¿Cuál es la matemática detrás de Magnetorquers?

Un conjunto de tres barras de torsión alineadas ortogonalmente conectadas de modo que puedan generar un campo dipolar magnético de cualquier signo (es decir, voltear los polos norte y sur) puede generar un campo magnético de orientación arbitraria (hasta la suma vectorial máxima del momento dipolar de cada barra individualmente).

Este campo artificial interactúa con el campo magnético de la Tierra para producir un par externo neto en el vehículo que tenderá a alinear los campos. Matemáticamente, el par se proporciona en la dirección de:

$\mathbf{\tau}=\mathbf{\mu}\times\mathbf{B}$, dónde$\tau$es el par en el satélite,$\mathbf{B}$es el campo magnético ambiental, y$\mu$es el campo magnético del satélite

Este par sólo tiene dos grados de libertad, es decir, instantáneamente las barras de torsión tenderán a alinear los campos del vehículo y de la Tierra, sin control de la rotación del vehículo alrededor de sus polos magnéticos. (ver abajo para la prueba)

Sin embargo, recuerde que las líneas del campo magnético alrededor de la Tierra son en sí mismas un campo dipolar, que tiene una forma toroidal.

Esto significa que, a medida que la nave espacial orbita la Tierra, se encuentra con una diversidad de orientaciones del campo magnético terrestre y, en general, el efecto promediado en el tiempo de esta diversidad de campo permite un control total de 3 ejes.

Dicho esto, el campo es débil, por lo que el par real producido por las barras de torsión es muy pequeño. Es completamente inadecuado para naves espaciales ágiles (p. ej., reproductores de imágenes), para los que normalmente se utilizan efectores de control de actitud como ruedas de reacción o giroscopios de control de momento. Las barras de par se utilizan para desaturar estos efectores que acumulan impulso debido a los pares de perturbación, como el arrastre atmosférico, y para quitar el giro de los satélites (por ejemplo, debido a las tasas de alerta en la separación del vehículo de lanzamiento).

Prueba de la ineficacia de las barras de torsión en ausencia de diversidad de campo magnético

Las barras de torsión se basan en el cambio de dirección del campo magnético de la Tierra, lo que es especialmente problemático en las órbitas ecuatoriales porque (en primer orden) el campo tiene una dirección de inercia constante. Igualando el par de control con las ecuaciones de movimiento de rotación del cuerpo rígido:

$$\mathbf{\mu}\times\mathbf{B}=\mathbf{\tau}=\mathbf{I\alpha+\omega}\times\mathbf{I\omega}$$

dónde$\mathbf{I}$es el momento de inercia tensor,$\mathbf{\omega}$es la velocidad del cuerpo del vector, y$\mathbf{\alpha}$es el vector de las aceleraciones del cuerpo (es decir,$\dot{\omega}$), todo en un marco de referencia inercial arbitrario. Las matrices de momento de inercia son siempre reales y simétricas y, por lo tanto, se pueden descomponer/rotar en un marco de referencia principal .

$$\mathbf{\mu}\times\mathbf{B}=\mathbf{Q\Lambda Q}^{-1}\mathbf{\alpha}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{Q\Lambda Q}^{-1}\mathbf{\omega}$$ $$\mathbf{RQ\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1}(\mathbf{\mu}\times\mathbf{B})=\mathbf{R\alpha}+\mathbf{RQ}(\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{\omega}\times\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{\omega})$$ $$\mathbf{R\mu'}\times\mathbf{RB'}=\mathbf{R\alpha}$$ $$\mathbf{\mu''}\times[0, 0, Bz]=\mathbf{\alpha'}$$

dónde$\mathbf{\mu}$y$\mathbf{B}$se giran en los ejes principales y la matriz matemática ha demostrado que no hay acoplamiento giroscópico entre los ejes de rotación en el marco principal porque el$\mathbf{\omega}\times\mathbf{I\omega}$el término cancela. (Podríamos haber comenzado en este paso eligiendo el marco de referencia principal para comenzar, pero muchos parecen sentirse cómodos al comenzar con la MOE completa). Además, rotamos por$\mathbf{R}$, seleccionado para que el campo magnético de la Tierra solo actúe en el eje z.

el vector$\mathbf{\mu}$es nuestra entrada de control de barra de torsión, que podemos apuntar en cualquier dirección combinando el efecto de tres barras ortogonales. Esto significa la doble rotación de$\mathbf{\mu}$a$\mathbf{\mu''}$tiene que ser contabilizado por el sistema de control, pero no tiene relación con la controlabilidad. Ahora podemos expandir el producto cruzado y mostrar a pesar de la capacidad de señalar$\mathbf{\mu}$en una dirección arbitraria, la aceleración resultante (en el marco donde el eje z está alineado con el norte magnético) tiene la forma$[kx, kz, 0]$, lo que muestra que solo podemos controlar las aceleraciones angulares sobre los ejes x e y, pero nunca z.

De la ecuación inicial$\mathbf{\mu}\times\mathbf{B}$sabemos que no se puede generar un toque en la dirección de$\mathbf{B}$; por lo tanto, cualquier momento angular inicial en esa dirección es incontrolable, pero la cinemática de la nave espacial puede ser contraria a la intuición, por lo que a veces las matemáticas son útiles.

Básicamente, la mayoría de los magnetorquers funcionan como imanes de barra que se pueden marcar para seleccionar qué tan poderosos y en qué dirección se atraen. Las matemáticas detrás de ellos resultan ser realmente simples.$\mathbf{\tau}=\mathbf{\mu}\times\mathbf{B}$, dónde$\tau$es el par en el satélite,$\mathbf{B}$es el campo magnético ambiental, y$\mu$es el campo magnético del satélite. Por lo general, hay 3 ejes de magnetorquers, lo que significa que$\mu$se puede configurar de manera efectiva en cualquier cosa dentro de un cierto rango, aunque el par se aplicará de manera diferente dependiendo de dónde se coloque exactamente el magnetorquer. El análisis completo será más fácil de aplicar midiendo un magnetorquer a la vez, pero voy a suponer que su par se alinea razonablemente bien con los vectores de rotación, lo que permite manejarlos todos.

Esencialmente, lo que sucede cuando enciendes el magnetorquer es que se aplica un par para mover la nave espacial para alinearla con el vector del campo magnético. Como la aguja de una brújula, el imán se alineará con el polo norte del imán alineado con el campo magnético sur. Sin resistencia, sobrepasará el poste, lo que dificultará la alineación exacta en un eje.

Además, se debe considerar que existen en efecto sólo 2 ejes de rotación. Si estás perfectamente alineado con el campo magnético, no puedes controlar tu rotación sobre el campo. Siempre hay un eje sobre el que no puede girar, aunque es posible que pueda mitigarlo con un poco de esfuerzo.