¿Cuál es la relación entre la no contextualidad y el modelo de variables ocultas de Bell?

Mientras leía acerca de la contextualidad en la mecánica cuántica, me topé con la siguiente declaración (en Peres (2002) , parte superior de la página 190): en un espacio de Hilbert bidimensional, es posible construir modelos de variables ocultas (HVM) que reproducen todos los resultados de la teoría cuántica . Estoy tratando de entender mejor lo que significa esto.

Peres, en apoyo de la declaración anterior, redirige al lector a la p. 159, donde se describe el " modelo de Bell de variables ocultas ". Esto funciona de la siguiente manera:

Queremos describir los posibles resultados de medir un estado bidimensional ψ ≡ | ψ ⟩ . Notemos que cualquier observable A Se puede escribir como A = norte A ⋅ σ con norte A ∈ R 3 y σ i las tres matrices de Pauli. Los posibles resultados correspondientes a tales observables, en QM, serían ± norte A , dónde norte A ≡ | norte A | . Definamos también C ≡ ψ † A ψ / norte A . Entonces podemos predecir los resultados experimentales de medir A , aprovechando una variable oculta auxiliar λ , como sigue:

  • Si − 1 < λ < − C , entonces el resultado es − norte A ;
  • Si − C < λ < 1 , entonces el resultado es + norte A .

Recuperamos las predicciones de QM cuando λ se distribuye uniformemente en [ − 1 , 1 ] .

Como señala Peres (en p.190), este modelo predice correctamente los resultados de medir cualquier observable dado. A . Luego continúa (en la página 190) para describir el argumento de Mermin sobre la no contextualidad de QM , que se basa en encontrar un conjunto de observables de dos qubits a los que no se les puede asignar un valor numérico definido. Él comenta que el argumento de Mermin requiere el uso de un espacio de Hilbert de cuatro dimensiones, mientras que sabemos que en el caso de dos dimensiones podemos construir un HVM para reproducir todos los resultados de la mecánica cuántica, según el argumento anterior. Aquí es donde me confundo: ¿no es esto comparar manzanas y naranjas?

Según tengo entendido, el argumento de Mermin se trata de comparar resultados de medición obtenidos en diferentes bases. Pero no hacemos nada por el estilo cuando hablamos de HVM de Bell. De hecho, ¿no podemos extender el argumento de Bell a dimensiones arbitrarias? Para cualquier observable dado A con norte valores propios distintos λ j , usa una variable oculta distribuida uniformemente λ ∈ [ − ‖ A ‖ , ‖ A ‖ ] y decir que el resultado experimental es el j -th siempre que λ ∈ [ λ j , λ j + 1 ] . Entonces, ¿cómo es esto consistente con el argumento de Mermin sobre la no contextualidad en cuatro dimensiones?

Estoy bastante seguro de que me estoy perdiendo el punto de contextualidad aquí, y lo que se supone que debe decirnos el argumento de Mermin, por lo que agradeceré cualquier aclaración sobre el asunto.

Respuestas (2)

¿No podemos extender el argumento de Bell a dimensiones arbitrarias?

Sí, el argumento de Bell se puede extender para idear un modelo de variables ocultas para un espacio de Hilbert de muchas dimensiones arbitrarias. ¡ Construir un modelo contextual de variables ocultas es fácil!

... pero también es poco interesante. Siempre podemos idear una teoría que reproduzca perfectamente todos los resultados experimentales, simplemente tomando cada resultado conocido como uno de los axiomas de la teoría. Los modelos HV contextuales no son tan ridículos, pero todavía están en la categoría de "poco interesante".

En un espacio de Hilbert con cuatro dimensiones, podemos tener un observable no trivial A (no proporcional a la identidad) que conmuta con ambos B y C a pesar de B y C no viajen entre sí. En palabras de Mermin ( https://arxiv.org/abs/1802.10119 ):

Esta suposición tácita de que una teoría de variables ocultas tiene que asignar a un observable A el mismo valor si A se mide como parte del conjunto de conmutación mutua A , B , C , . . . o un segundo conjunto mutuamente conmutable A , L , METRO , . . . incluso cuando algunos de los L , METRO , . . . no puede viajar con algunos de los B , C , . . . , es llamado "no contextualidad" por los filósofos.

Podemos extender el argumento de Bell para idear un modelo de variables ocultas en un espacio de Hilbert de cuatro dimensiones, pero no uno que respete esta restricción. Los modelos de variables ocultas no contextuales no pueden reproducir las predicciones de la teoría cuántica, y eso es interesante.

gracias. Entonces, para que quede claro, ¿está de acuerdo en que el argumento de Bell simplemente no es comparable con el de Mermin, o más generalmente con los argumentos de contextualidad? El argumento de Bell nos dice que fijando una base de medición, la probabilidad de salida siempre es (algo trivialmente) reproducible a través de LHV, pero esto no tiene nada que ver (y no puede explicar) las correlaciones entre los resultados en diferentes bases de medición. Tal vez sea yo, pero la forma en que esto se presentó en el libro me parece un poco engañoso: la existencia de conjuntos de operadores "extrañamente conmutados" no tiene relación con los modelos LHV a la Bell
@glS Si por "argumento de Bell" nos referimos a cómo construyó un modelo HV para el espacio bidimensional de Hilbert (y su generalización a dimensiones más altas), entonces sí: ese modelo HV producido por ese argumento (en dimensiones más altas) no lo hace respetar la restricción de no contextualidad que destaca Mermin.
@glS Sin embargo, no estoy seguro de que sea lo mismo que llamar a un modelo HV local . Hay varios matices de restricciones que se pueden imponer en un modelo HV. La desigualdad original de Bell asumió un LHV, si no recuerdo mal, pero ha pasado un tiempo desde que analicé todos esos matices, y eso probablemente esté más allá del alcance de la presente pregunta, que no pregunta sobre la desigualdad original de Bell.
La respuesta de @glS Charles Francis dice: "Contextualidad significa que la variable oculta determina solo una medida particular o clase de medidas". Creo que esa declaración expresa lo mismo que traté de expresar de una manera diferente: un HV contextual solo se preocupa por cada observable en sí mismo , no por cómo los observables se relacionan entre sí. Es por eso que idear un HV contextual es fácil, y por qué la existencia de HV contextuales no compite en absoluto con la teoría cuántica. Casi no tienen poder predictivo.
si estoy de acuerdo con esto Este "argumento HV contextual" realmente no nos dice mucho

No estoy seguro de que te estés perdiendo el punto. Podemos producir un modelo de variables ocultas para reproducir los resultados de la mecánica cuántica para un espacio de Hilbert de dos dimensiones, pero el teorema de Kochen-Specker muestra que esto no se puede hacer para un espacio de Hilbert de dimensión mayor que 2 (von Neumann consideró un espacio de Hilbert de dimensión infinita ). El teorema de Gleason también se puede interpretar en el sentido de que la única medida de probabilidad en un espacio de Hilbert de dimensión al menos 3 es la dada por la mecánica cuántica, excluyendo así las variables ocultas).

Considero la contextualidad como una pista falsa en estos argumentos. También es una pista falsa considerar el espacio de Hilbert de dimensión 2, ya que no describe la mecánica cuántica. Cada vez que se introduce la contextualidad, parece confundir el problema cambiando el tema (el artículo actual de Wikipedia sobre el teorema de Gleason es un ejemplo de ello; compare con la declaración del teorema de Gleason que se citó en esta respuesta SE )

Contextualidad significa que la variable oculta determina solo una medida particular o clase de medidas. No satisface el determinismo clásico, lo que significa la determinación de todos los resultados de medición posibles, no solo el resultado de la medición realizada. No es suficiente para la contextualidad decir que la variable oculta contiene partes que determinan la posición o el momento y que, dado que solo se puede realizar una de estas mediciones, la otra existe pero no se usa; La conjugación entre posición y momento establece que cuando se realiza una medición, la variable oculta para la otra medición no puede existir.

No importa que en la práctica podamos realizar solo una medición, porque la lógica cuántica describe no solo la medición realizada sino también lo que sucedería en las mediciones que no se realizan. La contextualidad requeriría que diferentes variables ocultas aparecieran y desaparecieran cada vez que un experimentador cambia de opinión sobre qué medida debe realizar. Esto implicaría una física subyacente diferente según lo que elija hacer un físico.

En resumen, cada vez que veo argumentos sobre la contextualidad, encuentro físicos que se aferran al determinismo y buscan una escapatoria que no existe.

Realmente no tengo una buena comprensión de los argumentos de Kochen-Specker y Gleason (que es en realidad la razón por la que estoy leyendo estos temas en primer lugar), así que no puedo comentar sobre eso. Si entiendo lo que dice, está de acuerdo en que el argumento LHV de Bell no tiene nada que ver con la contextualidad, sino que se trata de las correlaciones entre los resultados en diferentes bases de medición, ¿no?
Sí, estaría de acuerdo con eso.
eso tiene sentido. Muchas gracias, esto ayudó a aclarar algunas cosas.
@CharlesFrancis "La contextualidad requeriría que diferentes variables ocultas aparezcan y desaparezcan cada vez que un experimentador cambie de opinión sobre qué medida debe realizar". ¡Bien dicho (+1)!
¿Cuál es la relación entre la no contextualidad y el modelo de variables ocultas de Bell?
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