cola de concierto. Por lo tanto, no existe una fórmula estricta para todos los pianos acústicos.

Discusión de afinación estirada e inarmonía en Wikipedia .

En el artículo sobre Piano Tuning en Wikipedia , encontramos esta cita:

La cantidad de estiramiento [en tono] necesaria para lograr esto es una función de la escala de la cuerda , una determinación compleja basada en la tensión, la longitud y el diámetro de la cuerda.

Con los diferentes tamaños de pianos que mencioné anteriormente, cada tipo diferente de piano tendrá un conjunto diferente de cuerdas con diferentes conjuntos de longitud, grosor de la cuerda central y grosor de los devanados en las cuerdas bajas. Esto dará como resultado diferentes cantidades de tensión para las cuerdas utilizadas para producir un tono dado, entre diferentes marcas, modelos y tamaños de pianos. Nuevamente, esto ilustra que no existe una "lista única de frecuencias verdaderas" para un piano acústico.

Un afinador de pianos profesional sabe que la afinación exacta que se requiere variará con cada piano con el que trabaje. Afinar cada piano acústico es un proceso interactivo que requiere mucho tiempo y no depende completamente de un conjunto fijo de tonos o frecuencias exactos.

La figura en el artículo de Wikipedia le dice lo que está preguntando, si está dispuesto a tabular las desviaciones leyendo la línea verde.

El eje vertical es el número de centésimas que la tecla está afinada lejos del temperamento igual, por ejemplo, la C dos octavas por encima de A440 (C7) tiene unas 10 centésimas agudas, es decir, la frecuencia es un factor de 2 ^10/1200 agudas, o la frecuencia real la frecuencia es

   f = 440 * 4 * 2 3/12 * 2 10/1200 = 2105,13 Hz

(nota: un C7 templado igual es 2093 Hz)

el factor son:

1. la referencia de afinación 440 Hz,
2. subir dos octavas, un factor de 4
3. sube 3 semitonos, un factor de 2 ^3/12
4. aplicar la corrección de afinación, un factor de 2 ^10/12000

Si la línea verde fuera plana en cero, todas las teclas estarían afinadas con el mismo temperamento.

¿Estás haciendo esta pregunta porque estás escribiendo un sintetizador? Ese tipo de detalle ayudará a la respuesta que obtengas...

Si está trabajando en un sintetizador sustractivo basado en muestras simples, los ajustes de las frecuencias ya están hechos por el conjunto de muestras que tiene. Entonces, a menos que esté tratando de hacer una síntesis de modelado físico, puede ignorar la compensación.

La pregunta es en realidad contraproducente. El problema es que, en primer lugar, la razón por la que la afinación de un piano se estira es la falta de armonía, lo que significa que las ondas sinusoidales que constituyen los diversos armónicos que viajan por la cuerda no son simples múltiplos de la fundamental.

Como resultado, la señal compuesta ni siquiera es periódica en su conjunto, por lo que hablar de su "frecuencia" es algo engañoso. Por supuesto, el componente más fuerte será la onda sinoidal fundamental de la vibración de modo de cuerda más simple, pero si repite una señal muestreada a esa frecuencia, la falta de armonía será reemplazada por artefactos de borde y los armónicos resultantes se tambalearán.

En caso de que esta pregunta se haya hecho en el contexto de la síntesis de sonido: necesitará varios osciladores por tecla en diferentes frecuencias para gestionar la falta de armonía correctamente.

Si crea una señal verdaderamente periódica con una sola frecuencia para la síntesis, una afinación estirada no tendrá sentido.

Como admite la pregunta misma, no hay una respuesta matemática "verdadera" a la pregunta, ya que la mejor afinación varía de un piano a otro. Pero se puede usar una fórmula que incluya un término cuadrático para dar una aproximación de la curva de Railsback. Por lo tanto, es probable que se ajuste mejor a la mayoría de los pianos de lo que sería el temperamento igual.

Fuente: Investigación original. (Soy un músico aficionado con un título en matemáticas). Las correcciones son bienvenidas.

• Suposición n.° 1: la octava alrededor del do central (o do 4) tiene aproximadamente el mismo temperamento.
• Suposición n.º 2: debido a la falta de armonía de las cuerdas, cada octava por encima o por debajo del do central debe "estirarse" gradualmente más que la octava anterior.

Defina un "factor de extensión" s en semitonos por octava. Luego, cada nota n , en semitonos por encima del Do central, debe afinarse (s/2)(n/12)^2semitonos más agudos que el temperamento igual (y cada nota por debajo del Do central más bemol en la misma cantidad).

Para mi piano, un factor de estiramiento de s = 0,05 semitonos (o 5 centésimas) parece funcionar bien. En otras palabras, la octava alrededor de C5 se afinará 5 centésimas más que el temperamento igual, la octava alrededor de C6 se afinará 10 centésimas más, y así sucesivamente. Usando la fórmula anterior, encontramos que cada C por encima y por debajo del C central debe afinarse de la siguiente manera:

C5: 2.5 cents sharp (5/2)
C6: 10 cents sharp (5 + 10/2)
C7: 22.5 cents sharp (5 + 10 + 15/2)
C8: 40 cents sharp (5 + 10 + 15 + 20/2)

Ahora, ¿cómo obtenemos frecuencias reales de esto?

En una afinación de temperamento igual, la frecuencia de una nota n es x = C4 * 2^(n/12)Hz. Agregando nuestro término de ajuste, obtenemos x = C4 * 2^((n + (s/2)(n/12)^2) / 12)Hz. (Las notas debajo del Do central deben ser bemol en lugar de agudas, así que reste el término de ajuste en lugar de sumarlo).

Para el tono de concierto (A = 440 Hz), la frecuencia correcta para el Do central depende de la elección del factor de extensión s . Sustituya x = 440 Hz y n = 9 semitonos en la fórmula anterior, luego resuelva para C4. Para s = 0,05, la frecuencia correcta es 261,41 Hz.

Reemplazando ese valor para C4 nuevamente en la fórmula, podemos calcular:

C1: 32.25 Hz (flatter than E.T. @ 32.70 Hz)
C2: 64.98 Hz (flatter than E.T. @ 65.41 Hz)
C3: 130.52 Hz (flatter than E.T. @ 130.81 Hz)
C4: 261.41 Hz (flatter than E.T. @ 261.63 Hz)
C5: 523.58 Hz (sharper than E.T. @ 523.25 Hz)
C6: 1051.71 Hz (sharper than E.T. @ 1046.50 Hz)
C7: 2118.66 Hz (sharper than E.T. @ 2093.00 Hz)

Y así.

Solo para ampliar un punto que creo que es importante, y la razón por la que creo que aprender frecuencias es semi-inútil:

Como dijo supercat en su comentario @ Respuesta de Dave, cada cuerda vibrará en múltiples frecuencias.
Modo físico encendido:
en teoría, si la cuerda estuviera hecha de un material perfectamente elástico (como se supone en la clase de física), vibraría a un número infinito de frecuencias, pero la fuerza de cada frecuencia se vuelve muy pequeña rápidamente, de modo que solo un número finito. cantidad de energía está involucrada.
Modo físico desactivado.

Ahora viene lo importante: estas frecuencias adicionales son esenciales para el sonido de los instrumentos musicales. Son básicamente la razón por la que escuchas la diferencia entre un violín y un piano, ambos tocando un A4.

Le recomendaría que escuche una onda sinusoidal pura a 440 Hz, por ejemplo, aquí:

Este gráfico muestra la frecuencia de todas las notas:

Como referencia, número 60 midi = Do central en el piano.

Un piano tiene cuerdas separadas para cada nota. Entonces, el hecho de que la A sea diferente no significa necesariamente que los demás no estén afinados con 440. Dependiendo de lo que hizo el afinador.

Entonces, ¿está preguntando: si quiero afinar todo el piano para decir 420 (A), cómo cambian las otras frecuencias? En ese caso, puede usar la fórmula, como se indica aquí:

fn = f0 * (a)n
where
f0 = the frequency of one fixed note which must be defined. A common choice is setting the A above middle C (A4) at f0 = 440 Hz. But in this case it could be 420.
n = the number of half steps away from the fixed note you are. If you are at a higher note, n is positive. If you are on a lower note, n is negative.
fn = the frequency of the note n half steps away.
a = (2)1/12 = the twelth root of 2 = the number which when multiplied by itself 12 times equals 2 = 1.059463094359...

The wavelength of the sound for the notes is found from
Wn = c/fn
where W is the wavelength and c is the speed of sound. The speed of sound depends on temperature, but is approximately 345 m/s at "room temperature." 

Para obtener más detalles y comprensión sobre la música y las frecuencias, le sugiero que eche un vistazo al excelente libro (de código abierto) de David J. Benson, disponible aquí .

Con respecto a:

¿quizás puedas darme una idea general de cuál puede ser el rango de frecuencia para cada tecla?

Espero que esto sea claro. Tome un cierto rango para A (digamos 420-460) y podrá calcular todos los rangos a partir de eso. ¿quizás puedas darme una idea general de cuál puede ser el rango de frecuencia para cada tecla?